新课标高三数学 一轮复习 第11篇 第4节 直接证明与间接证明、数学 归纳法课时训练 理

【导与练】（新课标）20xx届高三数学一轮复习 第11篇 第4节 直接证明与间接证明、数学归纳法课时训练 理【选题明细表】知识点、方法题号综合法2、5、8、10、14、16分析法3、7、11反证法1、9数学归纳法4、6、12、13、15基础过关一、选择题1.用反证法证明某命题时,对结论“自然数a,b,c中恰有一个偶数”正确的反设是(B)(A)自然数a,b,c中至少有两个偶数(B)自然数a,b,c中至少有两个偶数或都是奇数(C)自然数a,b,c都是奇数(D)自然数a,b,c都是偶数解析:“恰有一个偶数”反面应是“至少有两个偶数或都是奇数”.故选B.2.设x,y,z>0,则三个数yx+yz,zx+zy,xz+xy(C)(A)都大于2(B)至少有一个大于2(C)至少有一个不小于2(D)至少有一个不大于2解析:由于yx+yz+zx+zy+xz+xy=（yx+xy）+（zx+xz）+（yz+zy）2+2+2=6,yx+yz,zx+zy,xz+xy中至少有一个不小于2.故选C.3.分析法又称执果索因法,若用分析法证明:“设a>b>c,且a+b+c=0,求证b2-ac<3a”索的因应是(C)(A)a-b>0 (B)a-c>0(C)(a-b)(a-c)>0(D)(a-b)(a-c)<0解析:由a>b>c,且a+b+c=0可得b=-a-c,a>0,c<0.要证b2-ac<3a,只要证(-a-c)2-ac<3a2,即证a2-ac+a2-c2>0,即证a(a-c)+(a+c)(a-c)>0,即证a(a-c)-b(a-c)>0,即证(a-c)(a-b)>0.故求证“b2-ac<3a”索的因应是(a-c)(a-b)>0.4.用数学归纳法证明不等式1+12+14+12n-1>12764成立,起始值至少应取为(B)(A)7(B)8(C)9(D)10解析:左边的和为1-12n1-12=2-21-n,当n=8时,和为2-2-7>12764.5.(20xx合肥一模)对于函数f(x),若a,b,cR,f(a),f(b),f(c)都是某一三角形的三边长,则称f(x)为“可构造三角形函数”.以下说法正确的是(D)(A)f(x)=1(xR)不是“可构造三角形函数”(B)“可构造三角形函数”一定是单调函数(C)f(x)=1x2+1(xR)是“可构造三角形函数”(D)若定义在R上的函数f(x)的值域是e,e(e为自然对数的底数),则f(x)一定是“可构造三角形函数”解析:对于A选项,由题设所给的定义知,a,b,cR,f(a),f(b),f(c)都是某一正三角形的三边长,是“可构造三角形函数”,故A选项错误;对于B选项,由A选项判断过程知,B选项错误;对于C选项,当a=0,b=3,c=3时,f(a)=1>f(b)+f(c)=15,不构成三角形,故C错误;对于D选项,由于e+e>e,可知,定义在R上的函数f(x)的值域是e,e(e为自然对数的底数),则f(x)一定是“可构造三角形函数”.6.(20xx青岛市高三月考)用数学归纳法证明1n+1+1n+2+12n>1134时,由k到k+1,不等式左边的变化是(C)(A)增加12(k+1)项(B)增加12k+1和12k+2两项(C)增加12k+1和12k+2两项同时减少1k+1项(D)以上结论都不对解析:n=k时,左边=1k+1+1k+2+1k+kn=k+1时,左边=1(k+1)+1+1(k+1)+2+1(k+1)+(k+1),由“n=k”变成“n=k+1”时,不等式左边的变化是12k+1+12k+2-1k+1.二、填空题7.设a>b>0,m=a-b,n=a-b,则m,n的大小关系是. 解析:法一取a=2,b=1,得m<n.法二a-b<a-bb+a-b>aa<b+2b·a-b+a-b2b·a-b>0,显然成立,故m<n.答案:m<n8.已知点An(n,an)为函数y=x2+1图象上的点,Bn(n,bn)为函数y=x图象上的点,其中nN*,设cn=an-bn,则cn与cn+1的大小关系为. 解析:由条件得cn=an-bn=n2+1-n=1n2+1+n,cn随n的增大而减小.cn+1<cn.答案:cn+1<cn9.用反证法证明:若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)有有理数根,那么a、b、c中至少有一个是偶数.用反证法证明时,假设的内容是. 解析:“至少有一个是”的否定为“都不是”.答案:假设a,b,c都不是偶数10.(20xx福建模拟)对于30个互异的实数,可以排成m行n列的矩形数阵,如图所示的5行6列的矩形数阵就是其中之一.x1x2···x6y1y2···y6············z1z2···z6将30个互异的实数排成m行n列的矩形数阵后,把每行中最大的数选出,记为a1,a2,am,并设其中最小的数为a;把每列中最小的数选出,记为b1,b2,bn,并设其中最大的数为b.两位同学通过各自的探究,分别得出两个结论如下:a和b必相等;a和b可能相等;a可能大于b;b可能大于a.以上四个结论中,正确结论的序号是(请写出所有正确结论的序号). 解析:不妨假设m行n列的矩形数阵,为如题图所示的5行6列的矩形数阵,则由题意可得a的最小值为6,最大值为30;而b的最小值为6,最大值为26,且在同一个5行6列的矩形数阵中,一定有ab,故正确,而不正确.答案:三、解答题11.已知a>0,求证:a2+1a2-2a+1a-2.证明:要证a2+1a2-2a+1a-2.只要证a2+1a2+2a+1a+2.a>0,故只要证a2+1a2+22a+1a+22,即a2+1a2+4a2+1a2+4a2+2+1a2+22a+1a+2,从而只要证2a2+1a22a+1a,只要证4a2+1a22a2+2+1a2,即a2+1a22,而上述不等式显然成立,故原不等式成立.12.(20xx湖南常德模拟)设a>0,f(x)=axa+x,令a1=1,an+1=f(an),nN*.(1)写出a2,a3,a4的值,并猜想数列an的通项公式;(2)用数学归纳法证明你的结论.(1)解:a1=1,a2=f(a1)=f(1)=a1+a;a3=f(a2)=a2+a;a4=f(a3)=a3+a.猜想an=a(n-1)+a(nN*).(2)证明:易知,n=1时,猜想正确.假设n=k时猜想正确,即ak=a(k-1)+a,则ak+1=f(ak)=a·aka+ak=a·a(k-1)+aa+a(k-1)+a=a(k-1)+a+1=a(k+1)-1+a.这说明,n=k+1时猜想正确.由知,对于任何nN*,都有an=a(n-1)+a.能力提升13.(20xx安庆高三月考)用数学归纳法证明2n>n2(n5,nN+),第一步应验证(B)(A)n=4(B)n=5(C)n=6(D)n=7解析:根据数学归纳法的步骤,首先要验证当n取第一个值时命题成立;又n5,所以第一步验证n=5.14.已知三个不等式ab>0;ca>db;bc>ad.以其中两个作条件,余下一个作结论,则可组成个正确命题. 解析:此题共可组成三个命题即;.若ab>0,ca>db,则ca-db=bc-adab>0,得bc-ad>0,即可得命题正确;若ab>0,bc>ad,则bc-adab=ca-db>0,得ca>db,即命题正确;若bc>ad,ca>db,则ca-db=bc-adab>0,得ab>0,即命题正确.综上可得正确的命题有三个.答案:三15.数列an满足Sn=2n-an(nN+)(1)计算a1,a2,a3,a4;(2)猜想通项公式an,并用数学归纳法证明.解:(1)由a1=2-a1,得a1=1,由a1+a2=2×2-a2,得a2=32,由a1+a2+a3=2×3-a3,得a3=74,由a1+a2+a3+a4=2×4-a4,得a4=158.(2)猜想an=2n-12n-1(nN+).证明如下:当n=1,由上面计算可知猜想成立;假设n=k时猜想成立,即ak=2k-12k-1,此时Sk=2k-ak=2k-2k-12k-1,当n=k+1时,Sk+1=2(k+1)-ak+1,得Sk+ak+1=2(k+1)-ak+1.因此ak+1=122(k+1)-Sk=k+1-12（2k-2k-12k-1）=2k+1-12(k+1)-1.当n=k+1时也成立,an=2n-12n-1(nN+).探究创新16.设集合W是满足下列两个条件的无穷数列an的集合:an+an+22an+1;anM,其中nN*,M是与n无关的常数.(1)若an是等差数列,Sn是其前n项的和,a3=4,S3=18,试探究Sn与集合W之间的关系;(2)设数列bn的通项公式为bn=5n-2n,且bnW,M的最小值为m,求m的值;(3)在(2)的条件下,设Cn=15bn+(m-5)n+2,求证:数列Cn中任意不同的三项都不能成为等比数列.(1)解:a3=4,S3=18,a1=8,d=-2.Sn=-n2+9n.Sn+Sn+22<Sn+1满足条件,Sn=-（n-92）2+814,当n=4或5时,Sn取最大值20.Sn20满足条件,SnW.(2)解:bn=5n-2n可知bn中最大项是b3=7,M7,M的最小值为7.即m=7.(3)证明:由(2)知Cn=n+2,假设Cn中存在三项cp,cq,cr(p,q,r互不相等)成等比数列,则cq2=cp·cr,(q+2)2=(p+2)(r+2),(q2-pr)+(2q-p-r)2=0,p,q,rN*,q2=pr,2q-p-r=0.消去q得(p-r)2=0,p=r,与pr矛盾.Cn中任意不同的三项都不能成为等比数列.