湖北版高考数学 分项汇编 专题09 圆锥曲线含解析理

【备战20xx】（湖北版）高考数学分项汇编 专题09 圆锥曲线（含解析）理一选择题1.【2005年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷5】双曲线离心率为2，有一个焦点与抛物线的焦点重合，则mn的值为（ ）A B C D【答案】A【解析】试题分析：抛物线的焦点为(1,0)，得m=,n=,mn=，选A.2.【2006年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷】设过点的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴交于两点，点与点关于轴对称，为坐标原点，若且，则点的轨迹方程是 ( )A BC D3.【2007年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷7】双曲线的左准线为，左焦点和右焦点分别为和；抛物线的准线为，焦点为与的一个交点为，则等于 （ ）A B C D4.【2008年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷10】如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道绕月飞行，若用2c1和2c2分别表示椭轨道和的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道和的长轴的长，给出下列式子：a1+c1=a2+c2;a1-c1=a2-c2;c1a2a1c1;.其中正确式子的序号是（ ）A. B.C.D.【答案】B【解析】试题分析：由焦点到顶点的距离可知正确，由椭圆的离心率知正确，故应选B5.【2009年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷7】已知双曲线的准线过椭圆的焦点，则直线与椭圆至多有一个交点的充要条件是（ ）A. B. C. D. 6.【20xx年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷2】设集合，则的子集的个数是（ ）A4 B3 C 2 D1【答案】A【解析】试题分析：画出椭圆和指数函数图象，可知其有两个不同交点，记为A1、A2，则的子集应为共四种，故选A.7.【20xx年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷4】将两个顶点在抛物线上，另一个顶点是抛物线焦点的正三角形个数记为n，则（ ） A. B. C. D. 8.【20xx年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷5】已知，则双曲线与的（ ）A.实轴长相等 B.虚轴长相等 C.焦距相等 D. 离心率相等【答案】D【解析】试题分析：双曲线的离心率是，双曲线的离心率是，故选D.9.【20xx年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷9】已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是他们的一个公共点，且,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）A. B. C.3 D.2所以.所以椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为，故选A.考点：椭圆、双曲线的定义与性质，利用三角换元法求最值，难度中等.10. 【20xx高考湖北，理8】将离心率为的双曲线的实半轴长和虚半轴长同时增加个单位长度，得到离心率为的双曲线，则（ ） A对任意的， B当时，；当时，C对任意的， D当时，；当时，二填空题1.【20xx年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷14】如图，双曲线的两顶点为，虚轴两端点为，两焦点为，. 若以为直径的圆内切于菱形，切点分别为. 则：A1 A2 yB2 B1AO BCDF1 F2 x（）双曲线的离心率 ；（）菱形的面积与矩形的面积的比值 .三解答题1.【2005年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷21】设A、B是椭圆上的两点，点N（1，3）是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点. （）确定的取值范围，并求直线AB的方程；（）试判断是否存在这样的，使得A、B、C、D四点在同一个圆上？并说明理由. （此题不要求在答题卡上画图） 【解析】 （）解法1：依题意，可设直线AB的方程为，整理得 设是方程的两个不同的根， 同理可得 当时，假设存在12，使得A、B、C、D四点共圆，则CD必为圆的直径，点M为圆心.点M到直线AB的距离为 于是，由、式和勾股定理可得计算可得，A在以CD为直径的圆上.又B为A关于CD的对称点，A、B、C、D四点共圆.（注：也可用勾股定理证明ACAD）2.【2006年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷】设分别为椭圆的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且为它的右准线。（）、求椭圆的方程；（）、设为右准线上不同于点（4，0）的任意一点，若直线分别与椭圆相交于异于的点，证明点在以为直径的圆内。（此题不要求在答题卡上画图）解法2：由（）得A（2，0），B（2，0）.设M（x1，y1），N（x2，y2），则2x12，2x20)相交于A、B两点.（）若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求ANB面积的最小值；（）是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由.（此题不要求在答题卡上画图）NOACByxl4.【2008年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷19】如图，在以点O为圆心，|AB|=4为直径的半圆ADB中，ODAB，P是半圆弧上一点，POB=30，曲线C是满足|MA|-|MB|为定值的动点M的轨迹，且曲线C过点P.（）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；（）设过点D的直线l与曲线C相交于不同的两点E、F.若OEF的面积不小于2，求直线l斜率的取值范围.【解析】（）解法1：以O为原点，AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则A（-2，0），B（2，0），D(0,2),P（），依题意得MA-MB=PA-PBAB4.曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线.设实平轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，则c2，2a2，a2=2,b2=c2-a2=2.曲线C的方程为.解法2：同解法1建立平面直角坐标系，则依题意可得MA-MB=PA-PBAB4.曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线.设双曲线的方程为0，b0）.则由 解得a2=b2=2,曲线C的方程为()解法1：依题意，可设直线l的方程为ykx+2，代入双曲线C的方程并整理得（1-k2）x2-4kx-6=0.直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F， k（-,-1）（-1，1）（1，）.设E（x，y），F(x2,y2)，则由式得x1+x2=,于是EF而原点O到直线l的距离d，SDEF=综合、知，直线l的斜率的取值范围为-，-1（-1，1）（1，）.5.【2009年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷20】过抛物线的对称轴上一点的直线与抛物线相交于M、N两点，自M、N向直线作垂线，垂足分别为、。（）当时，求证：；（）记、 、的面积分别为、，是否存在，使得对任意的，都有成立。若存在，求出的值；若不存在，说明理由。 6.【20xx年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷19】已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F（1,0）的距离减去它到y轴距离的差都是1.()求曲线C的方程；（）是否存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A,B的任一直线，都有？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由。7.【20xx年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷20】平面内与两定点连线的斜率之积等于非零常数的m的点的轨迹，加上两点所成的曲线C可以是圆、椭圆、或双曲线。 （）求曲线C的方程，并讨论C的形状与m值的关系； （）当m=-1时，对应的曲线为；对给定的，对应的曲线为。设是的两个焦点。试问：在上是否存在点N,使得的面积。若存在，求的值，若不存在，请说明理由。由的，由得，当，即或时，存在点N使得，；8.【20xx年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷21】设是单位圆上的任意一点，是过点与轴垂直的直线，是直线与 轴的交点，点在直线上，且满足. 当点在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线（）求曲线的方程，判断曲线为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标； （）过原点且斜率为的直线交曲线于，两点，其中在第一象限，它在轴上的射影为点，直线交曲线于另一点. 是否存在，使得对任意的，都有？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【解析】（）如图1，设，则由，可得，所以，. 因为点在单位圆上运动，所以. 将式代入式即得所求曲线的方程为. 9.【20xx年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷21】如图，已知椭圆与的中心在坐标原点，长轴均为且在轴上，短轴长分别为，过原点且不与轴重合的直线与，的四个交点按纵坐标从大到小依次为，。记，和的面积分别为和。（I）当直线与轴重合时，若，求的值；（II）当变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线，使得？并说明理由。第21题图【解析】（I），解得：（舍去小于1的根）10.【20xx年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷21】在平面直角坐标系中，点到点的距离比它到轴的距离多1，记点的轨迹为.（I）求轨迹为的方程；（II）设斜率为的直线过定点，求直线与轨迹恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时的相应取值范围.【答案】（I）；（II）当时直线与轨迹恰有一个公共点； 当时，故此时直线与轨迹恰有两个公共点； 当时，故此时直线与轨迹恰有三个公共点.【解析】试题分析：（I）设点，根据条件列出等式，在用两点间的距离公式表示，化简整理即得；（II）在点的轨迹中，记，设直线的方程为即当时，直线与有一个共点，与有一个公共点.当时 ，直线与有两个共点，与没有公共点.故当时，故此时直线与轨迹恰有两个公共点.11. 【20xx高考湖北，理21】一种作图工具如图1所示是滑槽的中点，短杆可绕转动，长杆通过处铰链与连接，上的栓子可沿滑槽AB滑动，且，当栓子在滑槽AB内作往复运动时，带动绕转动一周（不动时，也不动），处的笔尖画出的曲线记为以为原点，所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系（）求曲线C的方程；（）设动直线与两定直线和分别交于两点若直线总与曲线有且只有一个公共点，试探究：的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由 xDOMNy第21题图2第21题图1 【答案】（）；（）存在最小值8.【解析】（）设点，依题意，第21题解答图，且，所以，且即且 由于当点不动时，点也不动，所以不恒等于0，于是，故，代入，可得，即所求的曲线的方程为 当时，.因，则，所以，当且仅当时取等号.所以当时，的最小值为8.综合（1）（2）可知，当直线与椭圆在四个顶点处相切时，的面积取得最小值8. 考点：椭圆的标准方程、几何性质,直线与圆、椭圆的位置关系，最值.