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精修版资料整理精修版资料整理精修版资料整理精修版资料整理精修版资料整理精修版资料整理三简单曲线的极坐标方程课标解读1.了解极坐标方程的意义，了解曲线的极坐标方程的求法2会进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化；了解简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)表示的极坐标方程3能够运用直线和圆的极坐标方程解决问题.1曲线与方程的关系在平面直角坐标系中，平面曲线C可以用方程f(x，y)0表示曲线与方程满足如下关系：(1)曲线C上点的坐标都是方程f(x，y)0的解；(2)以方程f(x，y)0的解为坐标的点都在曲线C上2曲线的极坐标方程一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(，)0，并且坐标适合方程f(，)0的点都在曲线C上，那么方程f(，)0叫做曲线C的极坐标方程3常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆r(02)圆心为(r,0)，半径为r的圆2rcos_()圆心为(r，)，半径为r的圆2rsin_(0)过极点，倾斜角为的直线或过点(a,0)，与极轴垂直的直线cos_a()过点(a，)，与极轴平行的直线sin_a(0)1曲线的极坐标方程是否惟一？【提示】由于平面上点的极坐标的表示形式不惟一，所以曲线上的点的极坐标有多种表示，曲线的极坐标方程不惟一2如何求圆心为C(1，1)，半径为r的圆的极坐标方程？【提示】如图所示，设圆C上的任意一点为M(，)，且O、C、M三点不共线，不妨以如图所示情况加以说明，在OCM中，由余弦定理得|OM|2|OC|22|OM|OC|cosCOM|CM|2，221cos(1)r2，可以检验，当O、C、M三点共线时的点M的坐标也适合上式，当1时也满足该式，所以半径为r，圆心在C(1，1)的圆的极坐标方程为221cos(1)r20.圆的极坐标方程求圆心在C(2，)处并且过极点的圆的极坐标方程，并判断点(2，sin)是否在这个圆上【思路探究】解答本题先设圆上任意一点M(，)，建立等式转化为，的方程，化简可得，并检验特殊点【自主解答】如图，由题意知，圆经过极点O，OA为其一条直径，设M(，)为圆上除点O，A以外的任意一点，则|OA|2r，连接AM，则OMMA.在RtOAM中，|OM|OA|cosAOM，即2rcos()，4sin ，经验证，点O(0,0)，A(4，)的坐标满足上式满足条件的圆的极坐标方程为4sin .sin，4sin 4sin2，点(2，sin)在此圆上1求曲线的极坐标方程通常有以下五个步骤：建立适当的极坐标系(本题无需建)；在曲线上任取一点M(，)；根据曲线上的点所满足的条件写出等式；用极坐标(，)表示上述等式，并化简得曲线的极坐标方程；证明所得的方程是曲线的极坐标方程(一般只要对特殊点加以检验即可)2求曲线的极坐标方程，关键是找出曲线上的点满足的几何条件，并进行坐标表示(2012江西高考)曲线C的直角坐标方程为x2y22x0，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为_【解析】直角坐标方程x2y22x0可化为x2y22x，将2x2y2，xcos 代入整理得2cos .【答案】2cos 直线或射线的极坐标方程求过点A(1,0)，且倾斜角为的直线的极坐标方程【思路探究】画出草图设点M(，)是直线上的任意一点建立关于，的方程检验【自主解答】法一设M(，)为直线上除点A以外的任意一点则xAM，OAM，OMA.在OAM中，由正弦定理得，即，故sin()，即(sincos cossin )，化简得(cos sin )1，经检验点A(1,0)的坐标适合上述方程，所以满足条件的直线的极坐标方程为(cos sin )1，其中，0，0和2，0.法二以极点O为直角坐标原点，极轴为x轴，建立平面直角坐标系xOy.直线的斜率ktan1，过点A(1,0)的直线方程为yx1.将ysin ，xcos 代入上式，得sin cos 1，(cos sin )1，其中，0，0和2，0.法一通过运用正弦定理解三角形建立了动点M所满足的等式，从而集中条件建立了以，为未知数的方程；法二先求出直线的直角坐标方程，然后通过直角坐标向极坐标的转化公式间接得解，过渡自然，视角新颖，不仅优化了思维方式，而且简化了解题过程若本例中条件不变，如何求以A为端点且在极轴上方的射线的极坐标方程？【解】由题意，设M(，)为射线上任意一点，根据例题可知，sin()，化简得(cos sin )1.经检验点A(1,0)的坐标适合上述方程因此，以A为端点且在极轴上方的射线的极坐标方程为(cos sin )1(其中0,0)极坐标方程与直角坐标方程的互化若曲线C的极坐标方程为2sin 4cos ，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)若直线sin()0与曲线C相交于A、B，求|AB|.【思路探究】利用极坐标化为直角坐标的公式将直线和圆的极坐标方程化为直角坐标方程求解【自主解答】(1)因为所以2x2y2，由2sin 4cos ，得22sin 4cos x2y24x2y0，即(x2)2(y1)25.(2)由sin()0，得(sin cos )0，即sin cos 0，xy0.由于圆(x2)2(y1)25的半径为r，圆心(2,1)到直线xy0的距离为d，|AB|23.1直角坐标方程化为极坐标方程，只需把公式xcos 及ysin 直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形，构造形如cos ，sin ，2的形式，进行整体代换其中方程的两边同乘以(或同除以)及方程两边平方是常用的变形方法但对方程进行变形时，方程必须保持同解，因此应注意对变形过程的检验2对方程进行合理变形，并注重公式的正向、逆向与变形使用(2013北京高考)在极坐标系中，点(2，)到直线sin 2的距离等于_【解析】极坐标系中点(2，)对应的直角坐标为(，1)极坐标系中直线sin 2对应直角坐标系中直线y2.故所求距离为1.【答案】1极坐标方程的应用从极点O作直线与另一直线l：cos 4相交于点M，在OM上取一点P，使|OM|OP|12.(1)求点P的轨迹方程；(2)设R为l上的任意一点，试求|RP|的最小值【思路探究】建立点P的极坐标方程，完成直角坐标与极坐标方程的互化，根据直线与圆的位置关系，数形结合求|RP|的最小值【自主解答】(1)设动点P的极坐标为(，)，M的极坐标为(0，)，则012.0cos 4，3cos 即为所求的轨迹方程(2)将3cos 化为直角坐标方程，得x2y23x，即(x)2y2()2，知P的轨迹是以(，0)为圆心，半径为的圆直线l的直角坐标方程是x4.结合图形易得|RP|的最小值为1.1用极坐标法可使几何中的一些问题得出很直接、简单的解法当然，因为建系的不同，曲线的极坐标方程也会不同2解题时关键是极坐标要选取适当，这样可以简化运算过程，转化为直角坐标时也容易一些过极点O作圆C：8cos 的弦ON，求ON的中点M的轨迹方程【解】法一如图，圆心C(4,0)，半径r|OC|4，连接CM.M为弦ON的中点，CMON，故M在以OC为直径的圆上所以，动点M的轨迹方程是4cos .法二设M点的坐标是(，)，N(1，1)N点在圆8cos 上，18cos 1.M是ON的中点，将它代入式得28cos ，故M的轨迹方程是4cos .(教材第15页习题1.3，第5题)已知直线的极坐标方程为sin()，求点A(2，)到这条直线的距离(2013安徽高考)在极坐标系中，圆2cos 的垂直于极轴的两条切线方程分别为()A0(R)和cos 2B(R)和cos 2C(R)和cos 1D0(R)和cos 1【命题意图】考查极坐标方程与直角坐标方程之间的转化，圆的方程及其切线的求解通过极坐标方程和直角坐标方程之间的转化考查了知识的转化能力、运算求解能力和转化应用意识【解析】由2cos ，得22cos ，化为直角坐标方程为x2y22x0，即(x1)2y21，其垂直于极轴的两条切线方程为x0和x2，相应的极坐标方程为(R)和cos 2.【答案】B1(2013安阳质检)下列点不在曲线cos 上的是()A(，) B(，)C(，) D(，)【解析】点(，)的极坐标满足，且cos cos().【答案】D2圆心在(1,0)且过极点的圆的极坐标方程为()A1 Bcos C2cos D2sin 【解析】圆的直角坐标方程是(x1)2y21，将xcos ，ysin 代入上式，整理得，2cos ，即为此圆的极坐标方程【答案】C3极坐标方程(1)()0(0)表示的图形是()A两个圆B两条直线C一个圆和一条射线D一条直线和一条射线【解析】由题设，得1，或，1表示圆，(0)表示一条射线【答案】C4已知曲线C1，C2的极坐标方程分别为cos 3，4cos (0,0)，则曲线C1与C2交点的极坐标为_【解析】由cos 3，4cos ，得4cos2 3.又00.cos ，故2.两曲线交点的极坐标为(2，)【答案】(2，)(时间40分钟，满分60分)一、选择题(每小题5分，共20分)1极坐标方程cos()表示的曲线是()A双曲线B椭圆C抛物线 D圆【解析】cos()cos cos sin sin cos sin ，2cos sin ，即x2y2xy.化简整理，得(x)2(y)2，表示圆【答案】D2(2013三门峡质检)过极点倾斜角为的直线的极坐标方程可以为()A B，0C，0 D和，0【解析】以极点O为端点，所求直线上的点的极坐标分成两条射线两条射线的极坐标方程为和.直线的极坐标方程为和(0)【答案】D3在极坐标系中，圆2sin 的圆心的极坐标是()A(1，) B(1，)C(1,0) D(1，)【解析】由2sin 得22sin ，化成直角坐标方程为x2y22y，化成标准方程为x2(y1)21，圆心坐标为(0，1)，其对应的极坐标为(1，)【答案】B4在极坐标系中与圆4sin 相切的一条直线的方程为()Acos Bcos 2C4sin() D4sin()【解析】极坐标方程4sin 化为24sin ，即x2y24y，即x2(y2)24.由所给的选项中cos 2知，x2为其对应的直角坐标方程，该直线与圆相切【答案】B二、填空题(每小题5分，共10分)5(2013鹤壁调研)点Q是圆4cos 上的一点，当Q在圆上移动时，OQ(O是极点)中点P的轨迹的极坐标方程是_【解析】4cos 是以(2,0)为圆心，半径为2的圆，则P的轨迹是以(1,0)为圆心，半径为1的圆，所以极坐标方程是2cos .【答案】2cos 6(2012安徽高考)在极坐标系中，圆4sin 的圆心到直线(R)的距离是_【解析】极坐标系中的圆4sin 转化为平面直角坐标系中的一般方程为：x2y24y，即x2(y2)24，其圆心为(0,2)，直线转化为平面直角坐标系中的方程为yx，即x3y0.圆心(0,2)到直线x3y0的距离为.【答案】三、解答题(每小题10分，共30分)7(2012江苏高考)在极坐标系中，已知圆C经过点P(，)，圆心为直线sin()与极轴的交点，求圆C的极坐标方程【解】在sin()中，令0，得1，所以圆C的圆心坐标为(1,0)，因为圆C经过点P(，)，所以圆C的半径PC1，于是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为2cos .8在直角坐标系xOy中，以O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为cos()1，M，N分别为C与x轴，y轴的交点(1)写出C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程【解】(1)由cos()1，得(cos sin )1.又xcos ，ysin .曲线C的直角坐标方程为y1，即xy20.当0时，2，点M(2,0)当时，点N(，)(2)由(1)知，M点的坐标(2,0)，点N的坐标(0，)又P为MN的中点，点P(1，)，则点P的极坐标为(，)所以直线OP的极坐标方程为(R)9在极坐标系中，P是曲线12sin 上的一动点，Q是曲线12cos()上的动点，试求|PQ|的最大值【解】12sin ，212sin ，x2y212y0，即x2(y6)236.又12cos()，212(cos cossin sin)，x2y26x6y0，(x3)2(y3)236.|PQ|max6618.教师备选10(2012大连模拟)在极坐标系中，O为极点，已知圆C的圆心为(2，)，半径r1，P在圆C上运动。(1)求圆C的极坐标方程；(2)在直角坐标系(与极坐标系取相同的长度单位，且以极点O为原点，以极轴为x轴正半轴)中，若Q为线段OP的中点，求点Q轨迹的直角坐标方程【解】(1)设圆C上任一点坐标为(，)，由余弦定理得1222222cos()，所以圆的极坐标方程为24cos()30.(2)设Q(x，y)，则P(2x,2y)，由于圆C的直角坐标方程为(x1)2(y)21，P在圆C上，所以(2x1)2(2y)21，则Q的直角坐标方程为(x)2(y)2.最新精品资料
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