新课标高三数学 一轮复习 第10篇 第5节 古典概型与几何概型课时训练 理

【导与练】（新课标）20xx届高三数学一轮复习 第10篇 第5节 古典概型与几何概型课时训练 理【选题明细表】知识点、方法题号简单的古典概型1、9、11古典概型与其他知识的综合4、7、10、15、16与长度(角度)相关的几何概型2、8与面积(体积)相关的几何概型3、5、6、12、13、14、16一、选择题1.(20xx兰州模拟)将一颗骰子掷两次,观察出现的点数,并记第一次出现的点数为m,第二次出现的点数为n,向量p=(m,n),q=(3,6).则向量p与q共线的概率为(D)(A)13(B)14(C)16(D)112解析:由题意可得:基本事件(m,n)(m,n=1,2,6)的个数=6×6=36.若pq,则6m-3n=0,得到n=2m.满足此条件的共有(1,2),(2,4),(3,6)三个基本事件.因此向量p与q共线的概率为P=336=112.2.在长为12 cm的线段AB上任取一点M,并以线段AM为边作正方形,则此正方形的面积介于36 cm2与81 cm2之间的概率为(A)(A)14(B)13(C)427(D)415解析:由题意可知6AM9,于是所求概率为P=9-612=14.故选A.3.(20xx河南三市联考)在区间-,内随机取两个数分别为a,b,则使得函数f(x)=x2+2ax-b2+2有零点的概率为(B)(A)1-8(B)1-4(C)1-2(D)1-34解析:函数f(x)=x2+2ax-b2+2有零点,需=4a2-4(-b2+2)0,即a2+b22成立.而a,b-,建立平面直角坐标系,满足a2+b2,点(a,b)如图阴影部分所示,所求事件的概率为P=2×2-32×2=42-342=1-4.4.抛掷两枚均匀的骰子,得到的点数分别为a,b,那么直线xa+yb=1的斜率k-12的概率为(D)(A)12(B)13(C)34(D)14解析:记a,b的取值为数对(a,b),由题意知(a,b)的所有可能取值有36种.由直线xa+yb=1的斜率k=-ba-12,知ba12,那么满足题意的(a,b)可能的取值为(2,1),(3,1),(4,1),(4,2),(5,1),(5,2),(6,1),(6,2),(6,3),共有9种,所以所求概率为936=14.5.在棱长为3的正方体ABCDA1B1C1D1内任取一点P,则点P到正方体各面的距离都不小于1的概率为(A)(A)127(B)2627(C)827(D)18解析:正方体中到各面的距离不小于1的点的集合是一个中心与原正方体中心重合,且棱长为1的正方体,该正方体的体积是V1=13=1,而原正方体的体积为V=33=27,故所求的概率为P=V1V=127.6.(20xx高考湖北卷)由不等式组x0,y0,y-x-20确定的平面区域记为1,不等式组x+y1,x+y-2确定的平面区域记为2.在1中随机取一点,则该点恰好在2内的概率为(D)(A)18(B)14(C)34(D)78解析:由题意作图,如图所示,1的面积为12×2×2=2,图中阴影部分的面积为2-12×22×22=74,则所求概率P=742=78.7.(20xx宁波模拟)设a1,2,3,4,b2,4,8,12,则函数f(x)=x3+ax-b在区间1,2上有零点的概率为(C)(A)12(B)58(C)1116(D)34解析:因为f(x)=x3+ax-b,所以f(x)=3x2+a.因为a1,2,3,4,因此f(x)>0,所以函数f(x)在区间1,2上为增函数.若存在零点,则f(1)0,f(2)0,解得a+1b8+2a.因此可使函数在区间1,2上有零点的有a=1,2b10,故b=2,b=4,b=8;a=2,3b12,故b=4,b=8,b=12;a=3,4b14,故b=4,b=8,b=12;a=4,5b16,故b=8,b=12.根据古典概型可得有零点的概率为1116.二、填空题8.在区间0,10上任取一个实数a,使得不等式2x2-ax+80在(0,+)上恒成立的概率为. 解析:要使2x2-ax+80在(0,+)上恒成立,只需ax2x2+8,即a2x+8x在(0,+)上恒成立.又2x+8x216=8,当且仅当x=2时等号成立,故只需a8,因此0a8.由几何概型的概率计算公式可知所求概率为8-010-0=45.答案:459.从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中,随机(等可能)取两点,则该两点间的距离为22的概率是. 解析:如图,在正方形ABCD中,O为中心,从O,A,B,C,D这五点中任取两点的情况有C52=10种.正方形的边长为1,两点距离为22的情况有(O,A),(O,B),(O,C),(O,D)4种,故P=410=25.答案:2510.曲线C的方程为x2m2+y2n2=1,其中m、n是将一枚骰子先后投掷两次所得点数,事件A=“方程x2m2+y2n2=1表示焦点在x轴上的椭圆”,那么P(A)=. 解析:试验中所含基本事件个数为36;若想表示椭圆,则前后两次的骰子点数不能相同,则去掉6种可能,既然椭圆焦点在x轴上,则m>n,又只剩下一半情况,即有15种.因此P(A)=1536=512.答案:51211.(20xx高考浙江卷)从3男3女共6名同学中任选2名(每名同学被选中的机会均等),这2名都是女同学的概率等于. 解析:用A,B,C表示三名男同学,用a,b,c表示三名女同学,则从6名同学中选出2人的所有选法为:AB,AC,Aa,Ab,Ac,BC,Ba,Bb,Bc,Ca,Cb,Cc,ab,ac,bc,共15种选法,其中都是女同学的选法有3种,即ab,ac,bc,故所求概率为315=15.答案:1512.(20xx长沙模拟)在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中,点O为底面ABCD的中心,在正方体ABCDA1B1C1D1内随机取一点P,则点P到O的距离大于1的概率为. 解析:V正方体=23=8,V半球=12×43×13=23,V半球V正方体=28×3=12,P=1-12.答案:1-1213.(20xx北京模拟)将一个质点随机投放在关于x,y的不等式组3x+4y19,x1,y1所构成的三角形区域内,则该质点到此三角形的三个顶点的距离均不小于1的概率是. 解析:画出关于x,y的不等式组3x+4y19,x1,y1,所构成的三角形区域,如图,三角形ABC的面积为S1=12×3×4=6,离三个顶点距离都不大于1的地方的面积为S2=12,所以其恰在离三个顶点距离都不小于1的地方的概率为P=1-26=1-12.答案:1-1214.(20xx高考福建卷)如图,在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆,则它落到阴影部分的概率为. 解析:因为函数y=ex与函数y=ln x互为反函数,其图象关于直线y=x对称,又因为函数y=ex与直线y=e的交点坐标为(1,e),所以阴影部分的面积为2(e×1-01 exdx)=2e-2ex 01=2e-(2e-2)=2,由几何概型的概率计算公式,得所求的概率P=S阴影S正方形=2e2.答案:2e2三、解答题15.(20xx洛阳模拟)现有一批产品共有10件,其中8件为正品,2件为次品.(1)如果从中取出一件,然后放回,再取一件,求连续3次取出的都是正品的概率.(2)如果从中一次取3件,求3件都是正品的概率.解:(1)有放回地抽取3次,按抽取顺序(x,y,z)记录结果,则x,y,z都有10种可能,所以基本事件总数为10×10×10=103(种);设事件A为“连续3次都取出正品”,则包含的基本事件共有8×8×8=83种,因此P(A)=83103=0.512.(2)可以看作不放回抽样3次,顺序不同,基本事件不同,按抽取顺序记录(x,y,z),则x有10种可能,y有9种可能,z有8种可能,所以基本事件总数为10×9×8.设事件B为“3件都是正品”,则事件B包含的基本事件总数为8×7×6,所以P(B)=8×7×610×9×8=715.16.设f(x)和g(x)都是定义在同一区间上的两个函数,若对任意x1,2,都有|f(x)+g(x)|8,则称f(x)和g(x)是“友好函数”,设f(x)=ax,g(x)=bx.(1)若a1,4,b-1,1,4,求f(x)和g(x)是“友好函数”的概率;(2)若a1,4,b1,4,求f(x)和g(x)是“友好函数”的概率.解:(1)设事件A表示f(x)和g(x)是“友好函数”,则|f(x)+g(x)|(x1,2)所有的情况有x-1x,x+1x,x+4x,4x-1x,4x+1x,4x+4x,共6种且每种情况被取到的可能性相同.又当a>0,b>0时ax+bx在(0,ba)上递减,在(ba,+)上递增;x-1x和4x-1x在(0,+)上递增,对x1,2可使|f(x)+g(x)|8恒成立的有x-1x,x+1x,x+4x,4x-1x,故事件A包含的基本事件有4种,P(A)=46=23,故所求概率是23.(2)设事件B表示f(x)和g(x)是“友好函数”,a是从区间1,4中任取的数,b是从区间1,4中任取的数,点(a,b)所在区域是长为3,宽为3的矩形区域.要使x1,2时,|f(x)+g(x)|8恒成立,需f(1)+g(1)=a+b8且f(2)+g(2)=2a+b28,事件B表示的点的区域是如图所示的阴影部分.P(B)=12×(2+114)×33×3=1924,故所求的概率是1924.