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精品资料第7讲 直线与圆锥曲线的位置关系一、选择题1直线4kx4yk0与抛物线y2x交于A，B两点，若|AB|4，则弦AB的中点到直线x0的距离等于()A. B2 C. D4解析直线4kx4yk0，即yk，即直线4kx4yk0过抛物线y2x的焦点.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x24，故x1x2，则弦AB的中点的横坐标是，弦AB的中点到直线x0的距离是.答案C2设斜率为的直线l与椭圆1(a>b>0)交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为()A. B. C. D.解析由于直线与椭圆的两交点A，B在x轴上的射影分别为左、右焦点F1，F2，故|AF1|BF2|，设直线与x轴交于C点，又直线倾斜角的正切值为，结合图形易得tan ，故|CF1|CF2|F1F2|2c，整理并化简得b2(a2c2)ac，即(1e2)e，解得e.答案C3抛物线y22px与直线2xya0交于A，B两点，其中点A的坐标为(1,2)，设抛物线的焦点为F，则|FA|FB|的值等于()A7 B3 C6 D5解析点A(1,2)在抛物线y22px和直线2xya0上，则p2，a4，F(1,0)，则B(4，4)，故|FA|FB|7.答案A4设双曲线1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e，过F2的直线与双曲线的右支交于A，B两点，若F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则e2()A12 B42C52 D32解析如图，设|AF1|m，则|BF1|m，|AF2|m2a，|BF2|m2a，|AB|AF2|BF2|m2am2am，得m2a，又由|AF1|2|AF2|2|F1F2|2，可得m2(m2a)24c2，即得(208)a24c2，e252，故应选C.答案C5已知直线l：yk(x2)(k>0)与抛物线C：y28x交于A，B两点，F为抛物线C的焦点，若|AF|2|BF|，则k的值是()A. B. C2 D.解析法一据题意画图，作AA1l，BB1l，BDAA1.设直线l的倾斜角为，|AF|2|BF|2r，则|AA1|2|BB1|2|AD|2r，所以有|AB|3r，|AD|r，则|BD|2r，ktan tanBAD2.法二直线yk(x2)恰好经过抛物线y28x的焦点F(2,0)，由可得ky28y16k0，因为|FA|2|FB|，所以yA2yB.则yAyB2yByB，所以yB，yA·yB16，所以2y16，即yB±2.又k>0，故k2.答案C6过双曲线1(a>0)的右焦点F作一条直线，当直线斜率为2时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同交点，则双曲线离心率的取值范围是()A(，5) B(，) C(1，) D(5,5)解析令b，c，则双曲线的离心率为e，双曲线的渐近线的斜率为±.据题意，2<<3，如图所示，2<<3，5<e2<10，<e<.答案B二、填空题7椭圆y21的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是_解析设弦的两个端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x21，y1y21.A，B在椭圆上，y1，y1.两式相减得：(y1y2)(y1y2)0，即，x1x21，y1y21，即直线AB的斜率为.直线AB的方程为y，即该弦所在直线的方程为2x4y30.答案2x4y308已知椭圆C：1(a>b>0)，F(，0)为其右焦点，过F垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2，则椭圆C的方程为_解析由题意，得解得椭圆C的方程为1.答案19过椭圆1(ab0)的左顶点A且斜率为1的直线与椭圆的另一个交点为M，与y轴的交点为B，若|AM|MB|，则该椭圆的离心率为_解析由题意知A点的坐标为(a,0)，l的方程为yxa，B点的坐标为(0，a)，故M点的坐标为，代入椭圆方程得a23b2，c22b2，e.答案10已知曲线1(a·b0，且ab)与直线xy10相交于P，Q两点，且·0(O为原点)，则的值为_解析将y1x代入1，得(ba)x22ax(aab)0.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1x2，x1x2.·x1x2y1y2x1x2(1x1)·(1x2)2x1x2(x1x2)1.所以10，即2a2ab2aab0，即ba2ab，所以2.答案2三、解答题11在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y24x相交于不同的A，B两点(1)如果直线l过抛物线的焦点，求·的值；(2)如果·4，证明：直线l必过一定点，并求出该定点(1)解由题意：抛物线焦点为(1,0)，设l：xty1，代入抛物线y24x，消去x得y24ty40，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24t，y1y24，·x1x2y1y2(ty11)(ty21)y1y2t2y1y2t(y1y2)1y1y24t24t2143.(2)证明设l：xtyb，代入抛物线y24x，消去x得y24ty4b0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24t，y1y24b，·x1x2y1y2(ty1b)(ty2b)y1y2t2y1y2bt(y1y2)b2y1y24bt24bt2b24bb24b.令b24b4，b24b40，b2，直线l过定点(2,0)若·4，则直线l必过一定点12给出双曲线x21.(1)求以A(2,1)为中点的弦所在的直线方程；(2)若过点A(2,1)的直线l与所给双曲线交于P1，P2两点，求线段P1P2的中点P的轨迹方程；(3)过点B(1,1)能否作直线m，使得m与双曲线交于两点Q1，Q2，且B是Q1Q2的中点？这样的直线m若存在，求出它的方程；若不存在，说明理由解(1)设弦的两端点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则两式相减得到2(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)，又x1x24，y1y22，所以直线斜率k4.故求得直线方程为4xy70.(2)设P(x，y)，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，按照(1)的解法可得，由于P1，P2，P，A四点共线，得，由可得，整理得2x2y24xy0，检验当x1x2时，x2，y0也满足方程，故P1P2的中点P的轨迹方程是2x2y24xy0.(3)假设满足题设条件的直线m存在，按照(1)的解法可得直线m的方程为y2x1.考虑到方程组无解，因此满足题设条件的直线m是不存在的13在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2y21.(1)过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积(2)设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点若l与圆x2y21相切，求证：OPOQ.(3)设椭圆C2：4x2y21.若M、N分别是C1、C2上的动点，且OMON，求证：O到直线MN的距离是定值(1)解双曲线C1：y21，左顶点A，渐近线方程：y±x.不妨取过点A与渐近线yx平行的直线方程为y，即yx1.解方程组得所以所求三角形的面积为S|OA|y|.(2)证明设直线PQ的方程是yxb.因为直线PQ与已知圆相切，故1，即b22.由得x22bxb210.设P(x1，y1)、Q(x2，y2)，则又y1y2(x1b)(x2b)，所以·x1x2y1y22x1x2b(x1x2)b22(1b2)2b2b2b220.故OPOQ.(3)证明当直线ON垂直于x轴时，|ON|1，|OM|，则O到直线MN的距离为.当直线ON不垂直于x轴时，设直线ON的方程为ykx，则直线OM的方程为yx.由得所以|ON|2.同理|OM|2.设O到直线MN的距离为d，因为(|OM|2|ON|2)d2|OM|2|ON|2，所以3，即d.综上，O到直线MN的距离是定值14在圆x2y24上任取一点P，过点P作x轴的垂线段，D为垂足，点M在线段PD上，且|DP|DM|，点P在圆上运动(1)求点M的轨迹方程；(2)过定点C(1,0)的直线与点M的轨迹交于A，B两点，在x轴上是否存在点N，使·为常数，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由解(1)设P(x0，y0)，M(x，y)，则x0x，y0y.P(x0，y0)在x2y24上，xy4.x22y24，即1.点M的轨迹方程为1(x±2)(2)假设存在当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为yk(x1)(k0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，N(n,0)，联立方程组整理得(12k2)x24k2x2k240，x1x2，x1x2.·(x1n，y1)·(x2n，y2)(1k2)x1·x2(x1x2)(k2n)n2k2(1k2)×(k2n)×k2n2n2n2(2n24n1).·是与k无关的常数，2n0.n，即N，此时·.当直线AB与x轴垂直时，若n，则·.综上所述，在x轴上存在定点N，使·为常数
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