高考真题理科数学 解析分类汇编13概率

20xx年高考真题理科数学解析分类汇编13 概率1.【20xx高考辽宁理10】在长为12cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，领边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32cm2的概率为(A) (B) (C) (D) 【答案】C【解析】设线段AC的长为cm，则线段CB的长为()cm,那么矩形的面积为cm2，由，解得。又，所以该矩形面积小于32cm2的概率为，故选C【点评】本题主要考查函数模型的应用、不等式的解法、几何概型的计算，以及分析问题的能力，属于中档题。2.【20xx高考湖北理8】如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆. 在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是A BC D【答案】A考点分析：本题考察几何概型及平面图形面积求法.第8题图【解析】令，扇形OAB为对称图形，ACBD围成面积为，围成OC为，作对称轴OD，则过C点。即为以OA为直径的半圆面积减去三角形OAC的面积，。在扇形OAD中为扇形面积减去三角形OAC面积和，扇形OAB面积，选A.3.【20xx高考广东理7】从个位数与十位数之和为奇数的两位数种任取一个，其个位数为0的概率是A. B. C. D.【答案】D 【解析】法一：对于符合条件“个位数与十位数之和为奇数的两位数”分成两种类型：一是十位数是奇数，个位数是偶数，共有个，其中个位数为0的有10,30,50,70,90共5个；二是十位数是偶数，个位数是奇数，共有，所以故选D法二：设个位数与十位数分别为，则，1,2,3,4,5,6,7,8,9，所以分别为一奇一偶，第一类为奇数，为偶数共有个数；第二类为偶数，为奇数共有个数。两类共有45个数，其中个位是0，十位数是奇数的两位有10,30,50,70,90这5个数，所以其中个位数是0的概率是，选D。4.【20xx高考福建理6】如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为A. B. C. D. 【答案】.考点：积分的计算和几何概型。难度：中。分析：本题考查的知识点为公式法计算积分和面型的几何概型。【解析】根据定积分的几何意义可知阴影部分的面积，而正方形的面积为，所以点恰好取自阴影部分的概率为故选5.【20xx高考北京理2】设不等式组，表示平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（A） （B） （C） （D） 【答案】D【解析】题目中表示的区域如图正方形所示，而动点D可以存在的位置为正方形面积减去四分之一圆的面积部分，因此，故选D。 6.【20xx高考上海理11】三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 （结果用最简分数表示）。【答案】【解析】三位同学从三个项目选其中两个项目有中，若有且仅有两人选择的项目完成相同，则有，所以有且仅有两人选择的项目完成相同的概率为。【点评】本题主要考查排列组合概率问题、古典概型.要分清基本事件数和基本事件总数.本题属于中档题.7.【20xx高考新课标理15】某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布，且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 【答案】【解析】三个电子元件的使用寿命均服从正态分布得：三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为超过1000小时时元件1或元件2正常工作的概率 那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为.8.【20xx高考江苏6】（5分）现有10个数，它们能构成一个以1为首项，为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 【答案】。【考点】等比数列，概率。【解析】以1为首项，为公比的等比数列的10个数为1，3，9，-27，其中有5个负数，1个正数1计6个数小于8， 从这10个数中随机抽取一个数，它小于8的概率是。9.【20xx高考四川理17】(本小题满分12分) 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）和，系统和在任意时刻发生故障的概率分别为和。（）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求的值；（）设系统在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量，求的概率分布列及数学期望。【答案】本题主要考查独立事件的概率公式、离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查实际问题的数学建模能力，数据的分析处理能力和基本运算能力.解析（1）设：“至少有一个系统不发生故障”为事件C，那么1-P（C）=1-P= ，解得P=4 分 （2）由题意，P（=0）=P（=1）=P（=2）=P（=3）=所以，随机变量的概率分布列为：0123P故随机变量X的数学期望为：E=0 12分.点评本小题主要考查相互独立事件，独立重复试验、互斥事件、随机变量的分布列、数学期望等概念及相关计算，考查运用概率知识与方法解决实际问题的能力.10【20xx高考湖北理20】（本小题满分12分）根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X（单位：mm）对工期的影响如下表：降水量X工期延误天数02610历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9. 求：（）工期延误天数的均值与方差； （）在降水量X至少是的条件下，工期延误不超过6天的概率. 【答案】（）由已知条件和概率的加法公式有：，.所以的分布列为：026100.30.40.20.1 于是，；. 故工期延误天数的均值为3，方差为. （）由概率的加法公式，又. 由条件概率，得.故在降水量X至少是mm的条件下，工期延误不超过6天的概率是. 11.【20xx高考江苏25】（10分）设为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，；当两条棱平行时，的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时， （1）求概率； （2）求的分布列，并求其数学期望【答案】解：（1）若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的一个，过任意1个顶点恰有3条棱， 共有对相交棱。 。 （2）若两条棱平行，则它们的距离为1或，其中距离为的共有6对， ，。 随机变量的分布列是：01 其数学期望。 【考点】概率分布、数学期望等基础知识。【解析】（1）求出两条棱相交时相交棱的对数，即可由概率公式求得概率。 （2）求出两条棱平行且距离为的共有6对，即可求出，从而求出（两条棱平行且距离为1和两条棱异面），因此得到随机变量的分布列，求出其数学期望。 12.【20xx高考广东理17】（本小题满分13分）某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：40,5050,6060,7070,8080,9090,100（1）求图中x的值；（2）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为，求得数学期望【答案】本题是在概率与统计的交汇处命题，考查了用样本估计总体等统计知识以及离散型随机变量的分布列及期望，考查学生应用数学知识解决实际问题的能力，难度中等。【解析】（1） （2）成绩不低于分的学生有人，其中成绩在分以上（含分）的人数为 随机变量可取 答：（1） （2）的数学期望为13.【20xx高考全国卷理19】（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换.每次发球，胜方得1分，负方得0分.设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立.甲、乙的一局比赛中，甲先发球.（）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；（）表示开始第4次发球时乙的得分，求的期望。【命题意图】本试题主要是考查了独立事件的概率的求解，以及分布列和期望值的问题。首先要理解发球的具体情况，然后对于事件的情况分析、讨论，并结合独立事件的概率求解结论。解：记为事件“第i次发球，甲胜”，i=1,2,3，则。（）事件“开始第次发球时，甲、乙的比分为比”为，由互斥事件有一个发生的概率加法公式得。即开始第次发球时，甲、乙的比分为比的概率为0.352（）由题意。；=0.408；所以【点评】首先从试题的选材上来源于生活，同学们比较熟悉的背景，同时建立在该基础上求解进行分类讨论的思想的运用，以及能结合独立事件的概率公式求解分布列的问题。情景比较亲切，容易入手，但是在讨论情况的时候，容易丢情况。14.【20xx高考浙江理19】(本小题满分14分)已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球的2分，取出一个黑球的1分现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X为取出3球所得分数之和()求X的分布列；()求X的数学期望E(X)【答案】本题主要考察分布列，数学期望等知识点。() X的可能取值有：3，4，5，6 ； ； 故，所求X的分布列为X3456P () 所求X的数学期望E(X)为：E(X)15.【20xx高考重庆理17】（本小题满分13分，（）小问5分，（）小问8分.）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一票.约定甲先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响.（） 求甲获胜的概率；（）求投篮结束时甲的投篮次数的分布列与期望解：设分别表示甲、乙在第次投篮投中，则， （1）记“甲获胜”为事件C，由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知， （2）的所有可能为：由独立性知：综上知，有分布列123从而，（次）16.【20xx高考江西理18】（本题满分12分）如图，从A1（1,0,0），A2（2,0,0），B1（0，2，0），B2（0,2,0），C1（0,0,1），C2（0,0,2）这6个点中随机选取3个点，将这3个点及原点O两两相连构成一个“立体”，记该“立体”的体积为随机变量V（如果选取的3个点与原点在同一个平面内，此时“立体”的体积V=0）。（1）求V=0的概率；(2)求V的分布列及数学期望。解：（1）从6个点中随机地选取3个点共有种选法，选取的3个点与原点O在同一个平面上的选法有种，因此V=0的概率（2）V的所有可能值为，因此V的分布列为V0P由V的分布列可得：EV=【点评】本题考查组合数，随机变量的概率，离散型随机变量的分布列、期望等. 高考中，概率解答题一般有两大方向的考查.一、以频率分布直方图为载体，考查统计学中常见的数据特征：如平均数，中位数，频数，频率等或古典概型；二、以应用题为载体，考查条件概率，独立事件的概率，随机变量的期望与方差等.来年需要注意第一种方向的考查.17.【20xx高考湖南理17】本小题满分12分）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数（人）302510结算时间（分钟/人）11.522.53已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55.（）确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；（）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率.（注：将频率视为概率）【解析】（1）由已知,得所以该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所以收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量随机样本，将频率视为概率得 的分布为 X11.522.53PX的数学期望为 .（）记A为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟”，为该顾客前面第位顾客的结算时间，则 .由于顾客的结算相互独立，且的分布列都与X的分布列相同，所以 .故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为.【点评】本题考查概率统计的基础知识，考查分布列及数学期望的计算，考查运算能力、分析问题能力.第一问中根据统计表和100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55知从而解得，计算每一个变量对应的概率，从而求得分布列和期望；第二问，通过设事件，判断事件之间互斥关系，从而求得该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率.18.【20xx高考安徽理17】（本小题满分12分）某单位招聘面试，每次从试题库随机调用一道试题，若调用的是类型试题，则使用后该试题回库，并增补一道类试题和一道类型试题入库，此次调题工作结束；若调用的是类型试题，则使用后该试题回库，此次调题工作结束。试题库中现共有道试题，其中有道类型试题和道类型试题，以表示两次调题工作完成后，试题库中类试题的数量。（）求的概率；（）设，求的分布列和均值（数学期望）。【答案】本题考查基本事件概率、条件概率，离散型随机变量及其分布列，均值等基础知识，考查分类讨论思想和应用于创新意识。【解析】（I）表示两次调题均为类型试题，概率为（）时，每次调用的是类型试题的概率为，随机变量可取，。答：（）的概率为， （）求的均值为。19.【20xx高考新课标理18】（本小题满分12分）某花店每天以每枝元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理.（1）若花店一天购进枝玫瑰花，求当天的利润(单位：元)关于当天需求量（单位：枝，）的函数解析式. （2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.（i）若花店一天购进枝玫瑰花，表示当天的利润（单位：元），求的分布列，数学期望及方差；（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由.【答案】（1）当时， 当时， 得： （2）（i）可取， 的分布列为 （ii）购进17枝时，当天的利润为 得：应购进17枝20.【20xx高考山东理19】（19）（本小题满分12分） 先在甲、乙两个靶.某射手向甲靶射击一次，命中的概率为，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为,每命中一次得2分，没有命中得0分.该射手每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击.（）求该射手恰好命中一次得的概率；（）求该射手的总得分的分布列及数学期望.解：（）记“该射手恰好命中一次”为事件；“该射手设计甲靶命中”为事件；“该射手第一次射击乙靶命中”为事件；“该射手第二次射击乙靶命中”为事件 由题意知， 由于，根据事件的独立性与互斥性得 （）根据题意，的所以可能取值为 根据事件的独立性和互斥性得 ， ，故的分布列为012345 所以21.【20xx高考福建理16】（本小题满分13分）受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业产生每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆，统计书数据如下：将频率视为概率，解答下列问题：（I）从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率；(II)若该厂生产的轿车均能售出，记住生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列；（III）该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该产生哪种品牌的轿车？说明理由.解答：（I）首次出现故障发生在保修期内的概率为（II）随机变量的分布列为 随机变量的分布列为 （III）(万元) (万元) 所以应该生产甲品牌汽车。22.【20xx高考北京理17】（本小题共13分）近年来，某市为了促进生活垃圾的风分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应分垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾400100100可回收物3024030其他垃圾202060（）试估计厨余垃圾投放正确的概率；（）试估计生活垃圾投放错误额概率；（）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为其中a0，=600。当数据的方差最大时，写出的值（结论不要求证明），并求此时的值。（注：，其中为数据的平均数）解：（1）由题意可知：。（2）由题意可知：。（3）由题意可知：，因此有当，时，有23.【20xx高考陕西理20】（本小题满分13分）某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：从第一个顾客开始办理业务时计时。（1）估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；（2）表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求的分布列及数学期望。【解析】设Y表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，的Y的分布如下：Y12345P0.10.40.30.10.1(1) A表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”，则时间A对应三种情形： 一个谷歌办理业务所需时间为1分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟； 第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟； 第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟。所以（2）解法一：X所有可能的取值为：0,1,2.X=0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，所以；X=1对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需时间超过1分钟，或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟，所以；X=2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以；所以X的分布列为X012P0.50.490.01.解法二：X所有可能的取值为0,1,2.X=0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，所以；X=2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以；所以X的分布列为X012P0.50.490.01。24.【20xx高考天津理16】（本小题满分13分）现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏.（）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；（）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记，求随机变量的分布列与数学期望.【答案】（1）每个人参加甲游戏的概率为，参加乙游戏的概率为 这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为（2），这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为（3）可取 随机变量的分布列为 .【点评】应用性问题是高考命题的一个重要考点，近年来都通过概率问题来考查，且常考常新,对于此类考题，要注意认真审题，从数学与实际生活两个角度来理解问题的实质,将问题成功转化为古典概型，独立事件、互斥事件等概率模型求解，因此对概率型应用性问题，理解是基础，转化是关键.