精修版贵州省贵阳市九年级数学竞赛讲座 05第五讲 一元二次方程的整数整数解

精修版资料整理精修版资料整理精修版资料整理精修版资料整理精修版资料整理精修版资料整理在数学课外活动中，在各类数学竞赛中，一元二次方程的整数解问题一直是个热点，它将古老的整数理论与传统的一元二次方程知识相结合，涉及面广，解法灵活，综合性强，备受关注，解含参数的一元二次方程的整数解问题的基本策略有： 从求根入手，求出根的有理表达式，利用整除求解； 从判别式手，运用判别式求出参数或解的取值范围，或引入参数(设=)，通过穷举，逼近求解； 从韦达定理入手，从根与系数的关系式中消去参数，得到关于两根的不定方程，借助因数分解、因式分解求解； 从变更主元入人，当方程中参数次数较低时，可考虑以参数为主元求解注：一元二次方程的整数根问题，既涉及方程的解法、判别式、韦达定理等与方程相关的知识，又与整除、奇数、偶数、质数、合数等整数知识密切相关【例题求解】【例1】若关于的方程的解都是整数，则符合条件的整数是的值有 个思路点拨 用因式分解法可得到根的简单表达式，因方程的类型未指明，故须按一次方程、二次方程两种情形讨论，这样确定是的值才能全面而准确注：系数含参数的方程问题，在没有指明是二次方程时，要注意有可能是一次方程，根据问题的题设条件，看是否要分类讨论【例2】 已知、为质数且是方程的根，那么的值是( ) A B C D 思路点拨 由韦达定理、的关系式，结合整数性质求出、的值 【例3】 试确定一切有理数，使得关于的方程有根且只有整数根 思路点拨 由于方程的类型未确定，所以应分类讨论当时，由根与系数关系得到关于r的两个等式，消去r，利用因式(数)分解先求出方程两整数根【例4】 当为整数时，关于的方程是否有有理根?如果有，求出的值；如果没有，请说明理由 思路点拨 整系数方程有有理根的条件是为完全平方数设=(为整数)解不定方程，讨论的存在性注：一元二次方程 (a0)而言，方程的根为整数必为有理数，而=为完全平方数是方程的根为有理数的充要条件【例5】 若关于的方程至少有一个整数根，求非负整数的值思路点拨 因根的表示式复杂，从韦达定理得出的的两个关系式中消去也较困难，又因的次数低于的次数，故可将原方程变形为关于的一次方程 学历训练1已知关于的方程的根都是整数，那么符合条件的整数有 2已知方程有两个质数解，则m 3给出四个命题：整系数方程(a0)中，若为一个完全平方数，则方程必有有理根；整系数方程(a0)中，若方程有有理数根，则为完全平方数；无理数系数方程(a0)的根只能是无理数；若、均为奇数，则方程没有有理数根，其中真命题是 4已知关于的一元二次方程 (为整数)的两个实数根是、，则= 5设rn为整数，且4m40，方程有两个整数根，求m的值及方程的根(山西省竞赛题)6已知方程 (a0)至少有一个整数根，求的值7求使关于的方程的根都是整数的值 8当为正整数时，关于的方程的两根均为质数，试解此方程9设关于的二次方程的两根都是整数，试求满足条件的所有实数的值 10试求所有这样的正整数，使得方程至少有一个整数解 参考答案 最新精品资料