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精品资料第 2 讲矩阵与变换1 正如矩阵 A1121，向量12.求向量，使得 A2.解A2112111213243设xy，由 A2，得3243xy123x2y1，4x3y2，解得x1，y2.12.2在平面直角坐标系 xOy 中，设椭圆 4x2y21 在矩阵 A2001 对应的变换作用下得到曲线 F，求 F 的方程解设 P(x0，y0)是椭圆上任意一点，点 P(x0，y0)在矩阵 A 对应的变换下变为点 P(x0，y0)则有x0y02001x0y0，即x02x0y0y0 x0 x02，y0y0.又点 P 在椭圆上，故 4x20y201，从而 x20y201.曲线 F 的方程是 x2y21.3已知矩阵 M1ba1 ，Nc02d ，且 MN2200 .(1)求实数 a、b、c、d 的值；(2)求直线 y3x 在矩阵 M 所对应的线性变换作用下的像的方程解(1)由题设得：c02，2ad0，bc02，2bd0.解得a1，b1，c2，d2.(2)矩阵 M 对应的线性变换将直线变成直线(或点)，可取直线 y3x 上的两点(0,0)，(1,3)，由111100 00 ，111113 22，得点(0,0)，(1,3)在矩阵 M 所对应的线性变换作用下的像是点(0,0)，(2,2)从而，直线 y3x 在矩阵 M 所对应的线性变换作用下的像的方程为 yx.4 若点A(2,2)在矩阵Mcos sin sin cos 对应变换的作用下得到的点为B(2,2)，求矩阵 M 的逆矩阵解由题意，知 M22 22，即2cos 2sin 2sin 2cos 22，cos sin 1，sin cos 1，解得cos 0，sin 1.M0110.由 M1M1001 ，解得 M10110 .5已知二阶矩阵 Aabcd，矩阵 A 属于特征值11 的一个特征向量为 a111，属于特征值24 的一个特征向量为 a232，求矩阵 A.解由特征值、特征向量定义可知，Aa11a1，即abcd11111，得ab1，cd1.同理可得3a2b12，3c2d8.解得 a2，b3，c2，d1.因此矩阵 A2321.6已知矩阵 M3113，求 M 的特征值及属于各特征值的一个特征向量解由矩阵 M 的特征多项式 f()|3113|(3)210，解得12，24，即为矩阵 M 的特征值设矩阵 M 的特征向量为xy，当12 时，由 Mxy2xy，可得xy0，xy0.可令 x1，得 y1，111是 M 的属于12 的特征向量当24 时，由 Mxy4xy，可得xy0，xy0，取 x1，得 y1，211是 M 的属于24 的特征向量7求曲线 C：xy1 在矩阵 M1111对应的变换作用下得到的曲线 C1的方程解设 P(x0，y0)为曲线 C：xy1 上的任意一点，它在矩阵 M1111对应的变换作用下得到点 Q(x，y)由1111x0y0 xy，得x0y0 x，x0y0y.解得x0 xy2，y0 xy2.因为 P(x0，y0)在曲线 C：xy1 上，所以 x0y01.所以xy2xy21，即 x2y24.所以所求曲线 C1的方程为 x2y24.8已知矩阵 A1002，B0110，求(AB)1.解AB100201100120.设(AB)1abcd，则由(AB)(AB)11001，得0120abcd1001，即cd2a2b1001，所以c1，d0，2a0，2b1，解得a0，b12，c1，d0.故(AB)101210.9设矩阵 Ma00b(其中 a0，b0)(1)若 a2，b3，求矩阵 M 的逆矩阵 M1；(2)若曲线 C：x2y21 在矩阵 M 所对应的线性变换作用下得到曲线 C：x24y21，求 a、b 的值解(1)设矩阵 M 的逆矩阵 M1x1y1x2y2，则 MM11001.又 M2003.2003x1y1x2y21001.2x11,2y10,3x20,3y21，即 x112，y10，x20，y213，故所求的逆矩阵 M1120013.(2)设曲线 C 上任意一点 P(x，y)，它在矩阵 M 所对应的线性变换作用下得到点 P(x，y)，则a00bxyxy，即axx，byy，又点 P(x，y)在曲线 C上，x24y21.则a2x24b2y21 为曲线 C 的方程又已知曲线 C 的方程为 x2y21，故a24，b21.又 a0，b0，a2，b1.10已知梯形 ABCD，其中 A(0，0)，B(3，0)，C(2，2)，D(1，2)，先将梯形作关于 x 轴的反射变换，再将所得图形绕原点逆时针旋转 90.(1)求连续两次变换所对应的变换矩阵 M.(2)求点 A，B，C，D 在 TM作用下所得到的结果解(1)关于 x 轴的反射变换矩阵为 M11001，逆时针旋转 90的变换矩阵为M2cos 90sin 90sin 90cos 900110故 MM2M1011010010110.(2)A：01100000，即 A(0，0)B：01103003，即 B(0，3)C：01102222，即 C(2，2)D：01101221，即 D(2，1)11已知二阶矩阵 M 有特征值8 及对应的一个特征向量 e111，并且矩阵 M对应的变换将点(1,2)变换成(2,4)(1)求矩阵 M；(2)求矩阵 M 的另一个特征值，及对应的一个特征向量 e2的坐标之间的关系；(3)求直线 l：xy10 在矩阵 M 的作用下的直线 l的方程解(1)设 Mabcd，则abcd1181188，故ab8，cd8.因abcd1224，故a2b2，c2d4.联立以上两方程组解得 a6，b2，c4，d4，故 M6244.(2)由(1)知，矩阵 M 的特征多项式为f()(6)(4)821016，故其另一个特征值为2.设矩阵 M 的另一个特征向量是 e2xy，则 Me26x2y4x4y2xy，解得 2xy0.(3)设点(x，y)是直线 l 上的任一点，其在矩阵 M 的变换下对应的点的坐标为(x，y)，则6244xyxy，即 x14x18y， y14x38y， 代入直线 l 的方程后并化简得 xy20，即 xy20.12已知矩阵 A1a1b，A 的一个特征值2，其对应的特征向量是121.(1)求矩阵 A；(2)若向量74，计算 A5的值解(1)A1214.(2)矩阵 A 的特征多项式为 f()|1214|2560， 得12， 23，当12 时，121，当23 时，得211.由m1n2，得2mn7，mn4，解得 m3，n1.A5A5(312)3(A51)A523(511)522325213511435339.13设矩阵 Ma00b(其中 a0，b0)若 a2，b3，求 M 的逆矩阵 M1；若曲线 C：x2y21，在矩阵 M 所对应的线性变换作用下得到曲线 C：x24y21，求 a，b 的值解设 M1x1y1x2y2， 则 MM11001又 M2003， 2003x1y1x2y21001.2x11，2y10，3x20，3y21.即 x12，y10，x20，y213.M1120013.设 C 上任一点 P(x，y)，在 M 作用下得点 P(x，y)，则a00bxyxy，来源axxbyy，又点 P(x，y)在 C上，所以x24y21.即a2x24b2y21 为曲线 C 的方程又 C 的方程为 x2y21，a24，b21.又 a0，b0，所以a2，b1.
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