高考数学理一轮资源库第一章 第2讲 命题及其关系、充要条件

精品资料 第 2 讲 命题及其关系、充要条件 一、填空题 1在平面直角坐标系 xOy 中，直线 x(m1)y2m 与直线 mx2y8 互相垂直的充要条件是 m_. 解析 x(m1)y2m 与 mx2y8 垂直1 m(m1) 20m23. 答案 23 2对于定义在 R 上的函数 f(x)，给出三个命题： 若 f(2)f(2)，则 f(x)为偶函数；若 f(2)f(2)，则 f(x)不是偶函数；若 f(2)f(2)，则 f(x)一定不是奇函数其中正确命题的序号为_ 解析 设 f(x)x(x24)，则 f(2)f(2)，但 f(x)是奇函数；正确；设f(x)0(xR)，则 f(2)f(2)0，f(x)是奇函数所以正确 答案 3下列命题是假命题的是_(填序号) 命题“若 x1，则 x23x20”的逆否命题是“若 x23x20，则 x1”； 若 0 x2，且 xsin x1，则 xsin2x2”是“3x110”的充分不必要条件 解析 正确；由 0 x2，得 0sin x1，又 xsin x1，则 xsin2xsin x1，正确；射影可能是点，不正确；由3x110，得 x1 或 x2，所以正确 答案 4 “a3”是“直线 ax3y0 与直线 2x2y3 平行”的_条件 解析 本题考查了充分、必要条件的判断及两直线平行的充要条件解决本题的关键是牢记两直线平行的充要条件直线 ax3y0 与直线 2x2y3平行的充要条件是a23203，解得 a3. 答案 充要条件 5有下面四个判断： 命题“设 a、bR，若 ab6，则 a3 或 b3”是一个假命题； 若“p 或 q”为真命题，则 p、q 均为真命题； 命题“a、 bR， a2b22(ab1)”的否定是“a、 bR， a2b22(ab1)”； 若函数 f(x)lna2x1的图象关于原点对称，则 a3. 其中正确的有_个 解析 对于：此命题的逆否命题为“设 a、bR，若 a3 且 b3，则 ab6”，此命题为真命题，所以原命题也是真命题，错误；“p 或 q”为真，则 p、q 至少有一个为真命题，错误；“a、bR，a2b22(ab1)”的否定是“a、bR，a2b22(ab1)”，错误；对于：若 f(x)的图象关于原点对称，则 f(x)为奇函数，则 f(0)ln(a2)0，解得 a1，错误 答案 0 6给出下列命题： p：函数 f(x)sin4xcos4x 的最小正周期是 ； q：xR，使得 log2(x1)0； r：已知向量 a(，1)，b(1，2)，c(1,1)，则(ab)c 的充要条件是 1. 其中所有的真命题是_ 解析 本题考查简易逻辑中的相关知识对于 p：f(x)sin4xcos4x(sin2xcos2x) (sin2xcos2x)cos 2x， 最小正周期 T， 故 p 为真命题； 对于 q：因为 log2(x1)的范围是 R， 所以xR， 使得 log2(x1)0 和 a2x2b2xc20 的解集分别为 P、 Q， 则a1a2b1b2c1c2是 PQ 的充分必要条件 其中正确的命题是_ 解析 ABC 中，由 a2b2c2abacbc，得(ab)2(ac)2(bc)20，则 abc；若ABC 是等边三角形，则 abc，故 abacbca2b2c2，故正确SnAn2Bn 是数列an为等差数列的充要条件，故错显然正确对于，由于两不等式的系数不确定，由a1a2b1b2c1c2不能推出 PQ；反之 PQ 时，若 PQ，则不一定有a1a2b1b2c1c2，故a1a2b1b2c1c2是 PQ 的既不充分也不必要条件 答案 8关于 x 的方程 x2(2a1)xa220 至少有一个非负实根的充要条件的 a的取值范围是_ 解析 设方程的两根分别为 x1，x2，当有一个非负实根时，x1x2a220，即 2a 2； 当有两个非负实根时，（2a1）24（a22）0，x1x22a10，x1x2a2204a9，a12，a 2或a 2. 即 2a94.综上，得 2a94. 答案 2，94 9若三条抛物线 yx24ax4a3，yx2(a1)xa2，yx22ax2a 中至少有一条与 x 轴有公共点，则 a 的取值范围是_ 解析 假设这三条抛物线与 x 轴均无公共点，则 1（4a）24（4a3）0，2（a1）24a20，34a24（2a）0，解得32a1. 记 A32，1 ，则所求 a 的范围是 RA，321，) 答案 ，321，) 10使得关于 x 的方程 ax22x10 至少有一个负实根的充要条件的 a 的取值范围是_ 解析 当 a0 时，原方程变形为一元一次方程 2x10，有一个负实根，当a0时， 原方程为一元二次方程， 有实根的充要条件是44a0， 即a1， 设两根分别为 x1，x2，则 x1x22a，x1x21a， 当有一负实根时，a1，1a0a0， 有两个负实根时，a1，2a0，0a1.1a0综上所述，a1. 答案 (，1 二、解答题 11(1)是否存在实数 p，使“4xp0”的充分条件？如果存在，求出 p 的取值范围； (2)是否存在实数 p，使“4xp0”的必要条件？如果存在，求出 p 的取值范围 解：(1)当 x2 或 x0， 由 4xp0 得 xp4，故p41 时， “xp4”“x0” p4 时，“4xp0”的充分条件 (2)若“4xp0”的必要条件，则 x2x20 的解集是 4xp0 的解集的子集， 由题知不存在 故不存在实数 p， 使“4xp0”的必要条件 12已知函数 f(x)是(，)上的增函数，a，bR.若 ab0，则 f(a)f(b)f(a)f(b) 问：这个命题的逆命题是否成立，并给出证明 解 逆命题为“已知函数 f(x)是(，)上的增函数，a，bR，若 f(a)f(b)f(a)f(b)，则 ab0” 该命题是真命题，证明如下： 法一 (利用原命题的逆命题与否命题等价证明)： 若 ab0，则 ab，ba， 因为 f(x)是(，)上的增函数， 所以 f(a)f(b)，f(b)f(a)， 因此 f(a)f(b)f(a)f(b)， 因为原命题的逆命题与它的否命题等价，所以该命题正确 法二 (用反证法给出证明)： 假设 ab0，则 ab，ba， 因为 f(x)在(，)上的增函数， 所以 f(a)f(b)，f(b)f(a)， 因此 f(a)f(b)f(a)f(b)， 这与f(a)f(b)f(a)f(b)矛盾，该命题正确 13已知 p：|x3|2，q：(xm1)(xm1)0，若綈 p 是綈 q 的充分而不必要条件，求实数 m 的取值范围 解 由题意 p：2x32，1x5. 綈 p：x5. q：m1xm1，綈 q：xm1. 又綈 p 是綈 q 的充分而不必要条件， m11，m15.2m4. 14已知全集 UR，非空集合 Ax x2x3a10 ，Bx xa22xa0 . (1)当 a12时，求(UB)A； (2)命题 p：xA，命题 q：xB，若 q 是 p 的必要条件，求实数 a 的取值范围 解 (1)当 a12时， A x x2x520 x 2x52， B x x94x120 x 12x94， UBx x12或x94. (UB)Ax 94xa，Bx|ax2，即 a13时，Ax|2x3a1 p 是 q 的充分条件，AB. a23a1a22，即13a3 52. 当 3a12，即 a13时，A，不符合题意； 当 3a12，即 a13时，Ax|3a1x2， 由 AB 得 a3a1a222，12a13. 综上所述：a12，1313，3 52