常微分方程稳定性理论

6.4李雅普诺夫第二方法上一节我们介绍了稳定性概念，但是据此来判明系统解的稳定性，其应用范围是极其有限的.李雅普诺夫创立了处理稳定性问题的两种方法：第一方法要利用微分方程的级数解，在他之后没有得到大的发展；第二方法是在不求方程解的情况下，借助一个所谓的李雅普诺夫函数 V(x)和通过微分方程所计算出来的导数空凶的符号性质,dt就能直接推断出解的稳定性，因此又称为直接法.本节主要介绍李雅普诺夫第二方法.为了便于理解，我们只考虑自治系统dXnF(x), x Rdt(6.11)假设F(x) =(h(x)，,Fn(x)T在GRn|x|乞K 上连续,满足局部利普希茨条件，且F(O) =0.为介绍李雅普诺夫基本定理，先引入李雅普诺夫函数概念定义6.3若函数V(x):G R满足V(0) =0 , V(x)和 (i =1,2/ ,n)都连续,且若存在0 ： H乞K ,使在D =L|x| 则由V(x)正定、连续和:是有界闭集知b = min V (x)0由V(O) =0和V(x)连续知存在0(一：；),使当x 时,V(x) : b,于是有x :. 时，X(t,to,Xo) ： ；,t- to(6.12)若上述不等式不成立,由X 一一：；和x(t,to,xo)的连续性知存在ti to，当L to,ti时, X(t, to,Xo)：；,而 X(ti,to, Xo) - 那么由 b 的定义，有V(x(ti，to，x。)b(6.13)另一方面，由条件知dV(X (t to Xo )Uo在to,t1 上成立，即tto,t时, dtV(x(t,to,xo)乞V(xo) ： b自然有V(x(ti，to，x)：b.这与(6.13)矛盾，即(6.12)成立.(图6-2为n=2的情况.)例1考虑无阻尼线性振动方程x 2 = 0(6.14)的平衡位置的稳定性.解 把(6.14)化为等价系统x = y | y 2x(6.15)(6.14)的平衡位置即(6.15)的零解.作V函数1 2 1 2V(x, y-(x2 y )2蛍有dVdt(5.15)=(x x12y y) (5.15)即V(x,y)正定,理剛)兰0.于是由定理6.1知(6.15)的零解是稳定的，即(6.14)的平衡 dt位置是稳定的.引理 若V(x)是正定(或负定)的李雅普诺夫函数，且对连续有界函数x(t)有啊口)=0则 lim x(t) = O . tjpc证明由读者自己完成.定理6.2对系统(6.11)若区域D上存在李雅普诺夫函数V(x)满足(1) 正定；(2) 乎|(5.11)=送Fi (x)负定,dtim txi则(6.11)的零解渐近稳定.证明 由定理6.1知(6.11)的零解是稳定的.取匚为定理6.1的证明过程中的于 是当x -时，V(x(t,t ,x。)单调下降 若X。=0,则由唯一性知x(t,t, x)三O ,自然有不妨设x =0.由初值问题解的唯一性，对任意t, x(t,t,X0)= O.从而由V(x)的正定性知V(xZoXo) . 0总成立，那么存在a_O使lim V(x(t,to，x。)=a t-)：假设a . 0,联系到V(x(t,t0,x0)的单调性有a : V(x(t,to, Xo) : V(xo)对tt0成立.从而由V(O)=0知存在h 0,使t_t。时h ： x(t,t0,x)：；(6.16)成立.M raxh承圏dt由条件有故从(6.16)知dV(x (t , t , X0 ) ： m dt-对上述不等式两端从t0到t t0积分得V(x(t,t,x。)-V(X0)M(t -t。)该不等式意味着lim V(x(t,t0，x)二t ):矛盾.故a =0 ,即lim V(x(t,t0,x) =0t_)：由于零解是稳定的,所以X(t,t,X0)在I,址】上有界,再由引理知 邺/伸0公0)= O .定理证毕.例2证明方程组，广2 2x = -y +x(x + y -1)2 2y = x y(x y -1)(6.17)的零解渐近稳定.证明作李雅普诺夫函数1 2 2V(x, y) (x y )2dVdt(5.17)= (xx+ yy)(5.17)/ 2 2 2 2=(x y )(x y -1)在区域D = fx, y)x2 +y2 1 上V(x, y)正定,竺(517)负定，故由定理6.2知其零解渐dt近稳定.最后,我们给出不稳定性定理而略去证明.定理6.3对系统(6.11)若在区域D上存在李雅普诺夫函数V(x)满足(1)dVdt(5.11)Fi (x)正定;X(2) V(x)不是常负函数，则系统(6.11)的零解是不稳定的6.3平面自治系统的基本概念本节考虑平面自治系统x = P(x, y)y =Q(x, y)(6.18)以下总假定函数 P(x, y),Q(x, y)在区域上连续并满足初值解的存在与唯一性定理的条件