高考理科数学 创新演练：函数与方程含答案

创新演练 一、选择题 1已知函数 f(x)2x1，x1，1log2x，x1，则函数 f(x)的零点为 ( ) A.12，0 B2，0 C.12 D0 D 当 x1 时，由 f(x)2x10，解得 x0； 当 x1 时，由 f(x)1log2x0，解得 x12， 又因为 x1，所以此时方程无解 综上函数 f(x)的零点只有 0. 2设 f(x)x3bxc 是1，1上的增函数，且 f12f120，则方程 f(x)0在1，1内 ( ) A可能有 3 个实数根 B可能有 2 个实数根 C有唯一的实数根 D没有实数根 C 由 f(x)在1，1上是增函数，且 f12f120，f(3)0，f(5)0，0，x0，1x，x0，则函数 h(x)f(x)g(x)在区间5，5内的零点个数是 ( ) A5 B7 C8 D10 C 依题意得， 函数 f(x)是以 2 为周期的函数， 在同一坐标系下画出函数 yf(x)与函数 yg(x)的图象，结合图象得，当 x5，5时，它们的图象的公共点共有 8 个，即函数 h(x)f(x)g(x)在区间5，5内的零点个数是 8. 5(20 xx 广东韶兴一模)已知函数满足 f(x)2f1x，当 x1，3时，f(x)ln x，若在区间13，3 内，函数 g(x)f(x)ax 有三个不同零点，则实数 a 的取值范围是 ( ) A.ln 33，1e B.ln 33，12e C.0，12e D.0，1e A 当 x13，1 时，则 11x3， f(x)2f1x2ln 1x2ln x. f(x)2ln x，x13，1 ，ln x，x1，3. g(x)f(x)ax 在区间13，3 内有三个不同零点， 即函数 yf（x）x与 ya 的图象在13，3 上有三个不同的交点 当 x13，1 时，y2ln xx，y2（ln x1）x20， y2ln xx在13，1 上递减， y(0，6ln 3 当 x1，3时，yln xx，y1ln xx2， yln xx在1，e上递增，在e，3上递减 结合图象，所以 yf（x）x与 ya 的图象有三个交点时，a 的取值范围为ln 33，1e. 二、填空题 6用二分法研究函数 f(x)x33x1 的零点时，第一次经计算 f(0)0可得其中一个零点 x0_，第二次应计算_ 解析 因为 f(x)x33x1 是 R 上的连续函数，且 f(0)0，则 f(x)在x(0，0.5)上存在零点，且第二次验证时需验证 f(0.25)的符号 答案 (0，0.5) f(0.25) 7(20 xx 南通质检)已知函数 f(x)x2(1k)xk 的一个零点在(2，3)内，则实数k 的取值范围是_ 解析 因为 (1k)24k(1k)20 对一切 kR 恒成立， 又 k1 时， f(x)的零点 x1(2，3)，故要使函数 f(x)x2(1k)xk 的一个零点在 (2，3)内，则必有 f(2)f(3)0，即 2k0)没有零点，则实数 a 的取值范围为_ 解析 在平面直角坐标系中画出函数y ax2(a0)的图象(其图象是以原点为圆心、 a为半径的圆，且不在 x 轴下方的部分)与 y 2|x|的图象观察图形可知， 要使这两个函数的图象没有公共点， 则原点到直线 y 2x 的距离大于 a，或 a 2.又原点到直线 y 2x 的距离等于 1， 所以有 0 a1，或 a 2，由此解得 0a2. 所以，实数 a 的取值范围是(0，1)(2，) 答案 (0，1)(2，) 三、解答题 9若函数 f(x)ax2x1 有且仅有一个零点，求实数 a 的取值范围 解析 (1)当 a0 时，函数 f(x)x1 为一次函数，则1 是函数的零点，即函数仅有一个零点 (2)当 a0 时，函数 f(x)ax2x1 为二次函数，并且仅有一个零点，则一元二次方程 ax2x10 有两个相等实根则 14a0，解得 a14.综上，当 a0 或 a14时，函数仅有一个零点 10关于 x 的二次方程 x2(m1)x10 在区间0，2上有解，求实数 m 的取值范围 解析 设 f(x)x2(m1)x1，x0，2， 若 f(x)0 在区间0，2上有一解， f(0)10，则应有 f(2)0， 又f(2)22(m1)21，m32. 若 f(x)0 在区间0，2上有两解，则 0，0m122，f（2）0， （m1）240，3m1，4（m1）210. m3或m1，3m2e， 即 me22e1 时， g(x)与 f(x)的图象有两个交点， 即 g(x)f(x)0 有两个相异实根 m 的取值范围是(e22e1，)