新课标高三数学 一轮复习 第14篇 第2节 证明不等式的基本方法课时训练 理

【导与练】（新课标）20xx届高三数学一轮复习 第14篇 第2节 证明不等式的基本方法课时训练 理【选题明细表】知识点、方法题号比较法证明不等式4、8、9综合法与分析法证明不等式5、6、11反证法与放缩法证明不等式2、3、7基本不等式的应用1、7、8、10一、选择题1.若n0,则n+32n2的最小值为(C)(A)2(B)4(C)6(D)8解析:根据算术几何平均不等式可得n+32n2=n2+n2+32n233121232=6.2.若实数x,y适合不等式xy1,x+y-2,则(A)(A)x0,y0(B)x0,y0,y0(D)x0解析:x,y异号时,显然与xy1矛盾,所以可排除C,D.假设x0,y0,则x1y.所以x+y0,y0.3.设x0,y0,A=x+y1+x+y,B=x1+x+y1+y,则A,B的大小关系是(B)(A)A=B(B)AB解析:通过对式子B进行放缩可得B=x1+x+y1+yx1+x+y+y1+y+x=x+y1+x+y=A,即Ab1,则a+1a与b+1b的大小关系是.解析:a+1a-(b+1b)=a-b+b-aab=(a-b)(ab-1)ab.由ab1得ab1,a-b0,所以(a-b)(ab-1)ab0.即a+1ab+1b.答案:a+1ab+1b5.若04,sin +cos =a,sin +cos =b,则a与b的大小关系是.解析:a2=1+sin 2,b2=1+sin 2,又0222,sin 2sin 2,a2b2,又a,b均大于0,ab.答案:a0,b0,ab,A=fa+b2,B=f(ab),C=f2aba+b,则A、B、C中最大的为.解析:a0,b0,ab,a+b2ab2aba+b,又函数f(x)=12x在R上单调递减,fa+b2f(ab)f2aba+b.即ABbc,nN*,且1a-b+1b-cna-c恒成立,则n的最大值为.解析:a-c0,na-ca-b+a-cb-c=(a-b)+(b-c)a-b+(a-b)+(b-c)b-c=2+b-ca-b+a-bb-c恒成立,a-b0,b-c0,b-ca-b+a-bb-c2b-ca-ba-bb-c=2.n4.即n的最大值为4.答案:48.某品牌彩电厂家为了打开市场,促进销售,准备对其生产的某种型号的彩电降价销售,现有四种降价方案:(1)先降价a%,再降价b%;(2)先降价b%,再降价a%;(3)先降价a+b2%,再降价a+b2%;(4)一次性降价(a+b)%.其中a0,b0,ab,上述四个方案中,降价幅度最小的是.解析:设降价前彩电的价格为1,降价后彩电价格依次为x1、x2、x3、x4.则x1=(1-a%)(1-b%)=1-(a+b)%+a%b%x2=(1-b%)(1-a%)=x1,x3=(1-a+b2%)(1-a+b2%)=1-(a+b)%+14(a+b)%2,x4=1-(a+b)%0,x3x1=x2x4.答案:方案(3)三、解答题9.设ab0,求证:a2-b2a2+b2a-ba+b.证明:法一a2-b2a2+b2-a-ba+b=a3-b3-ab2+a2b-a3+b3+a2b-ab2(a2+b2)(a+b)=2a2b-2ab2(a2+b2)(a+b)=2ab(a-b)(a2+b2)(a+b),ab0,a-b0,ab0,a2+b20,a+b0.a2-b2a2+b2-a-ba+b0,a2-b2a2+b2a-ba+b.法二ab0,a+b0,a-b0.a2-b2a2+b2a-ba+b=a2-b2a2+b2a+ba-b=(a+b)2a2+b2=a2+b2+2aba2+b2=1+2aba2+b21.a2-b2a2+b2a-ba+b.10.(20xx高考新课标全国卷)若a0,b0,且1a+1b=ab.(1) 求a3+b3的最小值;(2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.解:(1)由ab=1a+1b2ab,得ab2,且当a=b=2时等号成立.故a3+b32a3b342,且当a=b=2时等号成立.所以a3+b3的最小值为42.(2)不存在满足题意的a,b,理由:由(1)知,2a+3b26ab43.由于436,从而不存在a,b,使得2a+3b=6.11.(20xx高考新课标全国卷) 设函数f(x)=x+1a+|x-a|(a0).(1)证明:f(x)2;(2)若f(3)0,有f(x)= x+1a+|x-a|x+1a-(x-a) =1a+a2,所以f(x)2.(2)解:f(3)= 3+1a+|3-a|.当a3时,f(3)=a+1a,由f(3)5得3a5+212.当0a3时,f(3)=6-a+1a,由f(3)5得1+52a3.综上,a的取值范围是(1+52,5+212).