五年高考真题高考数学 复习 第九章 第六节 直线与圆锥曲线的位置关系 理全国通用

第六节第六节 直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系 考点一 直线与圆锥曲线的位置关系 1(20 xx重庆，10)设双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的右焦点为F，右顶点为A，过F作AF的垂线与双曲线交于B，C两点，过B，C分别作AC，AB的垂线，两垂线交于点D，若D到直线BC的距离小于aa2b2，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是( ) A(1，0)(0，1) B(，1)(1，) C( 2，0)(0， 2) D(， 2)( 2，) 解析 由题意A(a，0)，Bc，b2a，Cc，b2a，由双曲线的对称性知D在x轴上，设D(x，0)，由BDAC得b2a0cxb2aac1，解得cxb4a2（ca），所以cxb4a2（ca）aa2b2ac，所以b4a2c2a2b2b2a210ba1，因此渐近线的斜率取值范围是(1，0)(0，1)，选 A. 答案 A 2(20 xx辽宁，10)已知点A(2，3)在抛物线C：y22px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为( ) A.12 B.23 C.34 D.43 解析 A(2，3)在抛物线y22px的准线上，p22，p4，y28x，设直线AB的方程为xk(y3)2，将与y28x联立，即xk（y3）2，y28x，得y28ky24k160，则(8k)24(24k16)0，即 2k23k20，解得k2 或k12(舍去)，将k2 代入解得x8，y8，即B(8，8)，又F(2，0)，kBF808243，故选 D. 答案 D 3(20 xx新课标全国，10)设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为 30的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为( ) A.3 34 B.9 38 C.6332 D.94 解析 易知直线AB的方程为y33(x34)，与y23x联立并消去x得 4y212 3y90.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y23 3，y1y294. SOAB12|OF|y1y2| 1234（y1y2）24y1y2 3827994.故选 D. 答案 D 4(20 xx大纲，8)椭圆C：x24y231 的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是2，1，那么直线PA1斜率的取值范围是( ) A.12，34 B.38，34 C.12，1 D.34，1 解析 如图： 设直线A2M的方程为y(x2)2x， 代入椭圆方程x24y231，并整理得 7x216x40， 2x167，x27， M点坐标为27，127. 设直线A2N的方程为y2(x2)42x，同理可得N点坐标为2619，2419， kA1M12727234， kA1N24192619238. 直线PA1斜率的取值范围是38，34. 答案 B 5(20 xx全国，10)已知抛物线C：y24x的焦点为F，直线y2x4 与C交于A，B两点，则 cosAFB等于( ) A.45 B.35 C35 D45 解析 联立y24x，y2x4.不妨设A在x轴上方， 则A(4，4)，B(1，2) F点的坐标为(1，0)，FA(3，4)，FB(0，2)， cosAFBFAFB|FA|FB|85245. 答案 D 6(20 xx山东，15)平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：x2a2y2b21(a0，b0)的渐近线与抛物线C2：x22py(p0)交于点O，A，B.若OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为_ 解析 由题意，不妨设直线OA的方程为ybax，直线OB的方程为ybax.由ybax，x22py，得x22p bax， x2pba，y2pb2a2，A2pba，2pb2a2. 设抛物线C2的焦点为F，则F0，p2， kAF2pb2a2p22pba. OAB的垂心为F，AFOB，kAFkOB1， 2pb2a2p22pbaba1，b2a254. 设C1的离心率为e，则e2c2a2a2b2a215494. e32. 答案 32 7(20 xx浙江，16)定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离已知曲线C1：yx2a到直线l：yx的距离等于曲线C2：x2(y4)22 到直线l：yx的距离，则实数a_. 解析 曲线C2到l的距离d等于圆心到直线的距离减去半径， 即d|4|2 2 2， 所以曲线C1到l的距离为 2， 则曲线C1与直线l不能相交， 即x2ax， x2xa0.设C1：yx2a上一点为(x0，y0)， 则点(x0，y0)到直线l的距离 d|x0y0|2x0 x20a2 （x012）2a142a142 2，所以a94. 答案 94 8(20 xx浙江，19)已知椭圆x22y21上两个不同的点A，B关于直线ymx12对称 (1)求实数m的取值范围； (2)求AOB面积的最大值(O为坐标原点) 解 (1)由题意知m0，可设直线AB的方程为 y1mxb. 由x22y21，y1mxb， 消去y，得121m2x22bmxb210. 因为直线y1mxb与椭圆x22y21有两个不同的交点，所以2b224m20， 将AB中点M2mbm22，m2bm22代入直线方程ymx12解得bm222m2 由得m63或m63. (2)令t1m62，0 0，62，则 |AB|t212t42t232t212. 且O到直线AB的距离为dt212t21. 设AOB的面积为S(t)， 所以S(t)12|AB|d122t2122222. 当且仅当t212时，等号成立 故AOB面积的最大值为22. 9(20 xx江苏，18)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的离心率为22，且右焦点F到左准线l的距离为3. (1)求椭圆的标准方程； (2)过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC2AB，求直线AB的方程 解 (1)由题意，得ca22且ca2c3， 解得a 2，c1，则b1， 所以椭圆的标准方程为x22y21. (2)当ABx轴时，AB 2，又CP3，不合题意 当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为yk(x1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 将AB的方程代入椭圆方程，得(12k2)x24k2x2(k21)0， 则x1，22k2 2（1k2）12k2，C的 坐 标 为2k212k2，k12k2， 且AB（x2x1）2（y2y1）2 （1k2）（x2x1）2 2 2（1k2）12k2. 若k0，则线段AB的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意 从而k0，故直线PC的方程为 yk12k21kx2k212k2， 则P点的坐标为2，5k22k（12k2）， 从而PC2（3k21） 1k2|k|（12k2）. 因为PC2AB， 所以2（3k21） 1k2|k|（12k2）4 2（1k2）12k2， 解得k1. 此时直线AB的方程为yx1 或yx1. 10(20 xx天津，19)已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的左焦点为F(c，0)，离心率为33，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2y2b24截得的线段的长为c，|FM|4 33. (1)求直线FM的斜率； (2)求椭圆的方程； (3)设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于 2，求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围 解 (1)由已知有c2a213， 又由a2b2c2，可得a23c2，b22c2. 设直线FM的斜率为k(k0)，F(c，0)，则直线FM的方程为 yk(xc)由已知，有kck212c22b22， 解得k33. (2)由(1)得椭圆方程为x23c2y22c21，直线FM的方程为y33(xc)，两个方程联立，消去y，整理得 3x22cx5c20， 解得x53c，或xc.因为点M在第一象限，可得M的坐标为c，2 33c. 由|FM|（cc）22 33c024 33. 解得c1，所以椭圆的方程为x23y221. (3)设点P的坐标为(x，y)，直线FP的斜率为t， 得tyx1，即yt(x1)(x1)，与椭圆方程联立 yt（x1），x23y221，消去y，整理得 2x23t2(x1)26， 又由已知，得t62x23（x1）2 2， 解得32x1，或1x0. 设直线OP的斜率为m，得myx，即ymx(x0)，与椭圆方程联立，整理得m22x223. 当x32，1 时，有yt(x1)0， 因此m0，于是m2x223，得m23，2 33. 当x(1，0)时，有yt(x1)0. 因此m0，于是m2x223， 得m，2 33. 综上，直线OP的斜率的取值范围是，2 3323，2 33. 11(20 xx北京，19)已知椭圆C：x22y24. (1)求椭圆C的离心率； (2)设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y2 上，且OAOB，试判断直线AB与圆x2y22 的位置关系，并证明你的结论 解 (1)由题意，椭圆C的标准方程为x24y221. 所以a24，b22， 从而c2a2b22. 因此a2，c 2. 故椭圆C的离心率eca22. (2)直线AB与圆x2y22 相切证明如下： 设点A，B的坐标分别为(x0，y0)，(t，2)，其中x00. 因为OAOB，所以OAOB0，即tx02y00， 解得t2y0 x0. 当x0t时，y0t22，代入椭圆C的方程，得t 2， 故直线AB的方程为x 2.圆心O到直线AB的距离d 2. 此时直线AB与圆x2y22 相切 当x0t时，直线AB的方程为y2y02x0t(xt)， 即(y02)x(x0t)y2x0ty00. 圆心O到直线AB的距离 d|2x0ty0|（y02）2（x0t）2 . 又x202y204，t2y0 x0，故 d|2x02y20 x0|x20y204y20 x204 4x20 x0 x408x20162x20 2. 此时直线AB与圆x2y22 相切 12(20 xx山东，21)已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA|FD|.当点A的横坐标为 3 时，ADF为正三角形 (1)求C的方程； (2)若直线l1l，且l1和C有且只有一个公共点E. ()证明直线AE过定点，并求出定点坐标； ()ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由 解 (1)由题意知Fp2，0 . 设D(t，0)(t0)，则FD的中点为p2t4，0 . 因为|FA|FD|， 由抛物线的定义知 3p2|tp2|， 解得t3p或t3(舍去) 由p2t43，解得p2. 所以抛物线C的方程为y24x. (2)()由(1)知F(1，0)， 设A(x0，y0)(x0y00)，D(xD，0)(xD0)， 因为|FA|FD|，则|xD1|x01， 由xD0 得xDx02，故D(x02，0) 故直线AB的斜率kABy02. 因为直线l1和直线AB平行， 设直线l1的方程为yy02xb， 代入抛物线方程得y28y0y8by00， 由题意64y2032by00，得b2y0. 设E(xE，yE)，则yE4y0，xE4y20. 当y204 时，kAEyEy0 xEx04y0y04y20y2044y0y204， 可得直线AE的方程为yy04y0y204(xx0)， 由y204x0，整理可得y4y0y204(x1)， 直线AE恒过点F(1，0) 当y204 时，直线AE的方程为x1，过点F(1，0)， 所以直线AE过定点F(1，0) ()由()知直线AE过焦点F(1，0)， 所以|AE|AF|FE|(x01)1x01 x01x02. 设直线AE的方程为xmy1， 因为点A(x0，y0)在直线AE上， 故mx01y0. 设B(x1，y1) 直线AB的方程为yy0y02(xx0)， 由于y00，可得x2y0y2x0， 代入抛物线方程得y28y0y84x00. 所以y0y18y0， 可求得y1y08y0，x14x0 x04. 所以点B到直线AE的距离为 d4x0 x04my08y011m2 4（x01）x04x01x0. 则ABE的面积S124x01x0 x01x02 16， 当且仅当1x0 x0，即x01 时等号成立 所以ABE的面积的最小值为 16. 13(20 xx新课标全国，20)平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：x2a2y2b21(ab0)右焦点的直线xy 30 交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为12. (1)求M的方程； (2)C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CDAB，求四边形ACBD面积的最大值 解 (1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则x21a2y21b21，x22a2y22b21， y1y2x1x21， 由此可得b2（x1x2）a2（y1y2）y2y1x2x11. 因为P为AB的中点，且OP的斜率为12， 所以x1x22x0，y1y22y0， y0 x012.所以y012x0， 即y1y212(x1x2) 所以可以解得a22b2，又由题意知， M的右焦点为( 3，0)，故a2b23. 所以a26，b23. 所以M的方程为x26y231. (2)将xy 30 代入x26y231， 解得x433，y33或x0，y 3.所以可得|AB|4 63； 由题意可设直线CD方程为yxm， 所以设C(x3，y3)，D(x4，y4)， 将yxm代入x26y231 得 3x24mx2m260， 则|CD| 2 （x3x4）24x3x4 439m2， 又因为16m212(2m26)0，即3mb0)的一个焦点为( 5，0)，离心率为53. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若动点P(x0，y0)为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程 解 (1)由题意知c 5，eca53， a3，b2a2c24， 故椭圆C的标准方程为x29y241. (2)设两切线为l1，l2， 当l1x轴或l1x轴时，l2x轴或l2x轴， 可知P(3，2)； 当l1与x轴不垂直且不平行时，x03，设l1的斜率为k，则k0，则l2的斜率为1k， l1的方程为yy0k(xx0)，与x29y241 联立， 整理得(9k24)x218(y0kx0)kx9(y0kx0)2360， 直线与椭圆相切，0，得 9(y0kx0)2k2(9k24)(y0kx0)240， 36k24(y0kx0)240， (x209)k22x0y0ky2040， k是方程(x209)x22x0y0 xy2040 的一个根， 同理1k是方程(x209)x22x0y0 xy2040 的另一个根， k1ky204x209，得x20y2013，其中x03， 点P的轨迹方程为x2y213(x3)， 检验P(3，2)满足上式 综上：点P的轨迹方程为x2y213. 3(20 xx湖北，21)在平面直角坐标系xOy中，点M到点F(1，0)的距离比它到y轴的距离多 1.记点M的轨迹为C. (1)求轨迹C的方程； (2)设斜率为k的直线l过定点P(2，1)，求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围 解 (1)设点M(x，y)，依题意得|MF|x|1，即 （x1）2y2|x|1， 化简整理得y22(|x|x) 故点M的轨迹C的方程为 y24x，x0，0，x0. (2)在点M的轨迹C中，记C1：y24x，C2：y0(x0) 依题意，可设直线l的方程为y1k(x2) 由方程组y1k（x2），y24x， 可得ky24y4(2k1)0. (a)当k0 时，此时y1.把y1 代入轨迹C的方程，得x14. 故此时直线l：y1 与轨迹C恰好有一个公共点14，1 . (b)当k0 时，方程的判别式为 16(2k2k1) 设直线l与x轴的交点为(x0，0)，则由y1k(x2)，令y0，得x02k1k. ()若0，x00，由解得k12. 即当k(，1)12， 时，直线l与C1没有公共点，与C2有一个公共点， 故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点 ()若0，x00，x00，由解得k1，12，或k12，0 . 即当k1，12时，直线l与C1只有一个公共点，与C2有一个公共点 当k12，0 时，直线l与C1有两个公共点，与C2没有公共点 故当k12，0 1，12时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点 ()若0，x00，由解得1k12，或 0k0)点M(x0，y0)在抛物线C2上，过M作C1的切线，切点为A，B(M为原点O时，A，B重合于O) 当x01 2时，切线MA的斜率为12. (1)求p的值； (2)当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程(A，B重合于O时，中点为O) 解 (1)因为抛物线C1：x24y上任意一点(x，y)的切线斜率为yx2，且切线AM的斜率为12. 切点A1，14， 切线AM：y12(x1)14. 因为点M(1 2，y0)在切线MA及抛物线C2上，于是 y012(2 2)1432 24， y0（1 2）22p32 22p. 由得p2. (2)设N(x，y)，Ax1，x214，Bx2，x224，x1x2，由N为线段AB中点知 xx1x22， yx21x228. 切线MA、MB的方程为 yx12(xx1)x214， yx22(xx2)x224. 由得MA，MB的交点M(x0，y0)的坐标为x0 x1x22，y0 x1x24. 因为点M(x0，y0)在C2上， 即x204y0， 所以x1x2x21x226， 由得x243y，x0. 当x1x2时，A，B重合于原点O，AB中点N为O，坐标满足x243y. 因此AB中点N的轨迹方程为x243y. 5.(20 xx辽宁，20)如图椭圆C0：x2a2y2b21(ab0，a，b为常数)，动圆C1：x2y2t21，bt1a.点A1，A2分别为C0的左，右顶点，C1与C0相交于A，B，C，D四点 (1)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程； (2)设动圆C2：x2y2t22与C0相交于A，B，C，D四点，其中bt2a，t1t2.若矩形ABCD与矩形ABCD的面积相等，证明：t21t22为定值 (1)解 设A(x1，y1)，B(x1，y1)，又知A1(a，0)，A2(a，0)，则直线A1A的方程为yy1x1a(xa)， 直线A2B的方程为yy1x1a(xa) 由得，y2y21x21a2(x2a2) 由点A(x1，y1)在椭圆C0上， 故x21a2y21b21. 从而y21b2(1x21a2)，代入得 x2a2y2b21(xa，y0) 即交点M的轨迹方程是 x2a2y2b21(xa，yb0)，双曲线的方程为x2m2y2n21(m0，n0)，它们的离心率分别为e1，e2，则|PF1|am，|PF2|am，在PF1F2中，4c2(am)2(am)22(am)(am)cos 3a23m24c2ac23mc24， 则ac23mc2113acmc21e11e2acmc4 33，当且仅当a3m时，等号成立 ，故选 A. 答案 A 3(20 xx四川，10)已知F为抛物线y2x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，OAOB2(其中O为坐标原点)，则ABO与AFO面积之和的最小值是( ) A2 B3 C.17 28 D. 10 解析 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)(不妨假设y10，y20)和E2：y22p2x(p20)，过原点O的两条直线l1和l2，l1与E1，E2分别交于A1，A2两点，l2与E1，E2分别交于B1，B2两点 (1)证明：A1B1A2B2； (2)过O作直线l(异于l1，l2)与E1，E2分别交于C1，C2两点记A1B1C1与A2B2C2的面积分别为S1与S2，求S1S2的值 (1)证明 设直线l1，l2的方程分别为yk1x，yk2x(k1，k20)，则 由yk1x，y22p1x，得A12p1k21，2p1k1， 由yk1x，y22p2x，得A22p2k21，2p2k1. 同理可得B12p1k22，2p1k2，B22p2k22，2p2k2. 所以A1B12p1k222p1k21，2p1k22p1k1 2p11k221k21，1k21k1， A2B22p2k222p2k21，2p2k22p2k1 2p21k221k21，1k21k1. 故A1B1p1p2A2B2，所以A1B1A2B2. (2)解 由(1)知A1B1A2B2，同理可得B1C1B2C2，C1A1C2A2. 所以A1B1C1A2B2C2. 因此S1S2(|A1B1|A2B2|)2. 又由(1)中的A1B1p1p2A2B2知|A1B1|A2B2|p1p2.故S1S2p21p22. 7(20 xx四川，20)已知椭圆C：x2a2y2b21(ab0)的焦距为 4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形 (1)求椭圆C的标准方程； (2)设F为椭圆C的左焦点，T为直线x3 上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q. ()证明：OT平分线段PQ(其中O为坐标原点)； ()当|TF|PQ|最小时，求点T的坐标 解 (1)由已知可得a2b22b，2c2a2b24， 解得a26，b22， 所以椭圆C的标准方程是x26y221. (2)()证明 由(1)可得，F的坐标是(2，0)，设T点的坐标为(3，m)， 则直线TF的斜率kTFm03（2）m. 当m0 时，直线PQ的斜率kPQ1m，直线PQ的方程是xmy2. 当m0 时，直线PQ的方程是x2，也符合xmy2 的形式 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立， 得xmy2，x26y221， 消去x，得(m23)y24my20， 其判别式16m28(m23)0. 所以y1y24mm23，y1y22m23， x1x2m(y1y2)412m23. 所以PQ的中点M的坐标为 6m23，2mm23， 所以直线OM的斜率kOMm3. 又直线OT的斜率kOTm3，所以点M在直线OT上，因此OT平分线段PQ. ()由()可得， |TF|m21， |PQ| （x1x2）2（y1y2）2 （m21）（y1y2）24y1y2 （m21）4mm23242m23 24（m21）m23 所以|TF|PQ|124（m23）2m21 124m214m214 124（44）33. 当且仅当m214m21，即m1 时，等号成立，此时|TF|PQ|取得最小值 所以当|TF|PQ|最小时，T点的坐标是(3，1)或(3，1) 8(20 xx安徽，18)设椭圆E：x2a2y21a21 的焦点在x轴上 (1)若椭圆E的焦距为 1，求椭圆E的方程； (2)设F1，F2分别为椭圆E的左，右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1PF1Q.证明：当a变化时，点P在某定直线上 解 (1)因为焦距为 1，所以 2a2114，解得a258. 故椭圆E的方程为8x258y231. (2)设P(x0，y0)，F1(c，0)，F2(c，0)， 其中c 2a21. 由题设知x0c，则直线F1P的斜率kF1Py0 x0c， 直线F2P的斜率kF2Py0 x0c. 故直线F2P的方程为yy0 x0c(xc) 当x0 时，ycy0cx0， 即点Q的坐标为0，cy0cx0. 因此，直线F1Q的斜率为kF1Qy0cx0. 由于F1PF1Q， 所以kF1PkF1Qy0 x0cy0cx01. 化简得y20 x20(2a21) 将代入椭圆E的方程， 由于点P(x0，y0)在第一象限， 解得x0a2，y01a2， 即点P在定直线xy1 上.