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精品资料学案31数列的综合应用导学目标： 1.通过构造等差、等比数列模型，运用数列的公式、性质解决简单的实际问题.2.对数列与其他知识综合性的考查也高于考试说明的要求，另外还要注重数列在生产、生活中的应用自主梳理1数列的综合应用数列的综合应用一是指综合运用数列的各种知识和方法求解问题，二是数列与其他数学内容相联系的综合问题解决此类问题应注意数学思想及方法的运用与体会(1)数列是一种特殊的函数，解数列题要注意运用方程与函数的思想与方法(2)转化与化归思想是解数列有关问题的基本思想方法，复杂的数列问题经常转化为等差、等比数列或常见的特殊数列问题(3)由特殊到一般及由一般到特殊的思想是解决数列问题的重要思想已知数列的前若干项求通项，由有限的特殊事例推测出一般性的结论，都是利用此法实现的(4)分类讨论思想在数列问题中常会遇到，如等比数列中，经常要对公比进行讨论；由Sn求an时，要对_进行分类讨论2数列的实际应用数列的应用问题是中学数学教学与研究的一个重要内容，解答应用问题的核心是建立数学模型(1)建立数学模型时，应明确是等差数列模型、等比数列模型，还是递推数列模型，是求an还是求Sn.(2)分期付款中的有关规定在分期付款中，每月的利息均按复利计算；在分期付款中规定每期所付款额相同；在分期付款时，商品售价和每期所付款额在贷款全部付清前会随时间的推移而不断增值；各期付款连同在最后一次付款时所生的利息之和，等于商品售价及从购买时到最后一次付款的利息之和自我检测1(原创题)若Sn是等差数列an的前n项和，且S8S310，则S11的值为_2在等比数列an中，an>an1，且a7·a116，a4a145，则_.3“嫦娥奔月，举国欢庆”，据科学计算，运载“神六”的“长征二号”系列火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2 km，以后每秒钟通过的路程都增加2 km，在达到离地面240 km的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间大约是_秒4已知数列an的通项为an，则数列an的最大项为第_项5(2010·南京模拟)设数列an，bn都是正项等比数列，Sn，Tn分别为数列lg an与lg bn的前n项和，且，则logb5a5_.探究点一等差、等比数列的综合问题例1设an是公比大于1的等比数列，Sn为数列an的前n项和已知S37，且a13,3a2，a34构成等差数列(1)求数列an的通项；(2)令bnln a3n1，n1,2，求数列bn的前n项和Tn.变式迁移1假设a1，a2，a3，a4是一个等差数列，且满足0<a1<2，a34.若bn2an (n1,2,3,4)给出以下命题：(1)数列bn是等比数列；(2)b2>4；(3)b4>32；(4)b2b4256.其中正确命题的个数为_探究点二数列与方程、函数、不等式的综合问题例2已知函数f(x)，数列an满足a11，an1f，nN*，(1)求数列an的通项公式；(2)令Tna1a2a2a3a3a4a4a5a2na2n1，求Tn；(3)令bn (n2)，b13，Snb1b2bn，若Sn<对一切nN*成立，求最小正整数m.变式迁移2已知单调递增的等比数列an满足：a2a3a428，且a32是a2，a4的等差中项(1)求数列an的通项公式；(2)若bnanan，Snb1b2bn，对任意正整数n，Sn(nm)an1<0恒成立，试求m的取值范围探究点三数列在实际问题中的应用例3(2010·福州模拟)有一个下岗职工，1月份向银行贷款10 000元，作为启动资金开店，每月月底获得的利润是该月月初投入资金的20%，每月月底需缴纳所得税为该月月利润的10%，每月的生活费为300元，余款作为资金全部投入下个月的经营，如此继续，问到这年年底这个职工有多少资金？若贷款年利息为25%，问这个职工还清银行贷款后纯收入多少元？变式迁移3假设某市2011年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米那么，到哪一年底，(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2011年为累计的第一年)将首次不少于4 750万平方米？(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？(参考数据：1.0841.36,1.0851.47,1.0861.59)1数列实际应用问题：(1)数学应用问题已成为中学数学教学与研究的一个重要内容，解答数学应用问题的核心是建立数学模型，有关平均增长率、利率(复利)以及等值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型(2)在试题中常用的数学模型有构造等差、等比数列的模型，然后再去应用数列的通项公式求解；通过归纳得到结论，用数列知识求解2解决数列综合问题应体会以下思想及方法：(1)数列与函数方程相结合时主要考查函数的思想及函数的性质(多为单调性)(2)数列与不等式结合时需注意放缩(3)数列与解析几何结合时要注意递推思想(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1(2010·湖北)已知等比数列中，各项都是正数，且a1，a3,2a2成等差数列，则的值为_2(2010·徐州模拟)数列an是各项均为正数的等比数列，bn是等差数列，且a6b7，则下列关系正确的是_(填序号)a3a9b4b10；a3a9b4b10；a3a9b4b10；a3a9与b4b10的大小不确定3有限数列A：a1，a2，an，Sn为其前n项和，定义为A的“凯森和”，若有99项的数列a1，a2，a99的“凯森和”为1 000，则有100项的数列1，a1，a2，a99的“凯森和”为_4有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟末能在杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要_秒5(2011·苏州模拟)已知数列an，bn满足a11，且an，an1是函数f(x)x2bnx2n的两个零点，则b10_.6若数列an的通项公式an52n24n1，数列an的最大项为第x项，最小项为第y项，则xy_.7(2010·江苏)函数yx2(x>0)的图象在点(ak，a)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak1，其中kN*，a116，则a1a3a5_.8把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表设aij (i，jN*)是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数，如a428.若aij2 009，则i与j的和为_124357681012911131517141618202224二、解答题(共42分)9(14分)已知点(1，)是函数f(x)ax(a>0，且a1)的图象上一点，等比数列an的前n项和为f(n)c，数列bn(bn>0)的首项为c，且前n项和Sn满足SnSn1(n2)(1)求数列an和bn的通项公式；(2)若数列的前n项和为Tn，问满足Tn>的最小正整数n是多少？10(14分)沿海地区甲公司响应国家开发西部的号召，对西部地区乙企业进行扶持性技术改造乙企业的经营现状是：每月收入为45万元，但因设备老化，从下月开始需付设备维修费，第一个月为3万元，以后每月递增2万元甲公司决定投资400万元扶持改造乙企业据预测，改造后乙企业第一个月收入为16万元，在以后的4个月中，每月收入都比上个月增长50%，而后每个月收入都稳定在第5个月的水平上若设备改造时间可忽略不计，那么从下个月开始至少经过多少个月，改造后的乙企业的累计总收益多于仍按现状生产所带来的总收益？11(14分)(2010·广东执信中学模拟)已知函数f(x)满足f(xy)f(x)·f(y)且f(1).(1)当nN*时，求f(n)的表达式；(2)设ann·f(n)，nN*，求证：a1a2a3an<2；(3)设bn(9n)，nN*，Sn为bn的前n项和，当Sn最大时，求n的值答案 自主梳理1(4)n1或n2自我检测1222.3.154.85.课堂活动区例1解题导引1.等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的重点，特别是等差、等比数列的通项公式、前n项和公式以及等差中项、等比中项问题是历年命题的热点2利用等比数列前n项和公式时注意公比q的取值同时对两种数列的性质，要熟悉它们的推导过程，利用好性质，可降低题目的思维难度，解题时有时还需利用条件联立方程求解解(1)由已知得，解得a22.设数列an的公比为q，由a22，可得a1，a32q.又S37，可知22q7，即2q25q20.解得q12，q2.由题意得q>1，q2，a11.故数列an的通项为an2n1.(2)由(1)得a3n123n，bnln a3n1ln 23n3nln 2.又bn1bn3ln 2，bn是等差数列，Tnb1b2bn·ln 2.故Tnln 2.变式迁移14解析设a1，a2，a3，a4的公差为d，则a12d4，又0<a1<2，所以1<d<2.易知数列bn是等比数列，故(1)正确；a2a3d(2,3)，所以b22a2>4，故(2)正确；a4a3d>5，所以b42a4>32，故(3)正确；又a2a42a38，所以b2b42a2a428256，故(4)正确例2解题导引这是一道数列、函数、不等式的综合题，利用函数关系式求通项an，观察Tn特点，求出Tn.由an再求bn从而求Sn，最后利用不等式知识求出m.解(1)an1fan，an是以为公差的等差数列又a11，ann.(2)Tna1a2a2a3a3a4a4a5a2na2n1a2(a1a3)a4(a3a5)a2n(a2n1a2n1)(a2a4a2n)·(2n23n)(3)当n2时，bn，又b13×，Snb1b2bn×，Sn<对一切nN*成立即<，又递增，且<.，即m2 010.最小正整数m2 010.变式迁移2解(1)设等比数列an的首项为a1，公比为q.依题意，有2(a32)a2a4，代入a2a3a428，得a38.a2a420.解之，得或又an单调递增，an2n.(2)bn2n·log2nn·2n，Sn1×22×223×23n×2n.2Sn1×222×233×24(n1)×2nn×2n1.，得Sn222232nn·2n1n·2n12n1n·2n12.由Sn(nm)an1<0，即2n1n·2n12n·2n1m·2n1<0对任意正整数n恒成立，m·2n1<22n1对任意正整数n，m<1恒成立1>1，m1，即m的取值范围是(，1例3解依题意，第1个月月余款为a110 000(120%)10 000×20%×10%30011 500，第2个月月底余款为a2a1(120%)a1×20%×10%300，依此类推下去，设第n个月月底的余款为an元，第n1个月月底的余款为an1元，则an1an(120%)an×20%×10%3001.18an300.下面构造一等比数列设1.18，则an1x1.18an1.18x，an11.18an0.18x.0.18x300.x，即1.18.数列an是一个等比数列，公比为1.18，首项a111 500.an×1.18n1，a12×1.1811，a12×1.181162 396.6(元)，即到年底该职工共有资金62 396.6元纯收入有a1210 000(125%)62 396.612 50049 896.6(元)变式迁移3解(1)设中低价房的面积形成的数列为an，由题意可知an是等差数列，其中a1250，d50，则an250(n1)·5050n200，Sn250n×5025n2225n，令25n2225n4 750，即n29n1900，而n是正整数，n10.到2020年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4 750万平方米(2)设新建住房面积形成数列bn，由题意可知bn是等比数列，其中b1400，q1.08，则bn400·(1.08)n1.由题意可知an>0.85bn，即50n200>400·(1.08)n1·0.85.当n5时，a5<0.85b5，当n6时，a6>0.85b6，满足上述不等式的最小正整数n为6.到2016年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.课后练习区1322.3.99147解析设至少需要n秒钟，则121222n1100，100，n7.564解析依题意有anan12n，所以an1an22n1，两式相除得2，所以a1，a3，a5，成等比数列，a2，a4，a6，也成等比数列，而a11，a22，所以a102×2432，a111×2532，又因为anan1bn，所以b10a10a1164.63解析该题是数列知识与函数知识的综合an5·2n24·n15·2，显然当n2时，an取得最小值，当n1时，an取得最大值，此时x1，y2，xy3.721解析y(x2)2x，则过点(ak，a)的切线斜率为2ak，则切线方程为ya2ak(xak)，令y0，得a2ak(xak)，xak，即ak1ak.故an是a116，q的等比数列，即an16×()n1，a1a3a5164121.8107解析由数表知，第一行1个奇数，第3行3个奇数，第5行5个奇数，第61行61个奇数，前61行用去13561961个奇数而2 009是第1 005个奇数，故应是第63行第44个数，即ij6344107.9解(1)f(1)a，f(x)x.(1分)a1f(1)cc，a2f(2)cf(1)c，a3f(3)cf(2)c；又数列an成等比数列，a1c，c1；(2分)公比q，an×n12×n，nN*；(3分)SnSn1(n>2)，(4分)又bn>0，>0，1.数列构成一个首项为1、公差为1的等差数列，1(n1)×1n，Snn2.(6分)当n2，bnSnSn1n2(n1)22n1；又当n1时，也适合上式，bn2n1，nN*.(8分)(2)Tn.(12分)由Tn>，得n>，满足Tn>的最小正整数为112.(14分)10解设乙企业仍按现状生产至第n个月所带来的总收益为An(万元)，技术改造后生产至第n个月所带来的总收益为Bn(万元)依题意得An45n35(2n1)43nn2，(5分)当n5时，Bn164(n5)40081n594，(10分)当n5时，BnAnn238n594，令n238n594>0，即(n19)2>955，解得n12，至少经过12个月，改造后的乙企业的累计总收益多于仍按现状生产所带来的总收益(14分)11(1)解令xn，y1，得到f(n1)f(n)·f(1)f(n)，(2分)f(n)是首项为，公比为的等比数列，即f(n)()n.(5分)(2)证明记Sna1a2a3an，ann·f(n)n·()n，(6分)Sn2×()23×()3n×()n，Sn()22×()33×()4(n1)×()nn×()n1，两式相减得Sn()2()nn×()n1，整理得Sn2()n1n()n<2.a1a2a3an<2.(9分)(3)解f(n)()n，而bn(9n)(9n).(11分)当n8时，bn>0；当n9时，bn0；当n>9时，bn<0，n8或9时，Sn取到最大值(14分)
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