新课标高三数学 一轮复习 大题冲关集训三理

大题冲关集训(三)1.(20xx哈尔滨一模)数列an满足an+1-an=2,a1=2,等比数列bn满足b1=a1,b4=a8.(1)求数列an,bn的通项公式;(2)设cn=anbn,求数列cn的前n项和Tn.解:(1)an+1-an=2,a1=2,所以数列an为等差数列,则an=2+(n-1)×2=2n,b1=a1=2,b4=a8=16,所以q3=b4b1=8,q=2,则bn=2n.(2)cn=anbn=n·2n+1,则Tn=1×22+2×23+3×24+n·2n+1,2Tn=1×23+2×24+3×25+n·2n+2,两式相减得-Tn=1×22+23+24+2n+1-n·2n+2,整理得Tn=(n-1)2n+2+4.2.(20xx高考福建卷)已知等差数列an的公差d=1,前n项和为Sn.(1)若1,a1,a3成等比数列,求a1;(2)若S5>a1a9,求a1的取值范围.解:(1)因为数列an的公差d=1,且1,a1,a3成等比数列, 所以a12=1×(a1+2), 即a12-a1-2=0,解得a1=-1或a1=2. (2)因为数列an的公差d=1,且S5>a1a9, 所以5a1+10>a12+8a1, 即a12+3a1-10<0,解得-5<a1<2. 3.在正项数列an中,a1=2,点An(an,an+1)在双曲线y2-x2=1上,数列bn中,点(bn,Tn)在直线y=-12x+1上,其中Tn是数列bn的前n项和.(1)求数列an的通项公式;(2)求证:数列bn是等比数列.(1)解:由题an+1-an=1,即an是以2为首项,公差为1的等差数列.an=2+n-1=n+1.(2)证明:由(bn,Tn)在y=-12x+1上,则Tn=-12bn+1,Tn-1=-12bn-1+1,n2,bn=-12bn+12bn-1,n2,bn=13bn-1,n2.又b1=-12b1+1,得b1=23,则bn是以23为首项,公比为13的等比数列.4.(20xx高考新课标全国卷)已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,an0,anan+1=Sn-1,其中为常数.(1)证明:an+2-an=;(2)是否存在,使得an为等差数列?并说明理由.(1)证明:由题设,anan+1=Sn-1,an+1an+2=Sn+1-1.两式相减得an+1(an+2-an)=an+1.由于an+10,所以an+2-an=.(2)解:存在满足题意的,由题设,a1=1,a1a2=S1-1,可得a2=-1.由(1)知,a3=+1,令2a2=a1+a3,解得=4.故an+2-an=4,由此可得a2n-1是首项为1,公差为4的等差数列,a2n-1=4n-3;a2n是首项为3,公差为4的等差数列,a2n=4n-1.所以an=2n-1,an+1-an=2.因此存在=4,使得数列an为等差数列.5.(20xx洛阳模拟)已知函数f(x)=4x-2x+1(x-1,xR),数列an满足a1=a(a-1,aR),an+1=f(an)(nN*).(1)若数列an是常数列,求a的值;(2)当a1=4时,记bn=an-2an-1(nN*),证明数列bn是等比数列,并求出通项公式an.解:(1)因为f(x)=4x-2x+1,a1=a,an+1=f(an)(nN*),数列an是常数列,所以an+1=an=a,即a=4a-2a+1,解得a=2或a=1.所以所求实数a的值是1或2.(2)因为a1=4,bn=an-2an-1(nN*),所以b1=23,bn+1=an+1-2an+1-1=4an-2an+1-24an-2an+1-1=2(an-2)3(an-1),即bn+1=23bn(nN*).所以数列bn是以b1=23为首项,q=23为公比的等比数列,于是bn=23（23）n-1=（23）n(nN*),由bn=an-2an-1,即an-2an-1=（23）n,解得an=(23) n-2(23) n-1(nN*),所以所求的通项公式an=(23) n-2(23) n-1(nN*).6.已知等差数列an的首项a1=3,且公差d0,其前n项和为Sn,且a1,a4,a13分别是等比数列bn的b2,b3,b4.(1)求数列an与bn的通项公式;(2)证明:131S1+1S2+1Sn<34.(1)解:设等比数列bn的公比为q,a1,a4,a13分别是等比数列bn的b2,b3,b4,(a1+3d)2=a1(a1+12d).又a1=3,d2-2d=0,d=2或d=0(舍去).an=3+2(n-1)=2n+1.等比数列bn的公比为q=b3b2=a4a1=3,b1=b2q=1.bn=3n-1.(2)证明:由(1)知Sn=n2+2n,1Sn=1n(n+2)=12（1n-1n+2）,1S1+1S2+1Sn=12(1-13)+(12-14)+(1n-1n+2)=12（1+12-1n+1-1n+2）=34-12（1n+1+1n+2）<34.1n+1+1n+212+13=56,34-12(1n+1+1n+2)13,131S1+1S2+1Sn<34.7.(20xx上饶六校月考)已知等差数列an的前n项和为Sn,且a2=2,S5=15,数列bn满足b1=12,bn+1=n+12nbn.(1)求数列an,bn的通项公式;(2)记Tn为数列bn的前n项和,f(n)=2Sn(2-Tn)n+2,试问f(n)是否存在最大值,若存在,求出最大值;若不存在,请说明理由.解:(1)设等差数列an的首项为a1,公差为d,则a1+d=2,5a1+10d=15,解得a1=1,d=1,an=n,由题意知bn+1n+1=bn2n,bnn=b11(12)n-1,bn=n2n.(2)由(1),得Tn=12+222+323+n2n,12Tn=122+223+324+n2n+1,所以Tn=2-n+22n,又Sn=n(n+1)2,所以f(n)=2Sn(2-Tn)n+2=n2+n2n,f(n+1)-f(n)=(n+1)2+n+12n+1-n2+n2n=(n+1)(2-n)2n+1,当n3,nN*时,f(n+1)-f(n)<0,当n<3,nN*时,f(n+1)-f(n)0,又f(1)=1,f(2)=32,f(3)=32,f(n)存在最大值,为32.8.某企业的资金每一年都比上一年分红后的资金增加一倍,并且每年年底固定给股东们分红500万元.该企业年底分红后的资金为1000万元.(1)求该企业年底分红后的资金;(2)求该企业从哪一年开始年底分红后的资金超过32500万元.解:设an(单位:万元)为(20xx+n)年年底分红后的资金,其中nN*,则a1=2×1000-500=1500,a2=2×1500-500=2500,an=2an-1-500(n2).an-500=2(an-1-500)(n2),即数列an-500是以a1-500=1000为首项,公比为2的等比数列,an-500=1000×2n-1,an=1000×2n-1+500.(1)a4=1000×24-1+500=8500,该企业年底分红后的资金为8500万元.(2)由an>32500,即2n-1>32,得n>6,该企业从开始年底分红后的资金超过32500万元.