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精品资料§9.1导数的概念及运算1 函数yf(x)从x1到x2的平均变化率函数yf(x)从x1到x2的平均变化率为，若xx2x1，yf(x2)f(x1)，则平均变化率可表示为.2 函数yf(x)在xx0处的导数(1)定义称函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率 为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或y|xx0，即f(x0) .(2)几何意义函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点(x0，f(x0)处的切线的斜率相应地，切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)3 函数f(x)的导函数称函数f(x) 为f(x)的导函数，导函数有时也记作y.4 基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)c (c为常数)f(x)_0_f(x)x (Q*)f(x)x1f(x)sin xf(x)cos_xf(x)cos xf(x)sin_xf(x)ax (a>0)f(x)axln_af(x)exf(x)exf(x)logax(a>0，且a1)f(x)f(x)ln xf(x)5 导数的运算法则(1)f(x)±g(x)f(x)±g(x)；(2)f(x)·g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3) (g(x)0)6 复合函数的导数复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yxyu·ux，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积1 判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“×”)(1)f(x0)与(f(x0)表示的意义相同(×)(2)求f(x0)时，可先求f(x0)再求f(x0)(×)(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点()(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线(×)(5)若f(x)a32axx2，则f(x)3a22x.(×)(6)函数y的导数是y.(×)2 (2013·江西)设函数f(x)在(0，)内可导，且f(ex)xex，则f(1)_.答案2解析设ext，则xln t(t>0)，f(t)ln ttf(t)1，f(1)2.3 已知曲线yx3在点(a，b)处的切线与直线x3y10垂直，则a的值是()A1 B±1 C1 D±3答案B解析由yx3知y3x2，切线斜率ky|xa3a2.又切线与直线x3y10垂直，3a2·()1，即a21，a±1，故选B.4 如图所示为函数yf(x)，yg(x)的导函数的图象，那么yf(x)，yg(x)的图象可能是()答案D解析由yf(x)的图象知yf(x)在(0，)上单调递减，说明函数yf(x)的切线的斜率在(0，)上也单调递减，故可排除A，C.又由图象知yf(x)与yg(x)的图象在xx0处相交，说明yf(x)与yg(x)的图象在xx0处的切线的斜率相同，故可排除B.故选D.5 曲线ye2x1在点(0,2)处的切线与直线y0和yx围成的三角形的面积为_答案解析y2e2x，曲线在点(0,2)处的切线斜率k2，切线方程为y2x2，该直线与直线y0和yx围成的三角形如图所示，其中直线y2x2与yx的交点为A(，)，所以三角形的面积S×1×.题型一利用定义求函数的导数例1利用导数的定义求函数f(x)x3在xx0处的导数，并求曲线f(x)x3在xx0处的切线与曲线f(x)x3的交点思维启迪掌握导数的定义，理解导数的几何意义是解决本题的关键解f(x0) (x2xx0x)3x.曲线f(x)x3在xx0处的切线方程为yx3x·(xx0)，即y3xx2x，由得(xx0)2(x2x0)0，解得xx0，x2x0.若x00，则交点坐标为(x0，x)，(2x0，8x)；若x00，则交点坐标为(0,0)思维升华求函数f(x)的导数步骤：(1)求函数值的增量yf(x2)f(x1)；(2)计算平均变化率；(3)计算导数f(x) .(1)函数yx在x，xx上的平均变化率_；该函数在x1处的导数是_(2)若函数yf(x)在区间(a，b)内可导，且x0(a，b)，则 的值为()Af(x0) B2f(x0)C2f(x0) D0答案(1)10(2)B解析(1)y(xx)xxx.1.y|x1 0.(2) 2× 2f(x0)题型二导数的运算例2求下列函数的导数：(1)yex·ln x；(2)yx；(3)ysin2.思维启迪求函数的导数，首先要搞清函数的结构；若式子能化简，可先化简再求导解(1)y(ex·ln x)exln xex·ex(ln x)(2)yx31，y3x2.(3)ysin2(2x)cos(4x)故设ycos uu4x，则yxyu·uxsin u·42sin u2sin(4x)思维升华(1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量；(3)复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量，确定复合过程，然后求导求下列函数的导数(1)y(x1)(x2)(x3)；(2)ysin (12cos2)；(3)yln(x21)解(1)方法一y(x23x2)(x3)x36x211x6，y3x212x11.方法二y(x1)(x2)(x3)(x1)(x2)(x3)(x1)(x2)(x1)(x2)(x3)(x1)(x2)(x2x1)(x3)(x1)(x2)(2x3)(x3)(x1)(x2)3x212x11.(2)ysin (cos )sin x，y(sin x)(sin x)cos x.(3)yln(x21)·(x21).题型三导数的几何意义例3已知函数f(x)x34x25x4.(1)求曲线f(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)求经过点A(2，2)的曲线f(x)的切线方程思维启迪由导数的几何意义先求斜率，再求方程，注意点是否在曲线上，是否为切点解(1)f(x)3x28x5，f(2)1，又f(2)2，曲线f(x)在点(2，f(2)处的切线方程为y(2)x2，即xy40.(2)设切点坐标为(x0，x4x5x04)，f(x0)3x8x05，切线方程为y(2)(3x8x05)(x2)，又切线过点(x0，x4x5x04)，x4x5x02(3x8x05)(x02)，整理得(x02)2(x01)0，解得x02或x01，经过A(2，2)的曲线f(x)的切线方程为xy40，或y20.思维升华导数几何意义的应用，需注意以下两点：(1)当曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线垂直于x轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是xx0；(2)注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线方程是yf(x0)f(x0)(xx0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解已知抛物线yax2bxc通过点P(1,1)，且在点Q(2，1)处与直线yx3相切，求实数a、b、c的值解y2axb，抛物线在点Q(2，1)处的切线斜率为ky|x24ab.4ab1.又点P(1,1)、Q(2，1)在抛物线上，abc1，4a2bc1.联立解方程组，得实数a、b、c的值分别为3、11、9.一审条件挖隐含典例：(14分)设函数yx22x2的图象为C1，函数yx2axb的图象为C2，已知过C1与C2的一个交点的两切线互相垂直(1)求a，b之间的关系；(2)求ab的最大值C1与C2有交点(可设C1与C2的交点为(x0，y0)过交点的两切线互相垂直(切线垂直隐含着斜率间的关系)两切线的斜率互为负倒数(导数的几何意义)利用导数求两切线的斜率：k12x02，k22x0a(等价转换)(2x02)(2x0a)1(交点(x0，y0)适合解析式)，即2x(a2)x02b0(注意隐含条件方程同解)ab(消元)aba2当a时，ab最大且最大值为.规范解答解(1)对于C1：yx22x2，有y2x2，1分对于C2：yx2axb，有y2xa，2分设C1与C2的一个交点为(x0，y0)，由题意知过交点(x0，y0)的两切线互相垂直(2x02)(2x0a)1，即4x2(a2)x02a10又点(x0，y0)在C1与C2上，故有2x(a2)x02b0由消去x0，可得ab.8分(2)由(1)知：ba，aba2.11分当a时，(ab)最大值.14分温馨提醒审题包括两方面内容：题目信息的挖掘、整合以及解题方法的选择；本题切入点是两条曲线有交点P(x0，y0)，交点处的切线互相垂直，通过审题路线可以清晰看到审题的思维过程.方法与技巧1 f(x0)代表函数f(x)在xx0处的导数值；(f(x0)是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常量，其导数一定为0，即(f(x0)0.2 对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误失误与防范1 利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆复合函数的导数要正确分解函数的结构，由外向内逐层求导2 求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者3 曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别.A组专项基础训练一、选择题1 设f(x)xln x，若f(x0)2，则x0的值为()Ae2 Be C. Dln 2答案B解析由f(x)xln x得f(x)ln x1.根据题意知ln x012，所以ln x01，因此x0e.2 若函数f(x)ax4bx2c满足f(1)2，则f(1)等于()A1 B2 C2 D0答案B解析f(x)4ax32bx，f(x)为奇函数且f(1)2，f(1)2.3 若曲线yx4的一条切线l与直线x4y80垂直，则l的方程为()A4xy30 Bx4y50C4xy30 Dx4y30答案A解析切线l的斜率k4，设yx4的切点的坐标为(x0，y0)，则k4x4，x01，切点为(1,1)，即y14(x1)，整理得l的方程为4xy30.4 曲线yx3在点(1,1)处的切线与x轴及直线x1所围成的三角形的面积为()A. B. C. D.答案B解析求导得y3x2，所以y3x2|x13，所以曲线yx3在点(1,1)处的切线方程为y13(x1)，结合图象易知所围成的三角形是直角三角形，三个交点的坐标分别是(，0)，(1,0)，(1,1)，于是三角形的面积为×(1)×1，故选B.5 已知f1(x)sin xcos x，fn1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)f1(x)，f3(x)f2(x)，fn1(x)fn(x)，nN*，则f2 015(x)等于()Asin xcos x Bsin xcos xCsin xcos x Dsin xcos x答案A解析f1(x)sin xcos x，f2(x)f1(x)cos xsin x，f3(x)f2(x)sin xcos x，f4(x)f3(x)cos xsin x，f5(x)f4(x)sin xcos x，fn(x)是以4为周期的函数，f2 015(x)f3(x)sin xcos x，故选A.二、填空题6 已知函数f(x)的导函数为f(x)，且满足f(x)3x22x·f(2)，则f(5)_.答案6解析对f(x)3x22xf(2)求导，得f(x)6x2f(2)令x2，得f(2)12.再令x5，得f(5)6×52f(2)6.7 已知函数yf(x)及其导函数yf(x)的图象如图所示，则曲线yf(x)在点P处的切线方程是_答案xy20解析根据导数的几何意义及图象可知，曲线yf(x)在点P处的切线的斜率kf(2)1，又过点P(2,0)，所以切线方程为xy20.8 若函数f(x)x2axln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是_答案2，)解析f(x)x2axln x，f(x)xa.f(x)存在垂直于y轴的切线，f(x)存在零点，xa0，ax2.三、解答题9 求下列函数的导数(1)yxnlg x；(2)y；(3)y.解(1)ynxn1lg xxn·xn1(nlg x)(2)y()()()(x1)(2x2)(x3)x24x33x4.(3)y().10已知曲线yx3.(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程解(1)P(2,4)在曲线yx3上，且yx2，在点P(2,4)处的切线的斜率为y|x24.曲线在点P(2,4)处的切线方程为y44(x2)，即4xy40.(2)设曲线yx3与过点P(2,4)的切线相切于点A，则切线的斜率为y|xx0x.切线方程为yx(xx0)，即yx·xx.点P(2,4)在切线上，42xx，即x3x40，xx4x40，x(x01)4(x01)(x01)0，(x01)(x02)20，解得x01或x02，故所求的切线方程为xy20或4xy40.B组专项能力提升1 在函数yx39x的图象上，满足在该点处的切线的倾斜角小于，且横、纵坐标都为整数的点的个数是()A0 B1 C2 D3答案A解析依题意得，y3x29，令0y<1得3x2<，显然满足该不等式的整数x不存在，因此在函数yx39x的图象上，满足在该点处的切线的倾斜角小于，且横、纵坐标都为整数的点的个数是0，选A.2 若函数f(x)x2bxc的图象的顶点在第四象限，则函数f(x)的大致图象是()答案A解析f(x)x2bxc2c，由f(x)的图象的顶点在第四象限得>0，b<0.又f(x)2xb，斜率为正，纵截距为负，故选A.3 已知曲线C：f(x)x3axa，若过曲线C外一点A(1,0)引曲线C的两条切线，它们的倾斜角互补，则a的值为_答案解析设切点坐标为(t，t3ata)由题意知，f(x)3x2a，切线的斜率为ky|xt3t2a，所以切线方程为y(t3ata)(3t2a)(xt)将点(1,0)代入式得，(t3ata)(3t2a)(1t)，解之得，t0或t.分别将t0和t代入式，得ka和ka，由题意得它们互为相反数得a.4 设函数f(x)ax，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为7x4y120.(1)求f(x)的解析式；(2)曲线f(x)上任一点处的切线与直线x0和直线yx所围成的三角形面积为定值，并求此定值解(1)方程7x4y120可化为yx3.当x2时，y.又f(x)a，于是解得故f(x)x.(2)设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y1知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为yy0(xx0)，即y(xx0)令x0，得y，从而得切线与直线x0的交点坐标为.令yx，得yx2x0，从而得切线与直线yx的交点坐标为(2x0,2x0)所以点P(x0，y0)处的切线与直线x0，yx所围成的三角形的面积为S|2x0|6.故曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0，yx所围成的三角形面积为定值，且此定值为6.5 设有抛物线C：yx2x4，过原点O作C的切线ykx，使切点P在第一象限(1)求k的值；(2)过点P作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q的坐标解(1)设点P的坐标为(x1，y1)，则y1kx1，y1xx14，代入得x(k)x140.P为切点，(k)2160得k或k.当k时，x12，y117.当k时，x12，y11.P在第一象限，所求的斜率k.(2)过P点作切线的垂线，其方程为y2x5.将代入抛物线方程得x2x90.设Q点的坐标为(x2，y2)，即2x29，x2，y24.Q点的坐标为(，4)
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