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精品资料§9.3导数的综合应用1 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式yf(x)；(2)求函数的导数f(x)，解方程f(x)0；(3)比较函数在区间端点和f(x)0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)回归实际问题作答2 不等式问题(1)证明不等式时，可构造函数，将问题转化为函数的极值或最值问题(2)求解不等式恒成立问题时，可以考虑将参数分离出来，将参数范围问题转化为研究新函数的值域问题1 判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“×”)(1)连续函数在闭区间上必有最值()(2)函数f(x)x23x2的极小值也是最小值()(3)函数f(x)x1和g(x)x1都是在x0时取得最小值1.(×)(4)函数f(x)x2ln x没有最值(×)(5)已知x(0，)，则sin x>x.(×)(6)若a>2，则方程x3ax210在(0,2)上没有实数根(×)2 (2013·福建)设函数f(x)的定义域为R，x0(x00)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是()AxR，f(x)f(x0)Bx0是f(x)的极小值点Cx0是f(x)的极小值点Dx0是f(x)的极小值点答案D解析A错，因为极大值未必是最大值B错，因为函数yf(x)与函数yf(x)的图象关于y轴对称，x0应是f(x)的极大值点C错，函数yf(x)与函数yf(x)的图象关于x轴对称，x0应为f(x)的极小值点D对，函数yf(x)与yf(x)的图象关于原点对称，x0应为yf(x)的极小值点3 设直线xt与函数f(x)x2，g(x)ln x的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为()A1 B. C. D.答案D解析|MN|的最小值，即函数h(x)x2ln x的最小值，h(x)2x，显然x是函数h(x)在其定义域内唯一的极小值点，也是最小值点，故t.4 若函数f(x)x33xa有3个不同的零点，则实数a的取值范围是_答案(2,2)解析由于函数f(x)是连续的，故只需要两个极值异号即可f(x)3x23，令3x230，得x±1，只需f(1)·f(1)<0，即(a2)(a2)<0，故a(2,2)5 若f(x)，0<a<b<e，则f(a)、f(b)的大小关系为_答案f(a)<f(b)解析f(x)，当x(0，e)时，>0，即f(x)>0，f(x)在(0，e)上为增函数，又0<a<b<e，f(a)<f(b)题型一利用导数证明不等式例1已知定义在正实数集上的函数f(x)x22ax，g(x)3a2ln xb，其中a>0.设两曲线yf(x)，yg(x)有公共点，且在该点处的切线相同(1)用a表示b，并求b的最大值；(2)求证：f(x)g(x)(x>0)思维启迪(1)设公共点为(x0，y0)，则f(x0)g(x0)且f(x0)g(x0)可得a，b的关系；(2)构造函数F(x)f(x)g(x)，求F(x)的最值(1)解设两曲线的公共点为(x0，y0)，f(x)x2a，g(x)，由题意知f(x0)g(x0)，f(x0)g(x0)，即由x02a，得x0a或x03a(舍去)即有ba22a23a2ln aa23a2ln a.令h(t)t23t2ln t(t>0)，则h(t)2t(13ln t)于是当t(13ln t)>0，即0<t<e时，h(t)>0；当t(13ln t)<0，即t>e时，h(t)<0.故h(t)在(0，e)上为增函数，在(e，)上为减函数，于是h(t)在(0，)上的最大值为h(e)e，即b的最大值为e.(2)证明设F(x)f(x)g(x)x22ax3a2ln xb(x>0)，则F(x)x2a(x>0)故F(x)在(0，a)上为减函数，在(a，)上为增函数于是F(x)在(0，)上的最小值是F(a)F(x0)f(x0)g(x0)0.故当x>0时，有f(x)g(x)0，即当x>0时，f(x)g(x)思维升华利用导数证明不等式的步骤(1)构造新函数，并求其单调区间；(2)判断区间端点函数值与0的关系；(3)判断定义域内函数值与0的大小关系，证不等式当0<x<时，求证：tan x>x.证明设f(x)tan x，则f(x)1x2tan2xx2(tan xx)(tan xx)因为0<x<，所以x<tan x(简单进行证明亦可)，所以f(x)>0，即x时，f(x)为增函数所以x时，f(x)>f(0)而f(0)0，所以f(x)>0，即tan x>0.故tan x>x.题型二利用导数求参数的取值范围例2已知函数f(x)(aR)，g(x).(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)若函数f(x)的图象与函数g(x)的图象在区间(0，e2上有公共点，求实数a的取值范围思维启迪(1)解f(x)0，根据函数值的变化得到单调区间、极值；(2)构造函数F(x)f(x)g(x)，通过F(x)的单调性和函数值的变化研究f(x)、g(x)的交点情况解(1)函数f(x)的定义域为(0，)，f(x).令f(x)0，得xe1a，当x(0，e1a)时，f(x)>0，f(x)是增函数；当x(e1a，)时，f(x)<0，f(x)是减函数所以函数f(x)的单调递增区间为(0，e1a，单调递减区间为e1a，)，极大值为f(x)极大值f(e1a)ea1，无极小值(2)令F(x)f(x)g(x)，则F(x).令F(x)0，得xe2a；令F(x)>0，得x<e2a；令F(x)<0，得x>e2a，故函数F(x)在区间(0，e2a上是增函数，在区间e2a，)上是减函数当e2a<e2，即a>0时，函数F(x)在区间(0，e2a上是增函数，在区间e2a，e2上是减函数，F(x)maxF(e2a)ea2.又F(e1a)0，F(e2)>0，由图象，易知当0<x<e1a时，F(x)<0；当e1a<xe2，F(x)>0，此时函数f(x)的图象与函数g(x)的图象在区间(0，e2上有1个公共点当e2ae2，即a0时，F(x)在区间(0，e2上是增函数，F(x)maxF(e2).若F(x)maxF(e2)0，即1a0时， 函数f(x)的图象与函数g(x)的图象在区间(0，e2上只有1个公共点；若F(x)maxF(e2)<0，即a<1时，函数f(x)的图象与函数g(x)的图象在区间(0，e2上没有公共点综上，满足条件的实数a的取值范围是1，)思维升华函数零点或函数图象交点问题的求解，一般利用导数研究函数的单调性、极值等性质，并借助函数图象，根据零点或图象的交点情况，建立含参数的方程(或不等式)组求解，实现形与数的和谐统一已知函数f(x)x33ax1，a0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在x1处取得极值，直线ym与yf(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围解(1)f(x)3x23a3(x2a)，当a<0时，对xR，有f(x)>0，当a<0时，f(x)的单调增区间为(，)当a>0时，由f(x)>0，解得x<或x>.由f(x)<0，解得<x<，当a>0时，f(x)的单调增区间为(，)，(，)，单调减区间为(，)(2)f(x)在x1处取得极值，f(1)3×(1)23a0，a1.f(x)x33x1，f(x)3x23，由f(x)0，解得x11，x21.由(1)中f(x)的单调性可知，f(x)在x1处取得极大值f(1)1，在x1处取得极小值f(1)3.直线ym与函数yf(x)的图象有三个不同的交点，结合如图所示f(x)的图象可知：实数m的取值范围是(3,1)题型三生活中的优化问题例3某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y10(x6)2，其中3<x<6，a为常数已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大思维启迪(1)由x5时y11求a；(2)建立商场每日销售该商品所获利润和售价x的函数关系，利用导数求最值解(1)因为x5时，y11，所以1011，a2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y10(x6)2.所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)(x3)10(x6)2210(x3)(x6)2,3<x<6.从而，f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6)于是，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(3,4)4(4,6)f(x)0f(x)单调递增极大值42单调递减由上表可得，x4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点所以，当x4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.答当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大思维升华在求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量、建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合用导数求解实际问题中的最大(小)值，如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元1 000万元的投资收益现准备制订一个对科研课题组的奖励方案：奖金y(万元)随投资收益x(万元)的增加而增加，且资金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%.(1)若建立函数f(x)模型制订奖励方案，试用数学语言表述公司对奖励函数f(x)模型的基本要求；(2)现有两个奖励函数模型：y2；y4lg x3.试分析这两个函数模型是否符合公司要求？解(1)设奖励函数模型为yf(x)，则公司对函数模型的基本要求是：当x10,1 000时，f(x)是增函数，f(x)9恒成立，f(x)恒成立(2)对于函数模型f(x)2，当x10,1 000时，f(x)是增函数，则f(x)maxf(1 000)2<9.所以f(x)9恒成立因为函数在10,1 000上是减函数，所以max>.从而不恒成立，即f(x)不恒成立故该函数模型不符合公司要求对于函数模型f(x)4lg x3，当x10,1 000时，f(x)是增函数，则f(x)maxf(1 000)4lg 1 00039.所以f(x)9恒成立设g(x)4lg x3，则g(x).当x10时，g(x)<0，所以g(x)在10,1 000上是减函数，从而g(x)g(10)1<0.所以4lg x3<0，即4lg x3<，所以f(x)恒成立故该函数模型符合公司要求二审结论会转换典例：(14分)已知函数f(x)x2aln x.(1)若a1，求函数f(x)的极值，并指出是极大值还是极小值；(2)若a1，求函数f(x)在1，e上的最大值和最小值；(3)若a1，求证：在区间1，)上，函数f(x)的图象在函数g(x)x3的图象的下方求f(x)的极值(从结论出发向条件转化，注意隐含条件定义域)求f(x)0的解，即f(x)的极值点(转化为求函数值)将极值点代入f(x)求对应的极大、极小值(转化为研究单调性)求f(x)在1，e上的单调性(转化为求函数值)比较端点值、极值，确定最大、最小值(构造函数进行转化)F(x)f(x)g(x)(将图象的上、下关系转化为数量关系)求证F(x)<0在1，)上恒成立研究函数F(x)在1，)上的单调性规范解答(1)解由于函数f(x)的定义域为(0，)，当a1时，f(x)x，1分令f(x)0得x1或x1(舍去)，2分当x(0,1)时，函数f(x)单调递减，3分当x(1，)时，函数f(x)单调递增，4分所以f(x)在x1处取得极小值为.5分(2)解当a1时，易知函数f(x)在1，e上为增函数，7分f(x)minf(1)，f(x)maxf(e)e21.9分(3)证明设F(x)f(x)g(x)x2ln xx3，则F(x)x2x2，11分当x>1时，F(x)<0，故f(x)在区间1，)上是减函数，又F(1)<0，在区间1，)上，F(x)<0恒成立即f(x)<g(x)恒成立13分因此，当a1时，在区间1，)上，函数f(x)的图象在函数g(x)图象的下方14分温馨提醒(1)导数法是求解函数单调性、极值、最值、参数等问题的有效方法，应用导数求单调区间关键是求解不等式的解集；最值问题关键在于比较极值与端点函数值的大小；参数问题涉及的有最值恒成立的问题、单调性的逆向应用等，求解时注意分类讨论思想的应用(2)对于一些复杂问题，要善于将问题转化，转化成能用熟知的导数研究问题方法与技巧1 利用导数解决含有参数的单调性问题是将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用2 在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较失误与防范1 函数f(x)在某个区间内单调递增，则f(x)0而不是f(x)>0 (f(x)0在有限个点处取到)2 利用导数解决实际生活中的优化问题，要注意问题的实际意义A组专项基础训练一、选择题1 在R上可导的函数f(x)的图象如图所示，则关于x的不等式x·f(x)<0的解集为()A(，1)(0,1)B(1,0)(1，)C(2，1)(1,2)D(，2)(2，)答案A解析由f(x)的图象知，当x<1或x>1时，f(x)>0；当1<x<1时，f(x)<0，x·f(x)<0的解集是(，1)(0,1)2 已知函数f(x)x2mxln x是单调递增函数，则m的取值范围是()Am>2 Bm2Cm<2 Dm2答案B解析依题意知，x>0，f(x)，令g(x)2x2mx1，x(0，)，当0时，g(0)1>0恒成立，m0成立，当>0时，则m280，2m<0，综上，m的取值范围是m2.3 已知函数f(x)x3ax2(a6)x1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是()A(1,2) B(，3)(6，)C(3,6) D(，1)(2，)答案B解析f(x)3x22ax(a6)，由已知可得f(x)0有两个不相等的实根4a24×3(a6)>0，即a23a18>0.a>6或a<3.4 若函数f(x) (a>0)在1，)上的最大值为，则a的值为()A. B. C.1 D.1答案D解析f(x)，当x>时，f(x)<0，f(x)单调递减，当<x<时，f(x)>0，f(x)单调递增，当x时，令f(x)，<1，不合题意f(x)maxf(1)，a1，故选D.5 某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总营业收入R与年产量x的年关系是RR(x)则总利润最大时，每年生产的产品是()A100 B150 C200 D300答案D解析由题意得，总成本函数为CC(x)20 000100x，总利润P(x)又P(x)令P(x)0，得x300，易知x300时，总利润P(x)最大二、填空题6 设函数f(x)kx33x1(xR)，若对于任意x1,1，都有f(x)0成立，则实数k的值为_答案4解析若x0，则不论k取何值，f(x)0都成立；当x>0，即x(0,1时，f(x)kx33x10可化为k.设g(x)，则g(x)，所以g(x)在区间(0，上单调递增，在区间，1上单调递减，因此g(x)maxg()4，从而k4；当x<0即x1,0)时，f(x)kx33x10可化为k，g(x)在区间1,0)上单调递增，因此g(x)ming(1)4，从而k4，综上k4.7 已知函数yx33xc的图象与x轴恰有两个公共点，则c_.答案2或2解析设f(x)x33xc，对f(x)求导可得，f(x)3x23，令f(x)0，可得x±1，易知f(x)在(，1)，(1，)上单调递增，在(1,1)上单调递减若f(1)13c0，可得c2；若f(1)13c0，可得c2.8 已知函数f(x)x3ax24在x2处取得极值，若m、n1,1，则f(m)f(n)的最小值是_答案13解析对函数f(x)求导得f(x)3x22ax，由函数f(x)在x2处取得极值知f(2)0，即3×42a×20，a3.由此可得f(x)x33x24，f(x)3x26x，易知f(x)在(1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，当m1,1时，f(m)minf(0)4.又f(x)3x26x的图象开口向下，且对称轴为x1，当n1,1时，f(n)minf(1)9.故f(m)f(n)的最小值为13.三、解答题9 设a为实数，函数f(x)ex2x2a，xR.(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当a>ln 21且x>0时，ex>x22ax1.(1)解由f(x)ex2x2a，xR知f(x)ex2，xR.令f(x)0，得xln 2.于是当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，ln 2)ln 2(ln 2，)f(x)0f(x)单调递减 2(1ln 2a)单调递增故f(x)的单调递减区间是(，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，)，f(x)在xln 2处取得极小值，极小值为f(ln 2)eln 22ln 22a2(1ln 2a)(2)证明设g(x)exx22ax1，xR，于是g(x)ex2x2a，xR.由(1)知当a>ln 21时，g(x)取最小值为g(ln 2)2(1ln 2a)>0.于是对任意xR，都有g(x)>0，所以g(x)在R内单调递增于是当a>ln 21时，对任意x(0，)，都有g(x)>g(0)而g(0)0，从而对任意x(0，)，都有g(x)>0.即exx22ax1>0，故ex>x22ax1.10统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数解析式可以表示为yx3x8(0<x120)已知甲、乙两地相距100千米(1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？解(1)当x40时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，共耗油×(×403×408)17.5(升)因此，当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油17.5升(2)当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为h(x)升，依题意得h(x)(x3x8)·x2(0<x120)，h(x)(0<x120)令h(x)0，得x80.当x(0,80)时，h(x)<0，h(x)是减函数；当x(80,120)时，h(x)>0，h(x)是增函数，当x80时，h(x)取得极小值h(80)11.25.易知h(80)是h(x)在(0,120上的最小值故当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，为11.25升B组专项能力提升1 已知yf(x)是奇函数，当x(0,2)时，f(x)ln xax(a>)，当x(2,0)时，f(x)的最小值为1，则a等于()A. B. C. D1答案D解析f(x)是奇函数，f(x)在(0,2)上的最大值为1.当x(0,2)时，f(x)a，令f(x)0得x，又a>，0<<2.当x<时，f(x)>0，f(x)在(0，)上单调递增；当x>时，f(x)<0，f(x)在(，2)上单调递减，f(x)maxf()ln a·1，解得a1.2 已知函数f(x)的定义域为R，其导函数f(x)的图象如图所示，则对于任意x1，x2R(x1x2)，下列结论正确的是()f(x)<0恒成立；(x1x2)·f(x1)f(x2)<0；(x1x2)·f(x1)f(x2)>0；f()>；f()<.A B C D答案D解析由函数f(x)的导函数的图象可得，函数f(x)是减函数，且随着自变量的增大，导函数越来越大，即函数f(x)图象上的点向右运动时，该点的切线的斜率为负，且值越来越大，由此可作出函数f(x)的草图如图所示，由图示可得<0且f()<，由此可得结论中仅正确，故应选D.3 已知f(x)xex，g(x)(x1)2a，若x1，x2R，使得f(x2)g(x1)成立，则实数a的取值范围是_答案，)解析f(x)exxexex(1x)当x>1时，f(x)>0，函数f(x)单调递增；当x<1时，f(x)<0，函数f(x)单调递减所以函数f(x)的最小值为f(1).而函数g(x)的最大值为a，则由题意，可得a即a.4 已知f(x)axln x，x(0，e，g(x)，其中e是自然常数，aR.(1)讨论a1时，函数f(x)的单调性和极值；(2)求证：在(1)的条件下，f(x)>g(x)；(3)是否存在正实数a，使f(x)的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由(1)解f(x)xln x，f(x)1，当0<x<1时，f(x)<0，此时f(x)单调递减；当1<xe时，f(x)>0时，此时f(x)单调递增f(x)的极小值为f(1)1.(2)证明f(x)的极小值为1，即f(x)在(0，e上的最小值为1，f(x)min1.又g(x)，当0<x<e时，g(x)>0，g(x)在(0，e上单调递增g(x)maxg(e)<，f(x)ming(x)max>，在(1)的条件下，f(x)>g(x).(3)解假设存在正实数a，使f(x)axln x(x(0，e)有最小值3，则f(x)a.当0<<e时，f(x)在(0，)上单调递减，在(，e上单调递增，f(x)minf()1ln a3，ae2，满足条件；当e时，f(x)在(0，e上单调递减，f(x)minf(e)ae13，a(舍去)，所以，此时f(x)无最小值综上，存在实数ae2，使得当x(0，e时f(x)有最小值3.5 已知函数f(x)2ln xaxa(aR)(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)0恒成立，证明：当0<x1<x2时，<2(1)解(1)f(x)，x>0.若a0，f(x)>0，f(x)在(0，)上单调递增；若a>0，当x(0，)时，f(x)>0，f(x)单调递增；当x(，)时，f(x)<0，f(x)单调递减(2)由(1)知，若a0，f(x)在(0，)上单调递增，又f(1)0，故f(x)0不恒成立若a>2，当x(，1)时，f(x)单调递减，f(x)>f(1)0，不合题意，若0<a<2，当x(1，)时，f(x)单调递增，f(x)>f(1)0，不合题意，若a2，f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，f(x)f(1)0符合题意故a2，且ln xx1(当且仅当x1时取“”)当0<x1<x2时，f(x2)f(x1)2ln2(x2x1)<2(1)2(x2x1)2(1)(x2x1)，所以<2(1)
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