资源描述
精品资料第3章导数及其应用学案13导数的概念及运算导学目标： 1.了解导数概念的实际背景，理解函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念了解曲线的切线的概念.2.能根据导数定义，求函数yC (C为常数)，yx，yx2，y，y的导数熟记基本初等函数的导数公式(c，xm (m为有理数)，sin x，cos x，ex，ax，ln x，logax的导数)，能利用基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(仅限于形如f(axb)的导数自主梳理1函数f(x)在区间x1，x2上的平均变化率为_2函数yf(x)在xx0处的导数(1)定义设f(x)在区间(a，b)上有定义，x0(a，b)，若x无限趋近于0时，比值_无限趋近于一个常数A，则称f(x)在xx0处可导，并称常数A为函数f(x)在xx0处的导数，记作f(x0)(2)几何意义函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是过曲线yf(x)上点(x0，f(x0)的_(3)导数的物理意义：函数ss(t)在点t0处的导数s(t0)，是物体的运动方程ss(t)在t0时刻的瞬时速度v，即v_；vv(t)在点t0处的导数v(t0)，是物体的运动方程vv(t)在t0时刻的瞬时加速度a，即a_.3函数f(x)的导函数如果函数yf(x)在开区间(a，b)内任一点都是可导的，就说f(x)在开区间(a，b)内可导，其导数也是开区间(a，b)内的函数，又称作f(x)的导函数，记作y或f(x)4基本初等函数的导数公式表原函数导函数f(x)C(C为常数)f(x)_f(x)x (为常数)f(x)_ (为常数)f(x)sin xf(x)_f(x)cos xf(x)_f(x)ax (a>0，a1)f(x)_(a>0，a1)f(x)exf(x)_f(x)logax(a>0，a1，且x>0)f(x)_f(x)ln xf(x)_5.导数运算法则(1)f(x)±g(x)_；(2)f(x)g(x)_；(3)_ g(x)06复合函数的求导法则：若yf(u)，uaxb，则yxyu·ux，即yxyu·a.自我检测1(2011·中山期末统一考试)已知物体的运动方程为st2(t是时间，s是位移)，则物体在时刻t2时的速度为_2设yx2·ex，则y_.3已知函数yf(x)的图象在点M(1，f(1)处的切线方程是yx2，则f(1)f(1)_.4(2010·临汾二模)若函数f(x)exaex的导函数是奇函数，并且曲线yf(x)的一条切线的斜率是，则切点的横坐标是_5(2009·湖北)已知函数f(x)f()cos xsin x，则f()_.探究点一利用导数的定义求函数的导数例1利用导数的定义求函数的导数：(1)f(x)在x1处的导数；(2)f(x).变式迁移1求函数y在x0到x0x之间的平均变化率，并求出其导函数探究点二导数的运算例2求下列函数的导数：(1)y(1)；(2)y；(3)yxex；(4)ytan x.变式迁移2求下列函数的导数：(1)yx2sin x；(2)y3xex2xe；(3)y.探究点三求复合函数的导数例3求下列函数的导数：(1)y(2x3)5；(2)y；(3)yln(2x5)变式迁移3求下列函数的导数：(1)y；(2)ysin；(3)yx.探究点四导数的几何意义例4已知曲线yx3.(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程；(3)求满足斜率为1的曲线的切线方程变式迁移4求曲线f(x)x33x22x过原点的切线方程1准确理解曲线的切线，需注意的两个方面：(1)直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征，若直线与曲线只有一个公共点，则直线不一定是曲线的切线，同样，若直线是曲线的切线，则直线也可能与曲线有两个或两个以上的公共点(2)曲线未必在其切线的“同侧”，如曲线yx3在其过(0,0)点的切线y0的两侧2曲线的切线的求法：若已知曲线过点P(x0，y0)，求曲线过点P的切线则需分点P(x0，y0)是切点和不是切点两种情况求解(1)点P(x0，y0)是切点的切线方程为yy0f(x0)(xx0)(2)当点P(x0，y0)不是切点时可分以下几步完成：第一步：设出切点坐标P(x1，f(x1)；第二步：写出过P(x1，f(x1)的切线方程为yf(x1)f(x1)(xx1)；第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程求出x1；第四步：将x1的值代入方程yf(x1)f(x1)(xx1)可得过点P(x0，y0)的切线方程3求函数的导数要准确地把函数分割为基本初等函数的和、差、积、商及其复合运算，再利用运算法则求导数在求导过程中，要仔细分析函数解析式的结构特征，紧扣法则，联系基本初等函数求导公式，对于不具备求导法则结构形式的要适当变形(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1(2010·南通模拟)已知函数f(x)x3x26x，当x0时，常数A，则A_.2一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为st3t22t，那么速度为零的时刻是_3若曲线yx4的一条切线l与直线x4y80垂直，则l的方程为_4(2010·辽宁改编)已知点P在曲线y上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是_5(2009·福建)若曲线f(x)ax2ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是_6(2009·安徽改编)设函数f(x)x3x2tan，其中，则导数f(1)的取值范围为_7已知函数yf(x)，yg(x)的导函数的图象如图所示，那么yf(x)，yg(x)的图象可能是_(填上正确的序号)8(2011·南京模拟)若点P是曲线f(x)x2ln x上任意一点，则点P到直线yx2的最小距离为_二、解答题(共42分)9(12分)求下列函数在xx0处的导数(1)f(x)，x02；(2)f(x)，x01.10(14分)求经过点P(2,0)的曲线y的切线方程11(16分)设函数f(x)ax (a，bZ)，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为y3.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：函数yf(x)的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心；(3)证明：曲线yf(x)上任一点的切线与直线x1和直线yx所围三角形的面积为定值，并求出此定值答案 自主梳理1.2.(1)(2)切线的斜率(3)s(t0)v(t0)4.0x1cos xsin xaxln aex5.(1)f(x)±g(x)(2)f(x)g(x)f(x)g(x)(3)自我检测1.2.(2xx2)ex3.34.ln 25.1课堂活动区例1解题导引(1)用导数定义求函数导数必须把分式中的分母x这一因式约掉才可能求出极限，所以目标就是分子中出现x，从而分子分母相约分(2)第(1)小题中用到的技巧是“分子有理化”“有理化”是处理根式问题常用的方法，有时用“分母有理化”，有时用“分子有理化”(3)用导数的定义求导的步骤为：求函数的增量y；求平均变化率；化简取极限解(1)，从而，当x0时，f(1).(2)，从而，当x0时，f(x).变式迁移1解y，.x0时，.y.例2解题导引求函数的导数要准确地把函数分割为基本函数的和、差、积、商及其复合运算，再利用运算法则求导数在求导过程中，要仔细分析函数解析式的结构特征，紧扣求导法则，联系基本函数求导公式对于不具备求导法则结构形式的要适当恒等变形解(1)y(1)，y(x)(x)xx.(2)y.(3)yxexx(ex)exxexex(x1)(4)y.变式迁移2解(1)y(x2)sin xx2(sin x)2xsin xx2cos x.(2)y(3xex)(2x)(e)(3x)ex3x(ex)(2x)3xln 3·ex3xex2xln 2(ln 31)(3e)x2xln 2.(3)y.例3解题导引(1)求复合函数导数的思路流程为：(2)由复合函数的定义可知，中间变量的选择应是基本函数的结构，解这类问题的关键是正确分析函数的复合层次，一般是从最外层开始，由外向内，一层一层地分析，把复合函数分解成若干个常见的基本函数，逐步确定复合过程解(1)设u2x3，则y(2x3)5由yu5与u2x3复合而成yyu·ux5u4·210u410(2x3)4.(2)设u3x，则y由yu与u3x复合而成yyu·uxu(1)u.(3)设u2x5，则yln(2x5)由yln u与u2x5复合而成yyu·ux·2.变式迁移3解(1)设u13x，yu4.则yyu·ux4u5·(3).(2)设u2x，则ysin u，yyu·uxcos u·22cos(2x)(3)y(x)x·x().例4解题导引(1)求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异；过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点(2)求函数对应曲线在某一点处的切线的斜率，只要求函数在该点处的导数即可(3)解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标来解决解(1)yx2，在点P(2,4)处的切线的斜率k4.曲线在点P(2,4)处的切线方程为y44(x2)，即4xy40.(2)设曲线yx3与过点P(2,4)的切线相切于点A，则切线的斜率kx.切线方程为yx(xx0)，即yxxx.点P(2,4)在切线上，42xx，即x3x40，xx4x40，x(x01)4(x01)(x01)0，(x01)(x02)20，解得x01或x02，故所求切线方程为4xy40或xy20.(3)设切点为(x0，y0)，则切线的斜率为kx1，解得x0±1，故切点为，(1,1)故所求切线方程为yx1和y1x1，即3x3y20和xy20.变式迁移4解f(x)3x26x2.设切线的斜率为k.(1)当切点是原点时kf(0)2，所以所求曲线的切线方程为y2x.(2)当切点不是原点时，设切点是(x0，y0)，则有y0x3x2x0，kf(x0)3x6x02，又kx3x02，由得x0，k.所求曲线的切线方程为yx.综上，曲线f(x)x33x22x过原点的切线方程为y2x或yx.课后练习区132.1秒或2秒末3.4xy304.5a<0解析由题意可知该函数的定义域为x|x>0，且f(x)2ax.因为曲线存在垂直于y轴的切线，故此时斜率为0，问题转化为x>0范围内导函数f(x)2ax存在零点令2ax0，即2ax210，即x2，显然只有a<0，方程2ax210才有正实数根，故实数a的取值范围是a<0.6，2解析f(x)sin ·x2cos ·x，f(1)sin cos 2sin，又.，sin1，f(1)2.7解析由导函数yf(x)的图象可知yf(x)在(0，)上单调递减，说明函数yf(x)的图象上任意一点切线的斜率为单调递减，故可排除、.又由图象知yf(x)与yg(x)在点xx0处相交，说明yf(x)与yg(x)的图象在xx0处的切线斜率相同，故可排除.8.解析过点P作yx2的平行直线，且与曲线f(x)x2ln x相切设P(x0，xln x0)，则有kf(x0)2x0.2x01，x01或x0(舍去)，P点坐标为(1,1)，d，即最小距离为.9解(1)f(x)，f(2)0.(6分)(2)f(x)(x)x(ln x)x1，f(1).(12分)10解设切点为M(x0，y0)(x00)，则y0.切线过P(2,0)，切线斜率为.(4分)又y()，k.(6分)由导数的几何意义知.解得x01.(10分)y01，M(1,1)切线斜率为k1，故切线方程为y1(x1)，即xy20.(14分)11(1)解f(x)a，(2分)于是解得或因为a，bZ，故f(x)x.(6分)(2)证明已知函数y1x，y2都是奇函数，所以函数g(x)x也是奇函数，其图象是以原点为中心的中心对称图形而f(x)x11.可知，函数g(x)的图象按向量a(1,1)平移，即得到函数f(x)的图象，故函数f(x)的图象是以点(1,1)为中心的中心对称图形(10分)(3)证明在曲线上任取一点，由f(x0)1知，过此点的切线方程为y(xx0)(12分)令x1，得y，切线与直线x1的交点为；令yx，得y2x01，切线与直线yx的交点为(2x01,2x01)；直线x1与直线yx的交点为(1,1)，从而所围三角形的面积为|2x011|2x02|2.所以，所围三角形的面积为定值2.(16分)
展开阅读全文