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第六十四课时 条件概率与事件的独立课前预习案考纲要求1.理解条件概率和两个事件相互独立的概念；2.掌握n次独立重复试验及二项分布的概念；3.掌握二项分布的含义，会从实际问题中抽象出二项分布模型基础知识梳理1 条件概率及其性质条件概率的定义条件概率公式对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号“ ”表示P(B|A) ，其中P(A)0，AB称为事件A与B的交(或积).2 事件的独立性(1)相互独立的定义：事件A是否发生对事件B发生的概率 ，即 ，这时，称两个事件A，B相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件(2)概率公式：条件公式A，B相互独立P(AB) A1，A2，An相互独立P(A1A2An) 3 独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验：定义：在 的条件下，重复地做n次试验，各次试验的结果 ，那么一般就称它们为n次独立重复试验概率公式：在一次试验中事件A发生的概率为p，则n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为Pn(k) (k0,1,2，n)(2)二项分布：在n次独立重复试验中，事件A发生的次数用X表示，事件A不发生的概率为q1p，则n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率是P(Xk) ，其中k0,1,2，n.于是X的分布列：X01knP此时称离散型随机变量X服从参数为n，p的二项分布，记作X .预习自测1 如图所示的电路，有a，b，c三个开关，每个开关开或关的概率都是，且是相互独立的，则灯泡甲亮的概率为_2 某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为_3 (20xx课标全国)某一部件由三个电子元件按如图所示方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N(1 000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为_4 把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A，“第二次出现正面”为事件B，则P(B|A)等于()A. B. C. D.5 如果XB，则使P(Xk)取最大值的k值为()A3 B4 C5 D3或4课堂探究案典型例题考点1 条件概率【典例1】在100件产品中有95件合格品，5件不合格品现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次再次取到不合格品的概率为_【变式1】如图，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，则(1)P(A)_；(2)P(B|A)_.考点2相互独立事件的概率【典例2】甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与p，且乙投球2次均未命中的概率为.(1)求乙投球的命中率p；(2)求甲投球2次，至少命中1次的概率；(3)若甲、乙两人各投球2次，求共命中2次的概率【变式2】红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A、乙对B、丙对C各一盘已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立(1)求红队至少两名队员获胜的概率；(2)用表示红队队员获胜的总盘数，求的分布列和数学期望E()考点3独立重复试验与二项分布【典例3】某气象站天气预报的准确率为80%，计算：(结果保留到小数点后第2位)(1)5次预报中恰有2次准确的概率；(2)5次预报中至少有2次准确的概率；(3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率【变式3】某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响(1)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；(2)任选3名下岗人员，记X为3人中参加过培训的人数，求X的分布列当堂检测1从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A“取到的2个数之和为偶数”，事件B“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)等于()A. B. C. D.2 如图，用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作已知K、A1、A2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为()A0.960 B0.864C0.720 D0.5763甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为()A. B. C. D.4 已知随机变量X服从二项分布XB(6，)，则P(X2)等于()A. B. C. D.5 明天上午李明要参加奥运志愿者活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己假设甲闹钟准时响的概率为0.80，乙闹钟准时响的概率是0.90，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是_课后拓展案 A组全员必做题1 某种元件的使用寿命超过1年的概率为0.6，使用寿命超过2年的概率为0.3，则使用寿命超过1年的元件还能继续使用的概率为()A0.3 B0.5 C0.6 D12 位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是.质点P移动五次后位于点(2,3)的概率是()A.5 BC5CC3 DCC53 两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为()A. B. C. D.4 在一段线路中并联两个自动控制的常用开关，只要其中有一个开关能够闭合，线路就能正常工作假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，则这段时间内线路正常工作的概率为_5 某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为，则该队员每次罚球的命中率为_6 市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡的概率是_B组提高选做题1.甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是_(写出所有正确结论的编号)P(B)； P(B|A1)；事件B与事件A1相互独立； A1，A2，A3是两两互斥的事件；P(B)的值不能确定，因为它与A1，A2，A3中究竟哪一个发生有关2某篮球队与其他6支篮球队依次进行6场比赛，每场均决出胜负，设这支篮球队与其他篮球队比赛胜场的事件是独立的，并且胜场的概率是.(1)求这支篮球队首次胜场前已经负了两场的概率；(2)求这支篮球队在6场比赛中恰好胜了3场的概率3.某公司是否对某一项目投资，由甲、乙、丙三位决策人投票决定，他们三人都有“同意”、“中立”、“反对”三类票各一张，投票时，每人必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为，他们的投票相互没有影响，规定：若投票结果中至少有两张“同意”票，则决定对该项目投资；否则，放弃对该项目的投资(1)求该公司决定对该项目投资的概率；(2)求该公司放弃对该项目投资且投票结果中最多有一张“中立”票的概率参考答案预习自测1 【答案】【解析】理解事件之间的关系，设“a闭合”为事件A，“b闭合”为事件B，“c闭合”为事件C，则灯亮应为事件AC，且A，C，之间彼此独立，且P(A)P()P(C).所以P(AC)P(A)P()P(C).2【答案】0.128【解析】依题意可知，该选手的第二个问题必答错，第三、四个问题必答对，故该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率P10.20.80.80.128.3【答案】【解析】设元件1,2,3的使用寿命超过1 000小时的事件分别记为A，B，C，显然P(A)P(B)P(C)，该部件的使用寿命超过1 000小时的事件为(AB)C，该部件的使用寿命超过1 000小时的概率P.4 【答案】A【解析】P(B|A).5 【答案】D【解析】P(X3)C312，P(X4)C411，P(X5)C510，从而易知P(X3)P(X4)P(X5)典型例题【典例1】【答案】【解析】方法一设A第一次取到不合格品，B第二次取到不合格品，则P(AB)，所以P(B|A).方法二第一次取到不合格品后还剩余99件产品，其中有4件不合格品，故第二次取到不合格品的概率为.【变式1】【答案】（1）；（2）【解析】(1)由题意可得，事件A发生的概率P(A).(2)事件AB表示“豆子落在EOH内”，则P(AB).故P(B|A).【典例2】【解】(1)方法一设“甲投一次球命中”为事件A，“乙投一次球命中”为事件B.由题意得1P(B)2(1p)2，解得p或p(舍去)，所以乙投球的命中率为.方法二设“甲投一次球命中”为事件A，“乙投一次球命中”为事件B.由题意得：P()P()，于是P()或P()(舍去)故p1P().所以乙投球的命中率为.(2)方法一由题设知，P(A)，P().故甲投球2次，至少命中1次的概率为1P().方法二由题设知，P(A)，P().故甲投球2次，至少命中1次的概率为CP(A)P()P(A)P(A).(3)由题设和(1)知，P(A)，P()，P(B)，P().甲、乙两人各投球2次，共命中2次有三种情况：甲、乙两人各中一次；甲中2次，乙2次均不中；甲2次均不中，乙中2次概率分别为CP(A)P()CP(B)P()，P(A)P(A)P()P()，P()P()P(B)P(B).所以甲、乙两人各投球2次，共命中2次的概率为.【变式2】解(1)设甲胜A的事件为D，乙胜B的事件为E，丙胜C的事件为F，则，分别表示甲不胜A，乙不胜B，丙不胜C的事件因为P(D)0.6，P(E)0.5，P(F)0.5，由对立事件的概率公式知P()0.4，P()0.5，P()0.5.红队至少两人获胜的事件有DE，DF，EF，DEF.由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为PP(DE)P(DF)P(EF)P(DEF)0.60.50.50.60.50.50.40.50.50.60.50.50.55.(2)由题意知可能的取值为0,1,2,3.又由(1)知 F，E，D 是两两互斥事件，且各盘比赛的结果相互独立，因此P(0)P( )0.40.50.50.1，P(1)P( F)P(E)P(D )0.40.50.50.40.50.50.60.50.50.35，P(3)P(DEF)0.60.50.50.15.由对立事件的概率公式得P(2)1P(0)P(1)P(3)0.4.所以的分布列为0123P0.10.350.40.15因此E()00.110.3520.430.151.6.【典例3】解 令X表示5次预报中预报准确的次数，则XB，故其分布列为P(Xk)Ck5k(k0,1,2,3,4,5)(1)“5次预报中恰有2次准确”的概率为P(X2)C23100.05.(2)“5次预报中至少有2次准确”的概率为P(X2)1P(X0)P(X1)1C05C410.000 320.006 40.99.(3)“5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确”的概率为C30.02.【变式3】解(1)任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件A，“该人参加过计算机培训”为事件B，由题设知，事件A与B相互独立，且P(A)0.6，P(B)0.75.所以，该下岗人员没有参加过培训的概率是P( )P()P()(10.6)(10.75)0.1.该人参加过培训的概率为10.10.9.(2)因为每个人的选择是相互独立的，所以3人中参加过培训的人数X服从二项分布XB(3,0.9)，P(Xk)C0.9k0.13k，k0,1,2,3，X的分布列是X0123P0.0010.0270.2430.729当堂检测1【答案】B【解析】P(A)，P(AB)，P(B|A).2 【答案】B【解析】方法一由题意知K，A1，A2正常工作的概率分别为P(K)0.9，P(A1)0.8，P(A2)0.8，K，A1，A2相互独立，A1，A2至少有一个正常工作的概率为P(A2)P(A12)P(A1A2)(10.8)0.80.8(10.8)0.80.80.96.系统正常工作的概率为P(K)P(A2)P(A12)P(A1A2)0.90.960.864.方法二A1，A2至少有一个正常工作的概率为1P(1 2)1(10.8)(10.8)0.96，系统正常工作的概率为P(K)1P(1 2)0.90.960.864.3【答案】D【解析】甲队若要获得冠军，有两种情况，可以直接胜一局，获得冠军，概率为，也可以乙队先胜一局，甲队再胜一局，概率为，故甲队获得冠军的概率为.4【答案】D【解析】P(X2)C(24.5【答案】0.98【解析】1(1-0.80)(1-0.90)10.020.98. A组全员必做题1 【答案】B【解析】设事件A为“该元件的使用寿命超过1年”，B为“该元件的使用寿命超过2年”，则P(A)0.6，P(B)0.3.因为BA，所以P(AB)P(B)0.3，于是P(B|A)0.5.2【答案】B3【答案】B【解析】设事件A：甲实习生加工的零件为一等品；事件B：乙实习生加工的零件为一等品，则P(A)，P(B)，所以这两个零件中恰有一个一等品的概率为P(A)P(B)P(A)P()P()P(B).4 【答案】0.91【解析】线路不能正常工作的概率为P( )P()P()(10.7)(10.7)0.09.能够正常工作的概率为10.090.91.5【答案】【解析】设该队员每次罚球的命中率为p(其中0p1)，则依题意有1p2，p2.又0p1，因此有p.6【答案】0.665【解析】记A“甲厂产品”，B“合格产品”，则P(A)0.7，P(B|A)0.95.P(AB)P(A)P(B|A)0.70.950.665.B组提高选做题1.【答案】【解析】P(B)P(BA1)P(BA2)P(BA3)，故错误；P(B|A1)，正确；事件B与A1的发生有关系，故错误；A1，A2，A3不可能同时发生，是互斥事件，正确2解(1)P2.所以这支篮球队首次胜场前已负两场的概率为；(2)6场胜3场的情况有C种，PC3320.所以这支篮球队在6场比赛中恰好胜3场的概率为.3.解(1)该公司决定对该项目投资的概率为PC2C3.(2)该公司放弃对该项目投资且投票结果中最多有一张“中立”票，有以下四种情形：“同意”票张数“中立”票张数“反对”票张数事件A003事件B102事件C111事件D012P(A)C3，P(B)C3，P(C)CC3，P(D)C3.A、B、C、D互斥，P(ABCD)P(A)P(B)P(C)P(D).
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