高考数学复习：第五章 ：第五节　数列的综合问题突破热点题型

精品资料第五节数列的综合问题 考点一等差、等比数列的综合问题 例1在数列an中，a11，a22，且an1(1q)anqan1(n2，q0)(1)设bnan1an(nN*)，证明：bn是等比数列；(2)求数列an的通项公式；(3)若a3是a6与a9的等差中项，求q的值，并证明：此时对任意的nN*，an是an3与an6的等差中项自主解答(1)证明：由题设an1(1q)anqan1(n2)，得an1anq(anan1)，即bnqbn1，n2.又b1a2a11，q0，所以bn是首项为1，公比为q的等比数列(2)由(1)，得a2a11，a3a2q，anan1qn2(n2)将以上各式相加，得ana11qq2qn2(n2)所以当n2时，有an上式对n1也成立，所以数列an的通项公式为an(3)由(2)，得当q1时，显然a3不是a6与a9的等差中项，故q1.由a3是a6与a9的等差中项，即2a3a6a9，可得2q2q5q8，由q0，得q6q320，整理，得(q3)2q320，解得q32或q31(舍去)于是q.而an1，an31，an61，所以an3an6222222an.所以对任意的nN*，an是an3与an6的等差中项【方法规律】解决等差、等比数列的综合问题的方法对于等差、等比数列的综合问题，应重点分析等差、等比数列的通项，前n项和以及等差、等比数列项之间的关系，往往用到转化与化归的思想方法已知等差数列an的首项a11，公差d>0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列bn的第2项、第3项、第4项(1)求数列an与bn的通项公式；(2)设数列cn对nN*均有an1成立，求c1c2c3c2 013.解：(1)由已知有a21d，a514d，a14113d，(14d)2(1d)(113d)，解得d2(d>0)an1(n1)·22n1.又b2a23，b3a59，数列bn的公比为3，bn3·3n23n1.(2)由an1，得当n2时，an.两式相减得：n2时，an1an2.cn2bn2·3n1(n2)又当n1时，a2，c13.cnc1c2c3c2 01333(332 013)32 013.考点二数列在实际问题中的应用 例2某工业城市按照“十二五”(2011年至2015年)期间本地区主要污染物排放总量控制要求，进行减排治污现以降低SO2的年排放量为例，原计划“十二五”期间每年的排放量都比上一年减少0.3万吨，已知该城市2011年SO2的年排放量约为9.3万吨(1)按原计划，“十二五”期间该城市共排放SO2约多少万吨？(2)该城市为响应“十八大”提出的建设“美丽中国”的号召，决定加大减排力度在2012年刚好按原计划完成减排任务的条件下，自2013年起，SO2的年排放量每年比上一年减少的百分率为p，为使2020年这一年SO2的年排放量控制在6万吨以内，求p的取值范围自主解答(1)设“十二五”期间，该城市共排放SO2约y万吨，依题意，2011年至2015年SO2的年排放量构成首项为9.3，公差为0.3的等差数列，所以y5×9.3×(0.3)43.5(万吨)所以按原计划“十二五”期间该城市共排放SO2约43.5万吨(2)由已知得， 2012年的SO2年排放量为9.30.39(万吨)，所以2012年至2020年SO2的年排放量构成首项为9，公比为1p的等比数列由题意得9×(1p)86，由于0<p<1，所以1p< ，所以1p<0.950 5，解得p>4.95%.所以SO2的年排放量每年减少的百分率p的取值范围为(4.95%,1)【方法规律】解决数列应用题应注意的问题解决数列应用问题，要明确问题属于哪一种类型，即明确是等差数列问题还是等比数列问题，是求an还是Sn，特别是要弄清项数某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产该企业第一年年初有资金2 000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元(1)用d表示a1，a2，并写出an1与an的关系式；(2)若公司希望经过m(m3)年使企业的剩余资金为4 000万元，试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示)解：(1)由题意得a12 000(150%)d3 000d，a2a1(150%)da1d4 500d.an1an(150%)dand.(2)由(1)得anan1dd2an2ddn1a1d.整理得ann1(3 000d)2dn1(3 0003d)2d.由题意，am4 000，即m1(3 0003d)2d4 000.解得d.来源:故该企业每年上缴资金d的值为时，经过m(m3)年企业的剩余资金为4 000万元.高频考点考点三 数列与函数、不等式的综合问题1数列与函数、 不等式的综合问题是每年高考的重点，多为解答题，难度偏大，属中高档题2高考对数列与函数、不等式的综合问题的考查常有以下两个命题角度：来源:(1)以数列为载体，考查不等式的恒成立问题；(2)考查与数列问题有关的不等式的证明问题例3(2013·江西高考)正项数列an的前n项和Sn满足：S(n2n1)Sn(n2n)0.(1)求数列an的通项公式an；(2)令bn，数列bn的前n项和为Tn.证明：对于任意的nN*，都有Tn<.自主解答(1)由S(n2n1)Sn(n2n)0，得Sn(n2n)(Sn1)0.由于an是正项数列，所以Sn>0，Snn2n.于是a1S12，n2时，anSnSn1n2n(n1)2(n1)2n.综上，数列an的通项公式为an2n.(2)证明：由于an2n，故bn.Tn1<.数列与函数、不等式的综合问题的常见类型及解题策略(1)数列与不等式的恒成立问题此类问题常构造函数，通过函数的单调性等解决问题(2)与数列有关的不等式证明问题解决此类问题要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等来源:1已知数列an为等比数列，其前n项和为Sn，已知a1a4，且对于任意的nN*，有Sn，Sn2，Sn1成等差数列(1)求数列an的通项公式；(2)已知bnn(nN*)，记Tn，若(n1)2m(Tnn1)对于n2恒成立，求实数m的取值范围解：(1)设数列an的公比为q.S1，S3，S2成等差数列，来源:2S3S1S2，2a1(1qq2)a1(2q)，解得q，又a1a4a1(1q3)，a1，ana1qn1n.(2)bnn，ann，n·2n，Tn1·22·223·23n·2n，2Tn1·222·233·24(n1)·2nn·2n1，得Tn222232nn·2n1，Tn(n1)·2n12.若(n1)2m(Tnn1)对于n2恒成立，则(n1)2m(n1)·2n12n1，(n1)2m(n1)·(2n11)，m，来源:令f(x)，可判断f(x)在x2，)上是减函数则f(n)的最大值为f(2)，m.故实数m的取值范围为.课堂归纳通法领悟2种思想函数思想与转化化归思想(1)数列与函数方程相结合时主要考查函数的思想及函数的性质(多为单调性)(2)转化化归思想，an与Sn转化，一般数列与特殊数列的转化等3个注意点数列与函数、不等式、解析几何相结合应注意的问题(1)数列与解析几何结合时注意递推(2)数列与不等式相结合时注意对不等式进行放缩(3)利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化