资源描述
函数与导数B1函数及其表示21. B1, B122013 江西卷已知函数 f(x) =a'l-2 x-1 ；, a 为常数且 a>0.、一 一， 1 ,(1)证明：函数f(x)的图像关于直线x = 2对称；(2)若X0满足f(f(x 0) =X0,但f(x 0)wx0,则称X0为函数f(x)的二阶周期点.如果 f(x) 有两个二阶周期点 xi, x2,试确定a的取值范围；(3)对于(2)中的 xi, x2和 a,设 x3为函数 f(f(x)的最大值点，A(xi, f(f(x i) , B(x2,f(f(x 2) , C(x3, 0).记 ABC的面积为S(a),讨论S(a)的单调性.解：(i)证明：因为 fg+x= a(i -2|x|),2f l-x 广 a(i -2|x|),有 fg+x>0),所以函数f(x)的图像关于直线1J(2)当 0<a<2时,有 f(f(x)=i所以f(f(x)= x只什-个解x1卜当 a=5时，有 f(f(x)=1 1k所以f(f(x)=x有解集x错误中的所有点都不是二阶周期点.1x= 2对称.4a2x, "2,4a2 (1-x) , x>1. L2=0,又f(0) =0,故0不是二阶周期点.1 x<2,1X, x>2.x<错误！，又当x<错误！时f(x) = x，故x错误！ )x &错误!当a>2时，有r 4a2x, x< 4a1 c,22a-4ax, 4 f(f(x)= 2a (1 2a)4 4a2 4a2x,11尸2，+ 4a x, <x< 24a 1x> 4a .2a 2a 4a22a 2a所以顺x)=x有四个解0,中孑，乔与，干/又=0, fEaJ= 不,22_2a 2a 4a 4a 2a+ 4a2 广 1 +4a2，f 1 + 4a2 广 1 +4a4八1 + 4a44a2不？是忖的二阶周期点.一，一1综上所述，所求a的取值范围为a>2.2( ,口2a4a(3)由(2)倚 X1=TT?, x2= 1,1因为X3为函数f(f(x)的最大值点，所以X3 = n，或4a 1x3= "A4a当x3 =12a 1后时，S=4(1+4a2)，求导得：*2<a(1 4a所以当时，S(a)单调递增，当aC,+°° |1S(a)单调递减;当x3 =4a 18a 6a +1b时,S(a) =4("，求导得:2S' (a)=12a2+4a32 (1+4a2)2，112a + 4a 3因 a>2,从而有 S (a) = 2( 1 + 4a2)2>0,且 f(e x) =x+ex,则 f' (1)所以当aC j2, +00 j时S(a)单调递增.13. B1, B112013 江西卷设函数f(x)在(0 , +8)内可导,13.2 解析f(e x) =x+ex,利用换元法可得 f(x) =ln x+x,f' (x)=1+1,所以 f' (1) x=2.10. B1, B82013江西卷如图1 3所示，半径为1的半圆O与等边三角形 ABC夹在 两平行线h,l 2之间，l / I1J与半圆相交于F, G两点，与三角形ABC两边相交于E, D两点.设 弧FG的长为x(0<x<兀)，y=EB+ BC+ CR若l从l 1平行移动到l 2,则函数y=f(x)的图像大 致是()图1 3ABCD10. D 解析设l一、,一 /cos x +1 2,l 2距离为 t , cos x=2t 1 ,得 t =2. 4ABC的边长为 jg,BE 1-t"2-="3得 B白马(1 t),贝U y=2BE+ BC= 2X 2(1 t) +马=2P333433cos x + 12，. 兀.当xC（0,兀）时，非线性单调递增，排除A, B,求证x = 2的情况可知选D.2. B12013 江西卷函数y = Xln(1 x)的定义域为()A. (0,1) B . 0 , 1)C. (0,1 D . 0 , 12. B 解析x >0 且 1 x>0,得 xC 0 , 1),故选 B.11. B12013 辽宁卷已知函数 f(x) =x2 2(a + 2)x+a2, g(x) =- x2+ 2(a - 2)x - a2 + 8.设 H(x) = maj f (x) , g (x) , H2(x) = min f (x) , g (x) (max p, q表示 p, q 中的较大值，minp, q表示p, q中的较小值).记H(x)的最小值为A, H2(x)的最大值为B, 则 A B=()A. 16 B . 16C. a22a16 D . a2+2a1611. B 解析由题意知当 f(x) =g(x)时，即 x22(a+2)x+a2=x2+2(a 2)x a2+ 8,整理得 x2 2ax+ a2 4= 0,所以 x=a+ 2x= a 2,x -2 (a+2) x+a (xWa 2),所以 H(x) = maxf(x) , g(x)=，-x+2 a a- 2) x - a+ 8 (a 2<x<a +2),、x22 (a+2) x+a2 (x>a+ 2),Hb(x) = minf(x) , g(x)=j- x2+ 2 (a-2) x - a2 + 8 (x<a- 2), $x22 (a+2) x+a2 (a2<x<a + 2), -x2+ 2 (a-2) x - a2 + 8 (x>a+ 2).由图形(图形略)可知，A= Hi(x) min= 4a 4, B= H2(x) max= 12 4a,则 A- B=16.故选B.4. B12013 全国卷已知函数f(x)的定义域为(一1, 0),则函数f(2x +1)的定义域为().1A. (-1,1) B. 丁 1, -2J1C. ( 1,0) D.台 1)14. B 解析对于 f(2x +1), - 1<2x + 1<0,解得1<x<-2,即函数 f(2x + 1)的定义域为J 1， 2 jL1;,皿8. B1, J32013 陕西卷设函数f(x)=xJ则当x>0时，ff(x) 表达式-Vx, x>0,的展开式中常数项为（）ff(x)=； 56,展开式的通项为Tr + 1=C；6Txx可得r = 3,所以常数项为T4= C3= - 20.A. 20 B . 20 C . 15 D . 158. A 解析由已知表达式可得：函数y =3x 13 x的图像大致是（）ABCD图1 54)r=C6-(1)r xr 3,令 r3=0,7. B1, B3, B122013 四川卷7. C 解析函数的定义域是x C Rxw0,排除选项 A；当x<0时，x3<0, 3x-1<0,故 y>0,排除选项B;当x- + oo时，y>0且y-0,故为选项 C中的图像.19. B1, I2, K62013 新课标全国卷H 经销商经销某种农产品，在一个销售季度内， 每售出1 t该产品获利润500元，未售出的产品，每 1 t亏损300元.根据历史资料，得到 销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图 1-4所示，经销商为下一个销售季度购进了 130 t该农产品，以X（单位：t, 100WXW 150）表示下一个销售季度内的市场需求量，T（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.（1）将T表示为X的函数；（2）根据直方图估计利润 T不少于57 000元的概率；（3）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入 该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若需求量 XC 100, 110）,则取X=105,且X= 105的概率等于需求量落入100 , 110）的频率），求T的数学期望.19.解：(1)当 XC 100 , 130)时，T= 500X- 300(130 -X) = 800X- 39 000.当 XC 130 , 150时，T= 500X130= 65 000.800X- 39 000 , 100<X<130,所以T= 65 000 , 130W X< 150.（2）由（1）知利润T不少于57 000元，当且仅当120WXW 150.由直方图知需求量 XC 120, 150的频率为0.7 ,所以下一个销售季度内的利润 T不少于57 000元的概率的估计值为0.7.（3）依题意可得T的分布列为T45 00053 00061 00065 000P0.10.20.30.4所以 E(T) = 45 000 X 0.1 + 53 000 X 0.2 + 61 000 X 0.3 +65 000 X 0.4 = 59 400.B2反函数5. B22013 全国卷函数 f(x) = log 2 H+11 (x>0)的反函数 fT(x)=()11A.J(x>0)B. J(xw0)C.5.2x 1(x R) D . 2x1(x>0)A 解析令 y = log2f1+x ；,则 y>0,且 1 + ：=2y,解得x='271i，交换 x, y 得 f 一1(x)=B3函数的单调性与最值x2+2x+a, x<0,21. B3, B9, B122013 四川卷已知函数f(x) ="其中a是实数.设lnx , x>0,A%, f(x 1),B(x2, f(x 2)为该函数图像上的两点，且x1<x2.(1)指出函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)的图像在点A, B处的切线互相垂直，且x2<0,求x2 x1的最小值；(3)若函数f(x)的图像在点A, B处的切线重合，求a的取值范围.21.解：(1)函数f(x)的单调递减区间为(8, 1),单调递增区间为1, 0), (0, + °0).(2)由导数的几何意义可知，点A处的切线斜率为f ' (x 1),点B处的切线斜率为f ' (x 2),故当点A处的切线与点 B处的切线垂直时，有 f ' (x 1)f ' (x 2)= 1.当x<0时，对函数f(x)求导，得f ' (x) = 2x+ 2.因为 x1<x2<0,所以，(2x 1 + 2)(2x 2+2) = 1, 所以 2x1+2<0, 2x2+2>0. 1因此 x2x1 = 2(2x1+2)+ 2x2+2(2x1 + 2) (2x2+2) =1,31 当且仅当一(2x 1+2) =2x2+2= 1,即X = 3且x2= 时等号成立.所以，函数f(x)的图像在点A, B处的切线互相垂直时，x2 x1的最小值为1.(3)当 x1<x2<0 或 x2>x1>0 时，f ' (x 1) wf ' (x 2),故 x1<0<x2.当x1<0时，函数f(x)的图像在点(xb f(x 1)处的切线方程为,2y-(x 1+ 2x1+ a) = (2x 1+ 2)(x x。，2即 y = (2x 1 + 2)x x1 + a.当X2>0时，函数f(x)的图像在点(X2, f(x 2)处的切线方程为y ln x 2= (x X2), 即 y= x+ ln x 2 1. x2x2两切线重合的充要条件是-=2xi+2,x2Jn x 2 1 = x2+ a.由及 xi<0<x2,知一1<xi<0.212由得，a=x1+ ln-1=x1-ln(2x 1+2)1.2x1 + 2设 h(x 1) = x2 ln(2x 1 + 2) 1( 1<x1<0),一,1则 h' (x 1) = 2x1-x<0.所以，h(x 1)( 1<x1<0)是减函数.则 h(x 1)>h(0) =- In 2 -1,所以 a> In 2 1.又当x1C( 1, 0)且趋近于一1时，h(x1)无限增大，所以a的取值范围是(一ln 2 -1, +8).故当函数f(x)的图像在点A, B处的切线重合时，a的取值范围是(一ln 2 1,十).10. B3, B122013 四川卷设函数f(x) =：ex+xa (a R, e为自然对数的底数).若 曲线y = sinx上存在(xo, yo)使得f(f(y 0) =yo,则a的取值范围是()A. 1 , e B . e11, 1C. 1 , e+1 D . e11, e+110. A 解析因为y0 = sin x oC 1, 1,且f(x)在1, 1上(有意义时)是增函数， 对于 y°C 1, 1,如果 f(y 0) =c>y。，则 f(f(y 0) =f(c) >f(y 0) = c>y。,不可能有 f(f(y 0) =y0.同理，当 f(y0)= dvy。时，则 f(f(y0)=f(d) vf(y0)=dvy。,也不可能有 f(f(y0)=y。,因此必有f(y0) = y0,即方程f(x) = x在1,1上有解，即/ex+ x a = x在 1,1上有解.显 然，当x<0时，方程无解，即需要Me；+xa =x在0, 1上有解.当x>0时，两边平方得e、+ xa=x：故 a=exx2+x.记 g(x) =ex x2+x,则 g' (x) =ex2x+1.当 xC |0, 2 I, ex>0, - 2x+1 >0,故 g' (x) >0,当 x C, 1 1寸,e >yje> 1, 0> 2x + 1 > 1,2故 g' (x) > 0.综上，g' (x)在xC0, 1上恒大于0,所以g(x)在0 , 1上为增函数，值域为1 , e, 从而a的取值范围是1 , e.3 x7. B1, B3, B122013 四川卷函数y = 3x时的图像大致是()7. C 解析函数的定义域是x C Rxw0,排除选项 A;当x<0时，x3<0, 3x-1<0,故 y>0,排除选项B；当x- + oo时，y>0且y-0,故为选项 C中的图像.10. B3, B5, B8, B122013 新课标全国卷H 已知函数f(x) = x3+ax2+bx +c,下列结论中错误的是()A. x°C R, f(x o) =08. 函数y = f(x)的图像是中心对称图形C.若xo是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(一8, xo)单调递减D.若xo是f(x)的极值点，则f ' (x o) = 010. C 解析x 一一8 时，f(x)<0, x- + 8 时，f(x)>0 , f(x) 连续， xoCR,f(x o) = 0, A正确；通过平移变换，函数可以化为 f(x) =x3+c ,从而函数y=f(x)的图像是 中心对称图形，B正确；若xo是f(x)的极小值点，可能还有极大值点 xi ,则f(x)在区间(xi , xo)单调递减.C错误.D正确.故答案为 C.B4函数的奇偶性与周期性11. B42013 广东卷定义域为 R的四个函数 y = x3, y = 2x, y = x2+1, y = 2 sin x 中, 奇函数的个数是()12. C 解析函数y=x3, y= 2sin x是奇函数.11. B42013 江苏卷已知f(x)是定义在 R上的奇函数.当 x>0时，f(x) =x2-4x,则不等式f(x)>x的解集用区间表示为.11. (5, 0) U (5 , +OO)解析设 x<0,则x>0.因为 f(x) f( x) = (x2 + 4x).又f(0) =0,于是不等式f(x)>x 等价于是奇函数,所以f(x)=x> 0, 或x 4x>x<0,| (x，4x) >x.解得 x>5 或5vx<0,故不等式的解集为(一5, 0) U (5 , +8).f( -1)3. B42013 山东卷已知函数f(x)为奇函数，且当 x>0时，f(x) =x2+1,则 x=()A. -2 B . 0 C . 1 D . 23. A 解析.一(x)为奇函数，f ( - 1) =- f(1) = y+1 1= - 2.14. B4, E32013 四川卷已知f(x)是定义域为 R的偶函数，当 x>0时，f(x) =x2- 4x,那么，不等式f(x +2)<5的解集是.14. ( -7, 3)解析当 x+2>0 时，f(x +2) = (x +2)24(x +2) = x2-4,由 f(x +2) <5,得 x24<5,即 x2<9,解得一3<x<3,又 x + 2>0,故一2Wxv 3 为所求.又因为 f(x) 为偶函数，故f(x +2)的图像关于直线x = -2对称，于是一7<xv2也满足不等式.(注：本题还可以借助函数的图像及平移变换求解)B5二次函数4. A2、B52013 安徽卷“aW0” 是“函数 f(x) = |(ax 1)x| 在区间(0, 十°o)内单调 递增”的()A.充分不必要条件B .必要不充分条件C.充分必要条件D .既不充分也不必要条件5. C 解析f(x)=|(ax 1)x| =|ax2x| ,若 a=0,则 f(x) = |x| ,此时 f(x)在区间(0 , +°°)上单调递增；若 a<0,则二次函数y=ax2x的对称轴x = ；<0,且x=0时y=0, 2a此时y=ax2 x在区间(0 ,+8)上单调递减且 y<0恒成立，故f(x) = |ax 2-x|在区间(0 , 十 8)上单调递增，故a<0时，f(x)在区间(0, +8)上单调递增，条件是充分的；反之若 a>0,则二次函数y= ax2x的对称轴x =1 I , 一一1 ,2a>0,且在区间 0, 2a上 y<°，此时 f(x)= |ax2a2-x|在区f(x)不可能在区间(0 , 十°°)上单调、1 11 间0, 2a上单调递增,在区间%占上单调递减，故函数递增，条件是必要的.6. B5, B92013 湖南卷函数f(x) = 2ln x的图像与函数g(x) =x24x+5的图像的交 点个数为()A. 3 B . 2 C . 1 D . 025. B 解析法一：作出函数 f(x) =2ln x , g(x) = x 4x +5的图像如图：可知，其交点个数为 2,选B.法二：也可以采用数值法：x124f(x) = 21n x02ln 2 =ln 4>1In 4 2<52g(x) =x 4x+ 5215可知它们有2个交点，选B.10. B3, B5, B8, B122013 新课标全国卷H 已知函数 f(x) = x3+ax2+bx +c,下列结 论中错误的是()A.xoC R, f(x 0) =0B.函数y = f(x)的图像是中心对称图形C.若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(8, x。)单调递减D.若x0是f(x)的极值点，则f ' (x 0) = 010. C 解析x 一一8 时，f(x)<0, x- + oo 时，f(x)>0 , f(x) 连续，xoCR,f(x 0) = 0, A正确；通过平移变换，函数可以化为 f(x) =x3+c ,从而函数y=f(x)的图像是 中心对称图形，B正确；若xo是f(x)的极小值点，可能还有极大值点 xi ,则f(x)在区间(xi , xo)单调递减.C错误.D正确.故答案为 C.B6指数与指数函数6. E3、B6、B72013 安徽卷已知一元二次不等式 f(x)<0 的解集为x )x< 1或x>1,贝U f(10 x)>0的解集为()A. x|x< 1 或 x>1g 2B. x| 1<x<1g 2C. xx> -1g 2D. x|x< -1g 21 .v 1, 一6. D 解析根据已知可得不等式f(x)>0的解是1<x<2,故1<10x<2,解得x<-1g 2.16. A1, A3, B62013 湖南卷设函数 f(x) =ax+bx cx,其中 c>a>0, c>b>0.(1)记集合隹(a , b, c)|a , b, c不能构成一个三角形的三条边长，且 a= b,则(a , b, c)CM所对应的f(x)的零点的取值集合为 ;(2)若a, b, c是4ABC的三条边长，则下列结论正确的是 .(写出所有正确结论 的序号) x (-OO, 1) , f(x)>0 ; xCR,使ax, bx, cx不能构成一个三角形的三条边长；若 ABC为钝角三角形，则 xC (1 , 2),使f(x) =0.16. (1)x0<x <1(2)解析(1)因2=3 所以函数f(x) =2ax-cx,又因a,b, c 不能构成一个三角形，且 c>a>0, c>b>0,故 a + b=2a<c,令 f(x) =2ax cx=0,即 f(x)= cx-2'-?-1 = 0,故可知但=,又0<a3，结合指数函数性质可知0<xW 1,即取值集合占1cj2 c 2,，为x|0<x <1.(2)因 f(x) = ax + bx cx = cxj + 也 j 1 L 因 c>a>0, c>b>0,则 0<c<1,0<c<1，当 x C (8, 1)时,有ax>-b x>b所以 c c'-T+也>a+b,又a, b, c为三角形三边，则定有 a c c c c+ b吟故对 x.8, D,胃+胃一皿即 f(x)bxcx=c胃>0,故正确；取x=2,则町+降旱，取x = 3, c c c c由此递推，必然存在x=n时，有?+21<1,即an+bn<c:故正确；对于，因 f(1) =a+b c>0, c cf(2) =a2+b2c2<0(C为钝角)，根据零点存在性定理可知，xC(1 , 2),使f(x) =0,故正确.故填.3. B6, B72013 浙江卷已知x, y为正实数，则()a 2幻 x +幻 y 2幻 x + 2® ' c 21g x © y =2© x +2® '3. D 解析 lg(xy)b21g(x +y)_ 2幻 x 2幻 yD2lg(xy) = 2lg x - 2lg y=lg x +lg y , .-.2"(xy) = 21gx+lgy=2lgx2lgy,故选择 D.B7对数与指数函数6. E3、B6、B72013 安徽卷已知一元二次不等式f(x)<0 的解集为x )x< 1或1x>2,贝u f(10 x)>0的解集为()A. x|x< 1 或 x> 1g 2B. x| 1<x<lg 2C. x|x> lg 2D. x|x< lg 26. D 解析根据已知可得不等式 f(x)>0的解是1<x<2,故1<10、<2,解得x<-lg 2.16. B7、M2013 山东卷定义“正对数”：ln + x0<x<1，现有四个命题：ln x , x>1.若 a>0, b>0,贝U ln (ab) = bln a;若 a>0, b>0,则 ln (ab) =ln a+ln b;若 a>0, b>0,则 1n s ln a ln b; b若 a>0, b>0,则 ln + (a + b) w ln a+ ln b+ ln 2.其中的真命题有 .(写出所有真命题的编号)16.解析中，当 ab> 1 时，-b>0, . . a> 1, ln (ab) = ln a b= bln a = blna;当 0<ab<1 时,b>0,0<a<1, ln (ab) =bln a= 0,，正确；中，当 0<ab<1,且 a>1 时，左边=ln (ab) = 0,右边=ln a+ln b= ln a+0=ln a>0, ，不成立；中，当aw1,即a<b时，左边=0,右边=ln a-ln b< 0,左边右边成立；当 a>1 bb时，左边=ln = ln a ln b>0,若a>b>1时，右边=ln a ln b,左边右边成立； 若0<b<a<1 b时)右边=0,左边右边成立；若 a>1>b>0,左边=ln -= ln a ln b>ln a ,右边=ln a , b左边右边成立，正确；中，若 0<a+b<1,左边=ln (a+b)=0,右边=ln a+ln b+ln 2 = In 2>0 ,左边w.-、，、a+b右边；右 a+ b> 1, In (a+b) In 2 = In ( a+ b) In 2 = In 2，a+bm.a+b人a+b -. a+b口厂又一2-wa或一2-wb,a, b 至少有 1 个大于1, /. In2-< lna 或ln 2-w inb,即a+b有 In (a+b)in 2 = In (a+b)in 2 = In ? w In a+ln b, .正确.8. B7, E12013 新课标全国卷n 设 a=log 36, b = log 510, c= log 714,则()A. c>b>a B . b>c>aC. a>c>b D . a>b>c8. D 解析ab=log36log510=(1 +log32) (1+log52)=log 32 log52>0,b c= log 510 log 714= (1 + log 52) (1 + log 72) = log 52 log 72>0,所以a>b>c,选D.3.A.C.3.B6, B720 13 浙江卷21g x +lg y _ 2© x +2回 ' 21g x - lg y _ 21g x + 21g ' D 解析: lg(xy)已知x, y为正实数，则()21g(x +y) _ 2幻 x . 2幻 '21g(xy) 一 2回 x . 2回 '=lg x +lg y ,，2 1g(xy) =21g x y =21gx 21gy,故选择 D.B8募函数与函数的图像5. B82013 北京卷函数f(x)的图像向右平移1个单位长度，所得图像与曲线y = ex关于y轴对称，则f(x)=()A. ex+1 B . ex1 C . e" D . e x15. D 解析依题意，f(x)向右平移一个单位长度得到f(x1)的图像，又丫 = 3的图像关于y轴对称的图像的解析式为y = e x,所以f(x -1)=e x,所以f(x) =e-xl10. B1, B82013 江西卷如图1 3所示，半径为1的半圆O与等边三角形 ABC夹在 两平行线l 1, l 2之间，l / 1 1, l与半圆相交于 F, G两点，与三角形ABC两边相交于E, D两点.设 弧FG的长为x(0<x<兀)，y=EB+ BC+ CR若l从l 1平行移动到l 2,则函数y=f(x)的图像大 致是()10. D解析设l ,12距离为t,cos x= 2t2 1,得 t =x + 1-. ABC的边长为23祠1 T)，则 y=2BE+ BC= 2X 羽一)飞=273一十、,BE 1-t2一224/3 /cos x +12 1 ,得 BE=3当xC(0,兀)时，非线性单调递增，排除 A, B,求证x = 2的情况可知选D.10. B3, B5, B8, B122013 新课标全国卷H 已知函数 f(x) = x3+ax2+bx +c,下列结 论中错误的是()A. xoC R, f(x o) =0B.函数y = f(x)的图像是中心对称图形C.若xo是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(一8, xo)单调递减D.若xo是f(x)的极值点，则f ' (x o) = 010. C 解析x 一一8 时，f(x)<0, x- + oo 时，f(x)>0 , f(x) 连续，x°CR,f(x o) = 0, A正确；通过平移变换，函数可以化为f(x) =x3+c ,从而函数y=f(x)的图像是中心对称图形，B正确；若xo是f(x)的极小值点，可能还有极大值点 x1 ,则f(x)在区间(x1 , xo)单调递减.C错误.D正确.故答案为 C.-x +2x, x<0,若Jn (x+1) , x>0.B9函数与方程11 . B9, B112013 新课标全国卷I已知函数f(x)|f(x)|>ax,则a的取值范围是()A.(巴 0 B . (8, 1C. 2, 1 D . -2, 011. D 解析方法一：若 x<0, |f(x)|=| -x2+ 2x| =x2-2x, x = 0 时，不等式恒成立，x<0时，不等式可变为a>x- 2,而x 2<2,可得a>- 2;,一一 ln (x+1),右 x>0, |f(x)|= |ln(x +1)| = ln(x +1),由 ln(x +1) >ax,可得 a<恒成立,令 h(x)ln (x+1)xxln(X+1)则 h' (x) =2,再令 g(x)xxL,m-ln(x +1),则-xg (x) =(x+ 1)2<0,故 g(x)在(0 , +8)上单倜递减， 所以 g(x)<g(0) =0,可得 h (x)xx+ 1一 ln(x+1)<0,故 h(x)在(0+ oo )上单调递减,x一十 oo 时，h(x) 0,所以h(x)>0 , aW0.综上可知，2WaW0,故选 D.X2-2x, x<0, 方法二：数形结合：画出函数 |f(x)|=*与直线y = ax的图像，如下图，ln (x+1) , x>0要使|f(x)|> ax恒成立，只要使直线 y= ax的斜率最小时与函数 y=x22x, x<0在原点处的切线斜率相等即可，最大时与x轴的斜率相等即可，因为 y = 2x2,所以 y' | x=0= 2,所以2w aw 0.10. B9, B122013 安徽卷若函数 f(x) =x3+ax2+bx+c 有极值点 xi, x2,且 f(x i)=xi,则关于x的方程3(f(x) 2+2af(x) +b=0的不同实根个数是()A. 3 B . 410. A 解析因为 f ' (x) = 3x2+2ax + b, 3(f(x)2+2af(x) +b=0 且 3x2+2ax+b = 0的两根分别为xi, x2,所以f(x) = xi或f(x) =x2, 当xi是极大值点时，f(x i) =xi, x2为极小值点，且=xi有两个实根，f(x) =x2有一个实根，故方程 3(f(x)x2>xi,如图(i)所示，可知方程 f(x) 2+2af(x) +b=0共有3个不同实根;当xi是极小值点时，f(x i) =xi, x2为极大值点，且=xi有两个实根，f(x) =x2有一个实根，故方程 3(f(x)x2<xi,如图(2)所示，可知方程f(x)2+ 2af(x) +b=0共有3个不同实根;综合以上可知，方程3(f(x)2+2af(x) +b=0 共有3个不同实根. 8.B920i3 安徽卷函数y=f(x)的图像如图i 2所示，在区间a , b上可找到n(n >2)个不同的数xi, x2,f (xi) f (x2)f (xn，xn,使信则n的取值氾围正(A. 3 , 4 B . 2 , 3, 4C. 3,4,5 D . 2, 38. B 解析问题等价于直线 y=kx与函数y = f(x)图像的交点个数，从图中可以看出交点个数可以为2, 3, 4,故n的取值范围是2 ,3,4.5. B5, B92013 湖南卷函数f(x) = 2ln x的图像与函数g(x) =x24x+5的图像的交 点个数为()A. 3 B . 2 C . 1 D . 05. B 解析法一：作出函数 f(x) =2ln x , g(x) = x24x +5的图像如图：可知，其交点个数为 2,选B.法二：也可以采用数值法：x124f(x) = 2ln x02ln 2 =1n 4>1In 4 2<52g(x) =x 4x+ 5215可知它们有2个交点，选B.21. B9、B122013 山东卷设函数 f(x)=与+c(e = 2.718 28是自然对数的底数, ecC R).(1)求f(x)的单调区间、最大值；(2)讨论关于x的方程11n x| =f(x)根的个数.21.解：(1)f ' (x) = (1 2x)e 2x.1由 f ' (x) = 0,解得 x=2,1当x<2时，f ' (x)>0 , f(x)单调递增；1 .当x>2时，f (x)<0 , f(x)单倜递减.1111所以，函数f(x)的单调递增区间是一8,2,单调递减区间是+OO,最大值为f!=-e1+ c.(2)令 g(x) = |lnx| f(x) = |lnx| xe 2x c, xC(0, +8).e?x当 xC(1, +x)时)lnx>0 ,贝 U g(x) = lnx -xe 2x- c,所以 g' (x) = e-2x+2x1. x2x因为 2x- 1>0, >0,所以 g' (x)>0. x因此g(x)在(1 , + 8)上单调递增.当 xC(0, 1)时，lnx<0 ,则 g(x) =lnx xe 2x c,2x所以 g' (x) = e-2x-+ 2x 1.x2x因为 e2x (1 , e2), e2x>1>x>0,所以一 之<1.x又 2x 1<12x e 所以F2x1<0,即 g (x)<0.x因此g(x)在(0 ,1)上单调递减.综合可知，当 xC(0, +8)时，g(x)>g(i)= e 2-c.当g(1) = - e 2- c>0,即c<e2时，g(x)没有零点，故关于 x的方程11nxi =f(x)根的 个数为0;当g(1) = - e 2-c= 0,即c= e-2时，g(x)只有一个零点，故关于x的方程11nxi = f(x) 根的个数为1;当 g(1) = e 2 c<0,即 c>e-2时，(i )当 x (1 ,)时，由(i)知 g(x) = 1nx xe 2x c> Inx ；e 1 + c>lnx 1 c,要使 g(x)>0 ,只需使 Inx - 1 - c>0,即 xC(e1+c, +0°)；(ii)当 x (0 , 1)时，由(1)知 g(x) = Inx xe 2x c> Inx 2e 1+ c> Inx 1 c,要使 g(x)>0 ,只需一Inx 1 c>0,即 x C (0 , e 1c);所以c> e-2时，g(x)有两个零点，故关于x的方程|lnx| =f(x)根的个数为2.综上所述，当c< e2时，关于x的方程|lnx| = f(x)根的个数为0;当c=e-2时，关于x的方程|lnx| =f(x)根的个数为1;当c> e-2时，关于x的方程|lnx| = f(x)根的个数为2.x2+2x+a, x<0,21 . B3, B9, B122013 四川卷已知函数f(x) ="其中a是实数.设|lnx , x>0,A(x1, f(x 1),B(x2, f(x 2)为该函数图像上的两点，且x1<x2.(1)指出函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)的图像在点 A, B处的切线互相垂直，且x2<0,求x2 x1的最小值；(3)若函数f(x)的图像在点A, B处的切线重合，求 a的取值范围.22 .解：(1)函数f(x)的单调递减区间为(8, 1),单调递增区间为1, 0), (0, + °0).(2)由导数的几何意义可知， 点A处的切线斜率为f ' (x 1),点B处的切线斜率为f ' (x 2),故当点A处的切线与点B处的切线垂直时，有 f ' (x 1)f ' (x 2)= 1.当x<0时，对函数f(x)求导，得f ' (x) = 2x+ 2.因为 x1<x2<0,所以，(2x1 + 2)(2x 2+2) = - 1, 所以 2x1+2<0, 2x2+2>0. 1因此 x2-x1 = 2 - (2x 1+2)+ 2x2+2 > 也-(2x1 + 2) (2x2+2)= 1,一 31 . 一 .当且仅当一 (2x 1+ 2) = 2x2+ 2= 1,即x1 = 2且*2= 3时等3成立.所以，函数f(x)的图像在点A, B处的切线互相垂直时，x2 x1的最小值为1.(3)当 x1<x2<0 或 x2>x1>0 时，f ' (x 1) (x 2),故 x1<0<x2.当x1<0时，函数f(x)的图像在点(x 1, f(x 1)处的切线方程为,2y (x i+2xi+a) = (2x i+2)(x xi), 2即 y = (2x i + 2)x xi + a.当x2>0时，函数f(x)的图像在点(x2, f(x 2)处的切线方程为y ln x 2= x(x x2), 即 y= x+ In x 2 1.两切线重合的充要条件是=2xi+ 2, x2Jn x 2 1 = xi + a.由及 xi<0<x2,知一1<xi<0.，一一o1o由伶，a= x1 + ln 22jZ2 1=x1 一 ln(2x 1 + 2) 1.设 h(x 1) = x2 ln(2x 1 + 2) 1( 1<x1<0), 1则 h' (x 1) = 2x1 x<0.所以，h(x 1)( 1<x1<0)是减函数.则 h(x 1)>h(0) =- In 2 -1,所以 a> In 2 1.又当x1C( 1, 0)且趋近于一1时，h(x。无限增大，所以a的取值范围是(一ln 2 -1, +8).故当函数f(x)的图像在点A, B处的切线重合时，a的取值范围是(一ln 2 1,十).7. B92013 天津卷函数f(x) =2x|log o.5x| -1的零点个数为()A. 1 B . 2 C . 3 D . 4x2xlog 0.5 x - 1, 0<x< 1,7 . B 解析f(x) = 2 110g 0.5 x| 1 =彳 3=2 log 0.5 x 1, x>12xlog 2 x 1, 0<x< 1, pxlog 2 x 1, x>1.f(x) =- 2xlog 2x-1在(0, 1上递减且x接近于0时，f(x)接近于正无穷大，f(1)=- 1<0, f(x)在(0, 1上有一零点；又f(x) = 2xlog 2x-1 在(1 , +8)上递增，且 f(2) =22 Xlog2 2-1 = 3>0, .-.f(x)在(1 , +8)上有一零点.故 f(x)共有 2 个零点.B10函数模型及其应用10. B102013 陕西卷设冈 表示不大于x的最大整数，则对任意实数x, v,有()A. -x =- x B . 2x =2xC. x +y w x + y D . x -y <x - y10. D 解析可取特值 x=3.5,则x=3.5 =-4, x =3.5 =3,故 A错.2x =7 =7, 2x =23.5 =6,故 B错.再取 y=3.8 ,则x + y = 7.3 =7,而3.5 + 3.8 =3+3=6,故C错.只有 D正确.6. B102013 重庆卷若 avbv c,则函数 f(x) = (x a)(x b) + (x b)(x c) + (x c)(x a)的两个零点分别位于区间()A. (a, b)和(b, c)内 B . (一, a)和(a, b)内C. (b , c)和(c , + 00 )内 d . ( 00, a)和(c , + 8)内6. A 解析因为 f(a) =(ab)(a -c) >0, f(b) = (b - c)(b a)<0, f(c) =(ca)(c -b) >0,所以f(a)f(b) <0, f(b)f(c) <0,所以函数的两个零点分别在 (a, b)和(b, c)内， 故选A.B11导数及其运算11. B9, B112013 新课标全国卷I已知函数f(x)x2+2x, x< 0, 若ln (x+1) , x>0.|f(x)|>ax,则a的取值范围是()A. (8, 0 B . (00, 1C. 2, 1 D . -2, 011. D立，x<0时,解析方法一：若 x<0, |f(x)|不等式可变为=| x + 2x| = x 2xa>x- 2,而 x一2<一2,可得 a>- 2;x = 0时，不等式恒成若x>0|f(x)|= |ln(x+ 1)| = ln(x +1),由 ln(x +1) >ax,可得in (x+1)、H-x一，区成立,令 h(x)in (x+1)x则 h' (x)=xTT7 ln(x+1) x,再令g(x)x力-ln(x +1),则g' (x)-x(x+ 1)故g(x)在(0 , +8)上单调递减，所以g(x)<g(0) =0,可得h' (x)(x+ 1)2x所以 h(x)>0 ,<0,故h(x)在(0 , +°°)上单调递减，x + 8时,aW0.综上可知，2WaW0,故选 D.h(x) -0,方法二：数形结合：画出函数 |f(x)|y = ax的图像，如下图,y=x22x, x<0在原点处要使|f(x)|> ax恒成立，只要使直线y= ax的斜率最小时与函数的切线斜率相等即可，最大时与x轴的斜率相等即可，因为 v' = 2x-2,所以 y' I x=0=- 2,所以一2WaW0.10. B112013 广东卷若曲线y=kx+ln x 在点(1 , k)处的切线平行于 x轴，则k=x=1=k + 1 = 0,故 k = 1.10. 1 解析.y，= k + 1, .y，I x=2.13. B1, B112013 江西卷13.2解析f(e x)x=x + e18. B11, B122013北京卷设函数f(x)在(0 , +°°)内可导，且f(e利用换元法可得f(x) =ln x+x,f' (x)x.)=x+ex,则 f，(1)1 一=7+1,所以f ' (1) x设L为曲线C: y = 9二在点(1, 0)处的切线.x(1)求L的方程；(2)证明：除切点(118.解:设f(x),0)之外，曲线C在直线L的下方.In x1 ln x=匚一，则 f' (x) = 17 1.xx所以 f' (1) = 1.所以L的方程为y = x-1.(2)令g(x) =x- 1 -f(x),则除切点之外，曲线C在直线L的下方等价于g(x)>0(x>0, xw1).g(x)满足 g(1) =0,且g，(x) = 1f ' (x)=x2 1 + ln x当 0<x<1 时，x2- 1<0故g(x)单调递减； 当 x>1 时，x2 1>0, 故g(x)单调递增.所以 g(x)>g(1) =0( 所以除切点之外，曲线2.xIn x<0 ,所以 g' (x)<0
展开阅读全文