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精品资料学案15导数的综合应用导学目标： 1.应用导数讨论函数的单调性，并会根据函数的性质求参数范围.2.会利用导数解决某些实际问题自主梳理1已知函数单调性求参数值范围时，实质为恒成立问题2求函数单调区间，实质为解不等式问题，但解集一定为定义域的子集3实际应用问题：首先要充分理解题意，列出适当的函数关系式，再利用导数求出该函数的最大值或最小值，最后回到实际问题中，得出最优解自我检测1函数f(x)x33axa在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为_2(2011·扬州模拟)已知f(x)，g(x)都是定义在R上的函数，g(x)0，f(x)g(x)<f(x)g(x)，f(x)ax·g(x)(a>0，且a1)，则a的值为_3(2011·厦门质检)已知函数f(x)(m2)x2(m24)xm是偶函数，函数g(x)x32x2mx5在(，)内单调递减，则实数m为_4函数f(x)ex (sin xcos x)在区间上的值域为_5f(x)x(xc)2在x2处有极大值，则常数c的值为_探究点一讨论函数的单调性例1已知函数f(x)x2eax (a>0)，求函数在1,2上的最大值变式迁移1设a>0，函数f(x).(1)讨论f(x)的单调性；(2)求f(x)在区间a,2a上的最小值探究点二用导数证明不等式例2已知f(x)x2aln x(aR)，(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求证：当x>1时，x2ln x<x3.变式迁移2(2010·安徽)设a为实数，函数f(x)ex2x2a，xR.(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当a>ln 21且x>0时，ex>x22ax1.探究点三实际生活中的优化问题例3某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元(3a5)的管理费，预计当每件产品的售价为x元(9x11)时，一年的销售量为(12x)2万件(1)求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x的函数关系式；(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q(a)变式迁移3甲方是一农场，乙方是一工厂由于乙方生产需占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x(元)与年产量t(吨)满足函数关系x2 000.若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方S元(以下称S为赔付价格)(1)将乙方的年利润(元)表示为年产量t(吨)的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；(2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y0.002t2(元)，在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格S是多少？转化与化归思想例(14分)(2010·全国)已知函数f(x)(x1)ln xx1.(1)若xf(x)x2ax1，求a的取值范围；(2)证明：(x1)f(x)0.【答题模板】(1)解f(x)ln x1ln x，x>0，2分xf(x)xln x1.由xf(x)x2ax1，得aln xx，令g(x)ln xx，则g(x)1，5分当0<x<1时，g(x)>0；当x>1时，g(x)<0，x1是最大值点，g(x)maxg(1)1，a1，a的取值范围为1，)8分(2)证明由(1)知g(x)ln xxg(1)1，ln xx10.(注：充分利用(1)是快速解决(2)的关键)10分当0<x<1时，x1<0，f(x)(x1)ln xx1xln xln xx10，(x1)f(x)0.12分当x1时，x1>0，f(x)(x1)ln xx1ln xxln xx1ln xx0，(x1)f(x)0.综上，(x1)f(x)0.14分【突破思维障碍】本小题主要考查函数、导数、不等式证明等知识，通过运用导数知识解决函数、不等式问题，考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力以及计算能力，同时也考查了函数与方程思想、化归与转化思想通过转化，本题实质还是利用单调性求最值问题1求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要分类讨论参数的范围若已知函数单调性求参数范围时，隐含恒成立思想2利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤：(1)分析实际问题中各变量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出相应的函数关系式yf(x)；(2)求函数的导数f(x)，解方程f(x)0；(3)比较函数的区间端点对应的函数值和极值，确定最值；(4)回到实际问题，作出解答(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1(2010·无锡模拟)已知曲线C：y2x2x3，点P(0，4)，直线l过点P且与曲线C相切于点Q，则点Q的横坐标为_2函数f(x)x3ax23x9，已知f(x)在x3时取得极值，则a_.3(2011·盐城调研)函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)f(2x)，且当x(，1)时，(x1)f(x)<0，则af(0)、bf()、cf(3)的大小关系为_4函数f(x)x3x2txt在(1,1)上是增函数，则t的取值范围是_5若函数f(x)，且0<x1<x2<1，设a，b，则a，b的大小关系为_6在直径为d的圆木中，截取一个具有最大抗弯强度的长方体梁，则矩形面的长为_(强度与bh2成正比，其中h为矩形的长，b为矩形的宽)7要建造一个长方体形状的仓库，其内部的高为3 m，长和宽的和为20 m，则仓库容积的最大值为_m3.8若函数f(x)在区间(m,2m1)上是单调递增函数，则实数m的取值范围为_二、解答题(共42分)9(12分)(2011·徐州模拟)设函数f(x)kx33x21(k0)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)的极小值大于0，求k的取值范围10(14分)(2010·湖北)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x) (0x10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值11(16分)设函数f(x)ln x，g(x)ax，函数f(x)的图象与x轴的交点也在函数g(x)的图象上，且在此点有公共切线(1)求a、b的值；(2)对任意x>0，试比较f(x)与g(x)的大小答案 自我检测10<a<12.3.24.5.6课堂活动区例1解题导引求函数在闭区间上的最值，首先应判断函数在闭区间上的单调性，一般方法是令f(x)0，求出x值后，再判断函数在各区间上的单调性，在这里一般要用到分类讨论的思想，讨论的标准通常是极值点与区间端点的大小关系，确定单调性或具体情况解f(x)x2eax (a>0)，f(x)2xeaxx2·(a)eaxeax(ax22x)令f(x)>0，即eax(ax22x)>0，得0<x<.f(x)在(，0)，上是减函数，在上是增函数当0<<1，即a>2时，f(x)在1,2上是减函数，f(x)maxf(1)ea.当12，即1a2时，f(x)在上是增函数，在上是减函数，f(x)maxf4a2e2.当>2，即0<a<1时，f(x)在1,2上是增函数，f(x)maxf(2)4e2a.综上所述，当0<a<1时，f(x)的最大值为4e2a；当1a2时，f(x)的最大值为4a2e2；当a>2时，f(x)的最大值为ea.变式迁移1解(1)函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)a·(a>0)，由f(x)a·>0，得0<x<e；由f(x)<0，得x>e.故f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，)上单调递减(2)f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，)上单调递减，f(x)在a,2a上的最小值f(x)minminf(a)，f(2a)f(a)f(2a)ln，当0<a2时，f(x)minln a；当a>2时，f(x)min.例2解题导引利用导数解决不等式问题的主要方法就是构造函数，通过研究函数的性质进而解决不等式问题(1)解f(x)x(x>0)，若a0时，f(x)>0恒成立，函数f(x)的单调增区间为(0，)若a>0时，令f(x)>0，得x>，函数f(x)的单调增区间为(，)，减区间为(0，)(2)证明设F(x)x3(x2ln x)，故F(x)2x2x.F(x).x>1，F(x)>0.F(x)在(1，)上为增函数又F(x)在(1，)上连续，F(1)>0，F(x)>在(1，)上恒成立F(x)>0.当x>1时，x2ln x<x3.变式迁移2(1)解由f(x)ex2x2a，xR，知f(x)ex2，xR.令f(x)0，得xln 2.于是当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，ln 2)ln 2(ln 2，)f(x)0f(x)极小值故f(x)的单调递减区间是(，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，)，f(x)在xln 2处取得极小值，极小值为f(ln 2)eln 22ln 22a2(1ln 2a)(2)证明设g(x)exx22ax1，xR.于是g(x)ex2x2a，xR.由(1)知当a>ln 21时，g(x)最小值为g(ln 2)2(1ln 2a)>0.于是对任意xR，都有g(x)>0，所以g(x)在R内单调递增，于是当a>ln 21时，对任意x(0，)，都有g(x)>g(0)而g(0)0，从而对任意x(0，)，都有g(x)>0，即exx22ax1>0，故ex>x22ax1.例3解(1)分公司一年的利润L(万元)与售价x的函数关系式为L(x3a)(12x)2，x9,11(2)L(x)(12x)22(x3a)(12x)(12x)(182a3x)令L0，得x6a或x12(不合题意，舍去)3a5，86a.在x6a两侧L的值由正变负当86a<9，即3a<时，LmaxL(9)(93a)(129)29(6a)当96a，即a5时，LmaxL(6a)(6a3a)12(6a)24(3a)3.所以Q(a)综上，若3a<，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q(a)9(6a)(万元)；若a5，则当每件售价为(6a)元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q(a)4(3a)3(万元)变式迁移3解(1)因为赔付价格为S元/吨，所以乙方的实际年利润为2 000St.由S，令0，得tt0()2.当t<t0时，>0；当t>t0时，<0.所以当tt0时，取得最大值因此乙方获得最大利润的年产量为()2吨(2)设甲方净收入为v元，则vSt0.002t2.将t()2代入上式，得到甲方净收入v与赔付价格S之间的函数关系式：v.又v，令v0，得S20.当S<20时，v>0；当S>20时，v<0，所以S20时，v取得最大值因此甲方向乙方要求赔付价格S20元/吨时，可获得最大净收入课后练习区112.53.c<a<b4t5解析f(x)在(1,1)上是增函数，f(x)3x22xt，在(1,1)上f(x)0，即3x22xt0，t3x22x.设函数g(x)3x22x，由于g(x)的图象是对称轴为x，开口向上的抛物线，故g(x)<g(1)，故要使t3x22x在区间(1,1)上恒成立tg(1)，即t5.故t的取值范围是t5.5a>b解析f(x)，令g(x)xcos xsin x，则g(x)xsin xcos xcos xxsin x，0<x<1，g(x)<0，即函数g(x)在(0,1)上是减函数，得g(x)<g(0)0，故f(x)<0，函数f(x)在(0,1)上是减函数，得a>b.6.d解析如图所示，为圆木的横截面，由b2h2d2，bh2b(d2b2)设f(b)b(d2b2)，f(b)3b2d2.令f(b)0，由b>0，bd，且在(0，d)上f(b)>0，在d，d上f(b)<0.函数f(b)在bd处取极大值，也是最大值，即抗弯强度最大，此时长hd.7300解析设长为x m，则宽为(20x)m，仓库的容积为V，则Vx(20x)·33x260x，V6x60，令V0得x10.当0<x<10时，V>0；当x>10时，V<0，x10时，V最大300 (m3)8(1,0解析f(x)0，解得1x1.由已知得(m,2m1)1,1，即，解得1<m0.9解(1)当k0时，f(x)3x21，f(x)的单调递增区间为(，0)，单调递减区间为(0，)当k>0时，f(x)3kx26x3kx(x)f(x)的单调增区间为(，0)，(，)，单调减区间为(0，)(6分)(2)当k0时，函数f(x)不存在极小值当k>0时，依题意f()1>0，即k2>4，由条件k>0，k的取值范围为(2，)(12分)10解(1)设隔热层厚度为x cm，由题设，每年能源消耗费用为C(x)，(2分)再由C(0)8，得k40，因此C(x)，(4分)而建造费用为C1(x)6x.(6分)最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)20C(x)C1(x)20×6x6x (0x10)(8分)(2)f(x)6，令f(x)0，即6，解得x5，x(舍去)(10分)当0<x<5时，f(x)<0，当5<x<10时，f(x)>0，(12分)故x5是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)6×570.当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值70万元(14分)11解(1)f(x)ln x的图象与x轴的交点坐标是(1,0)，依题意，得g(1)ab0.(2分)又f(x)，g(x)a，且f(x)与g(x)在点(1,0)处有公共切线，g(1)f(1)1，即ab1.(4分)由得a，b.(6分)(2)令F(x)f(x)g(x)，则F(x)ln x(x)ln xx，F(x)(8分)(1)20.F(x)在(0，)上为减函数(10分)当0<x<1时，F(x)>F(1)0，即f(x)>g(x)；(12分)当x1时，F(1)0，即f(x)g(x)；(14分)当x>1时，F(x)<F(1)0，即f(x)<g(x)综上，0<x<1时，f(x)>g(x)；x1时，f(x)g(x)；x>1时f(x)<g(x)(16分)
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