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专题10 立体几何一基础题组1. 【20xx课标全国，理4】已知m，n为异面直线，m平面，n平面.直线l满足lm，ln，l，l，则()A且lB且lC与相交，且交线垂直于lD与相交，且交线平行于l【答案】：D2. 【20xx全国，理4】已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB2，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为()A2 B C D1【答案】 D由BDAC，ECBD知，BD面EOC，CMBDCM面BDE.HM为直线AC1到平面BDE的距离又ACC1为等腰直角三角形，CH=2.HM=1.3. 【20xx新课标，理6】在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如下图所示，则相应的侧视图可以为()(正视图)(俯视图)【答案】D【解析】4. 【2006全国2，理4】过球的一条半径的中点,作垂直于该半径的平面,则所得截面的面积与球的表面积的比为A. B. C. D. 【答案】:A【解析】:设球半径为R,截面半径为r.()2+r2=R2,r2=R2.=.选A.5. 【2006全国2，理7】如图,平面平面,A,B,AB与两平面,所成的角分别为和.过A,B分别作两平面交线的垂线,垂足为A,B,则ABAB等于A.21B.31C.32D.43【答案】:A6. 【2005全国3，理4】设三棱柱ABCA1B1C1的体积为V，P、Q分别是侧棱AA1、CC1上的点，且PA=QC1，则四棱锥BAPQC的体积为（ ）A B C D【答案】C【解析】连接，在侧面平行四边形中， 四边形APQC的面积=四边形的面积，记B到面的距离为h，.7. 【2005全国2，理2】正方体中，、分别是、的中点那么，正方体的过、的截面图形是（ ）(A) 三角形(B) 四边形(C) 五边形(D) 六边形【答案】D8. 【20xx新课标，理18】（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，E为PD的中点.（）证明：PB平面AEC；（）设二面角D-AE-C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E-ACD的体积.【解析】（）证明：设O为AC与BD交点，连结OE，则由矩形ABCD知：O为BD的中点，因为E是BD的中点，所以OEPB，因为OE面AEC，PB面AEC，所以PB平面AEC。9. 【20xx全国，理18】ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos(AC)cosB1，a2c，如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，PA底面ABCD，PA2，E是PC上的一点，PE2EC(1)证明：PC平面BED；(2)设二面角APBC为90°，求PD与平面PBC所成角的大小【解析】解法一：(1)证明：因为底面ABCD为菱形，所以BDAC又PA底面ABCD，所以PCBD设ACBD=F，连结EF.因为，PA=2，PE=2EC，故，从而，因为，FCE=PCA，设C(，0,0)，D(，b,0)，其中b0，则P(0,0,2)，E(，0，)，B(，b,0)于是(，0，2)，(，b，)，(，b，)，从而，故PCBE，PCDE.又BEDEE，所以PC平面BDE.10. 【2006全国2，理19】如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,AB=BC,D,E分别为BB1,AC1的中点.(1)证明:ED为异面直线BB1与AC1的公垂线;(2)设AA1=AC=AB,求二面角A1-AD-C1的大小.【解析】解法一:(1)设O为AC中点,连结EO,BO,则EOC1C.又C1CB1B,EODB,EOBD为平行四边形,EDOB.AB=BC,BOAC.又平面ABC平面ACC1A1,BO面ABC,故BO平面ACC1A1,ED平面ACC1A1,EDAC1,EDCC1.EDBB1,ED为异面直线AC1与BB1的公垂线.解法二:(1)如图,建立直角坐标系Oxyz,其中原点O为AC的中点.设A(A,0,0),B(0,b,0),B1(0,b,2c),则C(-A,0,0),C1(-A,0,2c),E(0,0,c),D(0,b,c).=(0,b,0),=(0,0,2c).·=0,EDBB1.又=(-2A,0,2c),·=0,EDAC1.ED是异面直线BB1与AC1的公垂线.(2)不妨设A(1,0,0),则B(0,1,0),C(-1,0,0),A1(1,0,2),=(-1,-1,0),=(-1,1,0),=(0,0,2),·=0,·=0,即BCAB,BCAA1,又ABAA1=A,BC面A1AD.又E(0,0,1),D(0,1,1),C(-1,0,0),=(-1,0,-1),=(-1,0,1),=(0,1,0),·=0,·=0,即ECAE,ECED,又AEED=E,EC面C1AD.cos,=,即得和的夹角为60°.二面角A1-AD-C1为60°.11. 【2005全国3，理18】(本小题满分12分)如图，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形,平面VAD底面ABCD （）证明AB平面VAD； （）求面VAD与面VDB所成的二面角的大小【解析】：证明：方法一：（）证明： （）解：取VD的中点E，连结AF，BE，VAD是正三形， AEVD，AE=AB平面VAD， ABAE.又由三垂线定理知BEVD. 因此，tanAEB=即得所求二面角的大小为（）设E为DV中点，则，由因此，AEB是所求二面角的平面角，解得所求二面角的大小为12. 【20xx高考新课标2，理6】一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A B C D【答案】D【考点定位】三视图二能力题组1. 【20xx新课标，理6】如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C2. 【20xx全国2，理9】已知正四棱锥SABCD中，SA2，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为()A1 B. C2 D3【答案】：CVSABCD×a2×h (242h2)×hh38hV2h28，令V0得h2.当h(0,2)时，V单调递增，当h(2,2)时，V单调递减，当h2时，V取得最大值3. 【20xx新课标，理15】已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB6，BC，则棱锥OABCD的体积为_【答案】【解析】4. 【20xx课标全国，理18】(本小题满分12分)如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1ACCB.(1)证明：BC1平面A1CD；(2)求二面角DA1CE的正弦值 (2)由ACCB得，ACBC.以C为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.5. 【20xx新课标，理18】如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，DAB60°，AB2AD，PD底面ABCD(1)证明：PABD；(2)设PDAD，求二面角APBC的余弦值【解析】：(1)因为DAB60°，AB2AD，由余弦定理得.从而BD2AD2AB2，故BDAD又PD底面ABCD，可得BDPD所以BD平面PAD故PABD6. 【20xx全国2，理19】如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，AA1AB，D为BB1的中点，E为AB1上的一点，AE3EB1.(1)证明DE为异面直线AB1与CD的公垂线；(2)设异面直线AB1与CD的夹角为45°，求二面角A1AC1B1的大小【解析】：解法一：(1)证明：连结A1B，记A1B与AB1的交点为F，因为面AA1B1B为正方形，故A1BAB1，且AFFB1，又AE3EB1，所以FEEB1，又D为BB1的中点，故DEBF，DEAB1.作CGAB，G为垂足，由ACBC知，G为AB中点又由底面ABC面AA1B1B，得CG面AA1B1B，连结DG，则DGAB1，故DEDG，由三垂线定理，得DECD，所以DE为异面直线AB1与CD的公垂线所以二面角A1AC1B1的大小为arctan.解法二：(1)证明：以B为坐标原点，射线BA为x轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz，设AB2，则A(2,0,0)，B1(0,2,0)，D(0,1,0)，E(，0)，又设C(1,0，c)，则(，0)，(2，2,0)，(1，1，c)于是0，0，故DEB1A，DEDC，所以DE为异面直线AB1与CD的公垂线设平面AB1C1的法向量为n(p，q，r)，则n·0，n·0，即p2qr0,2p2q0，令p，则q，r1，故n(，1)所以cosm，n.由于m，n等于二面角A1AC1B1的平面角，所以二面角A1AC1B1的大小为arccos.7. 【20xx高考新课标2，理9】已知A,B是球O的球面上两点，AOB=90,C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为( )A36 B.64 C.144 D.256【答案】C三拔高题组1. 【20xx新课标，理11】直三棱柱ABC-A1B1C1中，BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成的角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C【解析】以C为原点，直线CA为x轴，直线CB为y轴，直线为轴，则设CA=CB=1，则，A（1，0，0），故，所以，故选C.2. 【20xx课标全国，理7】一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为()【答案】：A3. 【20xx全国2，理11】与正方体ABCDA1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点()A有且只有1个 B有且只有2个C有且只有3个 D有无数个【答案】：D【解析】经验证线段B1D上的点B，D，中点，四等分点均满足题意，故由排除法知应有无数个点4. 【2005全国2，理12】将半径为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里这个正四面体的高的最小值为（ ）(A) (B) (C) (D) 【答案】C【解析】由题意知，底面放三个钢球，上再落一个钢球时体积最小，于是把钢球的球心连接，则又可得到一个棱长为2的小正四面体，则不难求出这个小正四面体的高为，且由正四面体的性质可知：正四面体的中心到底面的距离是高的，且小正四面体的中心和正四面体容器的中心应该是重合的，小正四面体的中心到底面的距离是，正四面体的中心到底面的距离是（1即小钢球的半径），所以可知正四棱锥的高的最小值为，故选 C5. 【20xx全国，理16】三棱柱ABCA1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，BAA1CAA160°，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为_【答案】：6. 【20xx全国2，理16】已知球O的半径为4，圆M与圆N为该球的两个小圆，AB为圆M与圆N的公共弦，AB4，若OMON3，则两圆圆心的距离MN_.答案：3解析：|OM|ON|3，圆M与圆N的半径相等，且为.取AB中点C，连结MC、NC，则MCAB，NCAB，|MC|NC|，易知OM、CN共面且OMMC，ONNC，|OC|2，sinOCM，|MN|2|MC|·sinOCM2×3. 7. 【2005全国2，理20】(本小题满分12分)如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，、分别为、的中点() 求证：平面；() 设，求与平面所成的角的大小EFPEFAEFFAPB、FA为平面PAB内的相交直线EF平面PAB以D为坐标原点，DA的长为单位，建立如图所示的直角坐标系。(I)证明：设E(，0,0)，其中>0，则C(2，0,0)，A(0,1，0)，B(2，1,0)，P(0,0，1)，F(，)。，EFPB，EFAB又PB平面PAB，AB平面PAB，PBAB=BEF平面PAB则sin=cos=，所以，所求角为arcsin8. 【20xx高考新课标2，理19】（本题满分12分）如图，长方体中,，点，分别在，上，过点，的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形DD1C1A1EFABCB1（）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）；（）求直线与平面所成角的正弦值【答案】（）详见解析；（）【考点定位】1、直线和平面平行的性质；2、直线和平面所成的角9.
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