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精品资料第三节平面向量的数量积及平面向量的应用 考点一平面向量数量积的概念及运算 例1(1)(2013湖北高考)已知点A(1,1)、B(1,2)、C(2，1)、D(3,4)，则向量在方向上的投影为()A. B. C D (2)如图，在矩形ABCD中，AB，BC2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若，则的值是_自主解答(1)A(1,1)，B(1，2)，C(2，1)，D(3,4)，(2,1)，(5,5)，因此cos，向量在方向上的投影为|cos，.(2)以A为坐标原点，AB，AD所在的直线分别为x，y轴建立直角坐标系，则B(，0)，E(，1)，D(0,2)，C(，2)设F(x，2)(0x)，由xx1，所以F(1,2)，(，1)(1，2).答案(1)A(2)【互动探究】在本例(2)中，若四边形ABCD是边长为1的正方形，点E是AB上的动点，求的值及的最大值解：以A点为原点，AB边所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，则正方形各顶点坐标分别为A(0,0)、B(1,0)、C(1,1)、D(0,1)，设E(a，0)，0a1.(a，1)(0，1)a0(1)(1)1.(a，1)(1,0)a(1)0a1，故的最大值为1. 【方法规律】平面向量数量积的类型及求法(1)平面向量数量积有两种计算公式：一是夹角公式ab|a|b|cos ；二是坐标公式abx1x2y1y2.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简1若向量a(1,1)，b(2,5)，c(3，x)，满足条件(8ab)c30，则x_.解析：a(1,1)，b(2,5)，8ab(8,8)(2,5)(6,3)又c(3，x)，(8ab)c183x30，x4.答案：42已知e1，e2是夹角为的两个单位向量，ae12e2，bke1e2，若ab0，则实数k的值为_解析：e1，e2的模为1，且其夹角.ab(e12e2)(ke1e2)kee1e22ke1e22ek(12k)cos22k.又ab0，2k0，即k.答案：高频考点考点二 平面向量的夹角与模的问题1平面向量的夹角与模的问题是高考中的常考内容，题型多为选择题、填空题，难度适中，属中档题2高考对平面向量的夹角与模的考查常有以下几个命题角度：(1)求两向量的夹角；(2)两向量垂直的应用；(3)已知数量积求模；(4)知模求模例2(1)(2013湖南高考)已知a，b是单位向量，ab0.若向量c满足|cab|1，则|c|的最大值为()A.1 B. C.1 D.2(2)(2013安徽高考)若非零向量a，b满足|a|3|b|a2b|，则a与b夹角的余弦值为_(3)(2013山东高考)在平面直角坐标系xOy中，已知(1，t)，(2,2)若ABO90，则实数t的值为_(4)(2013天津高考)在平行四边形ABCD中， AD1，BAD60，E为CD的中点若1, 则AB的长为_来源:数理化网自主解答(1)建立如图所示的直角坐标系，由题意知ab，且a与b是单位向量，可设a(1,0)，b(0,1)，c(x，y)cab(x1，y1)，|cab|1，(x1)2(y1)21，即点C(x，y)的轨迹是以M(1,1)为圆心，1为半径的圆而|c|，|c|的最大值为|OM|1，即|c|max1.(2)由|a|a2b|，两边平方，得|a|2|a2b|2|a|24|b|24ab，所以ab|b|2.又|a|3|b|，所以cosa，b.(3) (1，t)(2,2)(3,2t)来源:ABO90，0，即232(2t)0，t5.(4)法一：由题意可知，.因为1，所以()1，即221.因为|1，BAD60，所以|，即AB的长为.法二：以A为原点，AB为x轴建立如图所示的直角坐标系，过D作DMAB于点M.由AD1，BAD60，可知AM，DM.设|AB|m(m0)，则B(m,0)，C，D.因为E是CD的中点，所以E.所以，.由1，可得1，即2m2m0，所以m0(舍去)或.故AB的长为.答案(1)C(2)(3)5(4)平面向量的夹角与模问题的常见类型及解题策略(1)求两向量的夹角cos ，要注意0，(2)两向量垂直的应用两非零向量垂直的充要条件是：abab0|ab|ab|.(3)求向量的模利用数量积求解长度问题的处理方法有：a2aa|a|2或|a|.|ab|.若a(x，y)，则|a|.1若a(1,2)，b(1，1)，则2ab与ab的夹角等于()A B. C. D.解析：选C2ab2(1,2)(1，1)(3,3)，ab(1,2)(1，1)(0,3)，(2ab)(ab)9，|2ab|3，|ab|3.设所求两向量夹角为，则cos ，又0，故.2已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量ab与向量kab垂直，则k_.解析：a与b是不共线的单位向量，|a|b|1.又kab与ab垂直，(ab)(kab)0，即ka2kababb20.k1kabab0，即k1kcos cos 0(为a与b的夹角)(k1)(1cos )0，又a与b不共线，cos 1，k1.答案：13已知平面向量，|1，(2,0)，(2)，则|2|的值为_解析：(2,0)，|2，又(2)，(2)22120.(2)2422444210.|2|.答案：考点三平面向量数量积的应用 例3(2013江苏高考)已知向量a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，0.(1)若|ab|，求证：ab；(2)设c(0,1)，若abc，求，的值自主解答(1)证明：由题意得|ab|22，即(ab)2a22abb22.又因为a2b2|a|2|b|21，所以22ab2，即ab0，故ab.(2)因为ab(cos cos ，sin sin )(0,1)，所以由此得，cos cos()，由0，得0，又0，所以，.来源:【方法规律】平面向量与三角函数的综合问题的命题形式与解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解 (2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等.设向量a(4cos ，sin )，b(sin ，4cos )，c(cos ，4sin )(1)若a与b2c垂直，求tan()的值；(2)求|bc|的最大值；(3)若tan tan 16，求证：ab.解：(1)由a与b2c垂直，得a(b2c)ab2ac0，即4sin()8cos()0，tan()2.(2)bc(sin cos ，4cos 4sin )，|bc|2sin22sin cos cos216cos232cos sin 16sin21730sin cos 1715sin 2，故最大值为32，所以|bc|的最大值为4.来源:(3)证明：由tan tan 16，得sin sin 16cos cos ，即4cos 4cos sin sin 0，所以ab.课堂归纳通法领悟1个条件两个非零向量垂直的充要条件两个非零向量垂直的充要条件为：abab0.来源:数理化网2个结论与向量夹角有关的两个结论(1)若ab0，则a与b的夹角为锐角或0；(2)若ab0，则a与b的夹角为钝角或180.4个注意点向量运算中应注意的四个问题(1)在求ABC的三边所对应向量的夹角时，要注意是三角形的内角还是外角如在等边ABC中，与的夹角应为120而不是60.(2)在平面向量数量积的运算中，不能从ab0推出a0或b0成立实际上由ab0可推出以下四种结论：a0，b0；a0，b0；a0，b0；a0，b0，但ab.(3)实数运算满足消去律：若bcca，c0，则有ba.在向量数量积的运算中，若abac(a0)，则不一定得到bc.(4)实数运算满足乘法结合律，但平面向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(ab)c不一定等于a(bc)，这是由于(ab)c表示一个与c共线的向量，而a(bc)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线
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