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专题检测（十二）专题检测（十二）三角恒等变换与解三角形三角恒等变换与解三角形A 卷卷夯基保分专练夯基保分专练一、选择题一、选择题1(高三高三合肥调研合肥调研)已知已知 x(0，)，且，且 cos2x2 sin2x，则，则 tanx4 等于等于()A.13B13C3D3解析：解析：选选 A由由 cos2x2 sin2x 得得 sin 2xsin2x，x(0，)，tan x2，tanx4 tan x11tan x13.2(20 xx张掖一诊张掖一诊)在在ABC 中中，内角内角 A，B，C 的对边分别是的对边分别是 a，b，c，若若 c2a，bsinBasin A12asin C，则，则 sin B 为为()A.74B.34C.73D.13解析：解析：选选 A由由 bsin Basin A12asin C，且，且 c2a，得得 b 2a，cos Ba2c2b22aca24a22a24a234，sin B134274.3已知已知0，4 ，且，且 sin cos 144，则，则2cos21cos4的值为的值为()A.23B.43C.34D.32解析：解析：选选 D法一：法一：由由 sin cos 144，得得 sin474.因为因为0，4 ，所以，所以40，4 ，所以所以 cos434，故故2cos21cos4cos 2sin4sin22sin4sin 24sin42cos432.法二：法二：因为因为 sin cos 144，两边平方，整理得两边平方，整理得 2sin cos 18，所以所以(sin cos )212sin cos 98.因为因为0，4 ，所以，所以 sin 0，cos 0，所以所以 sin cos 3 24.所以所以2cos21cos4cos2sin222 cos sin 2(cos sin )32.4(20 xx全国卷全国卷)ABC 的内角的内角 A，B，C 的对边分别为的对边分别为 a，b，c.已知已知 sin Bsin A(sinCcos C)0，a2，c 2，则，则 C()A.12B.6C.4D.3解析：解析：选选 B因为因为 sin Bsin A(sin Ccos C)0，所以所以 sin(AC)sin Asin Csin Acos C0，所以所以 sin Acos Ccos Asin Csin Asin Csin Acos C0，整理得整理得 sin C(sin Acos A)0.因为因为 sin C0，所以所以 sin Acos A0，所以，所以 tan A1，因为因为 A(0，)，所以，所以 A34，由正弦定理得由正弦定理得 sin Ccsin Aa222212，又又 0C4，所以，所以 C6.5在在ABC 中中，角角 A，B，C 所对的边分别为所对的边分别为 a，b，c，若若cbcos A，则则ABC 为为()A钝角三角形钝角三角形B直角三角形直角三角形C锐角三角形锐角三角形D等边三角形等边三角形解析：解析：选选 A根据正弦定理得根据正弦定理得cbsin Csin Bcos A，即即 sin Csin Bcos A.ABC，sin Csin(AB)sin Bcos A，整理得整理得 sin Acos B0，cos B0，2B，ABC 为钝角三角形为钝角三角形6如图，在如图，在ABC 中，中，C3，BC4，点，点 D 在边在边 AC 上，上，ADDB，DEAB，E 为垂足若为垂足若 DE2 2，则，则 cos A 等于等于()A.2 23B.24C.64D.63解析：解析：选选 C依题意得，依题意得，BDADDEsin A2 2sin A，BDCABDA2A.在在BCD 中，中，BCsinBDCBDsin C，4sin 2A2 2sin A234 23sin A，即，即42sin Acos A4 23sin A，由此，由此解得解得 cos A64.二、填空题二、填空题7(20 xx洛阳统考洛阳统考)若若 sin314，则，则 cos32_.解析：解析：依题意得依题意得 cos32cos 32cos 232sin2312142178.答案：答案：788 已知已知ABC中中， AC4， BC2 7， BAC60， ADBC于于D， 则则BDCD的值为的值为_解析解析：在在ABC 中中，由余弦定理可得由余弦定理可得 BC2AC2AB22ACABcosBAC，即即 2816AB24AB，解得，解得 AB6，则，则 cosABC28361622 7627，所以所以 BDABcosABC627127，CDBCBD2 712727，所以，所以BDCD6.答案：答案：69(20 xx福州质检福州质检)在距离塔底分别为在距离塔底分别为 80 m,160 m，240 m 的同一水平面上的的同一水平面上的 A，B，C 处，依次测得塔顶的仰角分别为处，依次测得塔顶的仰角分别为，.若若90，则塔高为，则塔高为_m.解析：解析：设塔高为设塔高为 h m依题意得，依题意得，tan h80，tan h160，tan h240.因为因为90，所以，所以 tan()tan tan(90)tan sin 90 sin cos 90 cos cos sin sin cos 1，所以，所以tan tan 1tan tan tan 1，所以，所以h80h1601h80h160h2401，解得，解得 h80，所以塔高为，所以塔高为 80 m.答案：答案：80三、解答题三、解答题10(20 xx郑州第二次质量预测郑州第二次质量预测)ABC 的内角的内角 A，B，C 的对边分别为的对边分别为 a，b，c，已，已知知B2C,2b3c.(1)求求 cos C；(2)若若 c4，求，求ABC 的面积的面积解：解：(1)由正弦定理得，由正弦定理得，2sin B3sin C.B2C，2sin 2C3sin C，4sin Ccos C3sin C，C(0，)，sin C0，cos C34.(2)由题意得，由题意得，c4，b6.C(0，)，sin C 1cos2C74，sin Bsin 2C2sin Ccos C3 78，cos Bcos 2Ccos2Csin2C18，sin Asin(BC)sin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C3 783418745 716.SABC12bcsin A12645 71615 74.11(20 xx东北四市高考模拟东北四市高考模拟)已知点已知点 P( 3，1)，Q(cos x，sin x)，O 为坐标原点为坐标原点，函函数数f(x) OP QP.(1)求函数求函数 f(x)的最小正周期；的最小正周期；(2)若若 A 为为ABC 的内角，的内角，f(A)4，BC3，求，求ABC 周长的最大值周长的最大值解：解：(1)由已知，得由已知，得 OP( 3，1)， QP( 3cos x,1sin x)，所以所以 f(x)3 3cos x1sin x42sinx3 ，所以函数所以函数 f(x)的最小正周期为的最小正周期为 2.(2)因为因为 f(A)4，所以，所以 sinA3 0，又又 0A，所以，所以3A343，A23.因为因为 BC3，所以由正弦定理，得，所以由正弦定理，得 AC2 3sin B，AB2 3sin C，所以所以ABC 的周长为的周长为 32 3sin B2 3sin C32 3sin B2 3sin3B32 3sinB3 .因为因为 0B3，所以，所以3B323，所以当所以当 B32，即，即 B6时，时，ABC 的周长取得最大值，为的周长取得最大值，为 32 3.12如图，在一条海防警戒线上的点如图，在一条海防警戒线上的点 A，B，C 处各有一个水声监测处各有一个水声监测点点，B，C 两点到两点到 A 的距离分别为的距离分别为 20 千米和千米和 50 千米千米，某时刻某时刻，B 收到发收到发自静止目标自静止目标 P 的一个声波信号的一个声波信号，8 秒后秒后 A，C 同时接收到该声波信号同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传已知声波在水中的传播速度是播速度是 1.5 千米千米/秒秒(1)设设 A 到到 P 的距离为的距离为 x 千米，用千米，用 x 分别表示分别表示 B，C 到到 P 的距离，并求的距离，并求 x 的值；的值；(2)求求 P 到海防警戒线到海防警戒线 AC 的距离的距离解：解：(1)依题意，有依题意，有 PAPCx，PBx1.58x12.在在PAB 中，中，AB20，cosPABPA2AB2PB22PAABx2202 x12 22x203x325x，同理，在同理，在PAC 中，中，AC50，cosPACPA2AC2PC22PAACx2502x22x5025x.cosPABcosPAC，3x325x25x，解得解得 x31.(2)作作 PDAC 于点于点 D(图略图略)，在，在ADP 中，中，由由 cosPAD2531，得得 sinPAD 1cos2PAD4 2131，PDPAsinPAD314 21314 21.故静止目标故静止目标 P 到海防警戒线到海防警戒线 AC 的距离为的距离为 421千米千米B 卷卷大题增分专练大题增分专练1(高三高三天津五区县联考天津五区县联考)在在ABC 中中，内角内角 A，B，C 所对的边分别为所对的边分别为 a，b，c，且且 8sin2AB22cos 2C7.(1)求求 tan C 的值；的值；(2)若若 c 3，sin B2sin A，求，求 a，b 的值的值解：解：(1)在在ABC 中，因为中，因为 ABC，所以所以AB22C2，则，则 sinAB2cosC2.由由 8sin2AB22cos 2C7，得，得 8cos2C22cos 2C7，所以所以 4(1cos C)2(2cos2C1)7，即即(2cos C1)20，所以，所以 cos C12.因为因为 0C，所以，所以 C3，于是于是 tan Ctan3 3.(2)由由 sin B2sin A，得，得 b2a.又又 c 3，由余弦定理得，由余弦定理得 c2a2b22abcos3，即即 a2b2ab3.联立联立，解得，解得 a1，b2.2在在ABC 中，中，a，b，c 分别为内角分别为内角 A，B，C 的对边，且的对边，且 asin BbsinA3 .(1)求求 A；(2)若若ABC 的面积的面积 S34c2，求，求 sin C 的值的值解：解：(1)asin BbsinA3 ，由正弦定理得由正弦定理得 sin AsinA3 ，即即 sin A12sin A32cos A，化简得，化简得 tan A33，A(0，)，A56.(2)A56，sin A12，由由 S34c212bcsin A14bc，得，得 b 3c，a2b2c22bccos A7c2，则，则 a 7c，由正弦定理得由正弦定理得 sin Ccsin Aa714.3已知函数已知函数 f(x)2 3sin xcos x2cos2x1(xR)(1)求函数求函数 f(x)的最小正周期及在区间的最小正周期及在区间0，2 上的最大值和最小值；上的最大值和最小值；(2)若若 f(x0)65，x04，2 ，求，求 cos 2x0的值的值解：解：(1)f(x)2 3sin xcos x2cos2x1 3sin 2xcos 2x2sin2x6 ，所以函数所以函数 f(x)的最小正周期为的最小正周期为.因为因为 f(x)2sin2x6 在区间在区间0，6 上为增函数，在区间上为增函数，在区间6，2 上为减函数，上为减函数，又又 f(0)1，f6 2，f2 1，所以函数所以函数 f(x)在区间在区间0，2 上的最大值为上的最大值为 2，最小值为，最小值为1.(2)由由(1)可知可知 f(x0)2sin2x06 ，又因为又因为 f(x0)65，所以，所以 sin2x06 35.由由 x04，2 ，得，得 2x0623，76 ，从而从而 cos2x06 1sin22x06 45.所以所以 cos 2x0cos2x06 6cos2x06 cos6sin2x06 sin634 310.4在在ABC 中中，B3，点点 D 在边在边 AB 上上，BD1，且且 DADC.(1)若若BCD 的面积为的面积为 3，求，求 CD；(2)若若 AC 3，求，求DCA.解：解：(1)因为因为 SBCD 3，即，即12BCBDsin B 3，又又 B3，BD1，所以，所以 BC4.在在BDC 中，由余弦定理得中，由余弦定理得 CD2BC2BD22BCBDcos B，即即 CD21612411213，解得，解得 CD 13.(2)在在ACD 中，中，DADC，可设，可设ADCA，则则ADC2，又，又 AC 3，由正弦定理，得由正弦定理，得ACsin 2CDsin ，所以，所以 CD32cos .在在BDC 中，中，BDC2，BCD232，由正弦定理，得由正弦定理，得CDsin BBDsinBCD，即，即32cos sin31sin232，化简得化简得 cos sin232，于是于是 sin2sin232.因为因为 02，所以，所以 022，323223，所以所以2232或或2232，解得解得6或或18，故，故DCA6或或DCA18.
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