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第六节双 曲 线 全盘巩固1已知双曲线C：1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为()来源:A.1 B.1C.1 D.1解析：选A因为双曲线的焦距为10，所以c5.又因为P(2,1)在渐近线上，且渐近线方程为yx，所以1，即a2b.又因为c2a2b25b225，所以b25，a220.即双曲线方程为1.2(2013·福建高考)双曲线x2y21的顶点到其渐近线的距离等于()A. B. C1 D.解析：选B双曲线x2y21的顶点为(1,0)，(1,0)，渐近线方程为xy0和xy0，由对称性不妨求点(1,0)到直线xy0的距离，其距离为.3已知双曲线1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于()A. B. C. D.解析：选C因为双曲线1的右焦点为(3,0)，所以c3，又b25，所以a2c2b2954.即a2.所以双曲线的离心率e.来源:4(2014·惠州模拟)已知双曲线1与直线y2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为()A(1，) B(1，C(，) D，)解析：选C双曲线的一条渐近线方程为yx，则由题意得>2.来源:e >.5已知双曲线1(b>0)的左，右焦点分别是F1，F2，其一条渐近线方程为yx，点P(，y0)在双曲线上则·()A12 B2 C0 D4解析：选C由渐近线方程为yx知双曲线是等轴双曲线，不妨设双曲线方程是x2y22，于是F1，F2坐标分别是(2,0)和(2,0)，且P(，1)或P(，1)由双曲线的对称性，不妨取P(，1)，则(2，1)，(2，1)所以·(2，1)·(2，1)(2)·(2)10.6(2014·杭州模拟)设F1，F2分别是双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线C在第二象限的交点为P，若双曲线C的离心率为5，则cosPF2F1()A.B.C.D.解析：选C据题意可知PF1PF2，设|PF1|n，|PF2|m，又由双曲线定义知mn2a；由勾股定理得m2n24c2；又由离心率e5，三式联立解得m8a，故cosPF2F1.7(2013·江苏高考)双曲线1的两条渐近线的方程为_解析：因为双曲线1的两条渐近线方程为0，化简得y±x.答案：y±x8(2013·陕西高考)双曲线1的离心率为，则m等于_解析：依题意知m>0，则e211，解得m9.答案：99(2014·丽水模拟)已知双曲线x2y21，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1PF2，则|PF1|PF2|的值为_解析：不妨设点P在双曲线的右支上且F1，F2分别为左、右焦点，因为PF1PF2，所以(2)2|PF1|2|PF2|2，又因为|PF1|PF2|2，所以(|PF1|PF2|)24，可得2|PF1|·|PF2|4，则(|PF1|PF2|)2|PF1|2|PF2|22|PF1|·|PF2|12，所以|PF1|PF2|2.答案：210已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，)(1)求双曲线的方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：·0；(3)求F1MF2的面积解：(1)e，可设双曲线方程为x2y2(0)过点P(4，)，1610，即6.双曲线方程为x2y26.(2)证明：由(1)可知，双曲线中ab，c2，F1(2，0)，F2(2，0)，kMF1，kMF2，kMF1·kMF2.点M(3，m)在双曲线上，9m26，m23.故kMF1·kMF21，MF1MF2.·0.(3)F1MF2的底|F1F2|4，F1MF2的边F1F2上的高h|m|，SF1MF2·|F1F2|·|m|6.11(2014·湛江模拟)已知双曲线1(a>0，b>0)的右焦点为F(c,0)(1)若双曲线的一条渐近线方程为yx且c2，求双曲线的方程；(2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为，求双曲线的离心率解：(1)双曲线的渐近线为y±x，ab，c2a2b22a24，a2b22，双曲线方程为1.(2)设点A的坐标为(x0，y0)，直线AO的斜率满足·()1，x0y0，依题意，圆的方程为x2y2c2，来源:数理化网将代入圆的方程得3yyc2，即y0c，x0c，点A的坐标为，来源:代入双曲线方程得1，即b2c2a2c2a2b2，又a2b2c2，将b2c2a2代入式，整理得c42a2c2a40，348240，(3e22)(e22)0，e>1，e，双曲线的离心率为.12设双曲线1的两个焦点分别为F1，F2，离心率为2.(1)求此双曲线的渐近线l1，l2的方程；(2)若A，B分别为l1，l2上的点，且2|AB|5|F1F2|，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线解：(1)e2，c24a2.c2a23，a1，c2.双曲线方程为y21，渐近线方程为y±x.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x，y)2|AB|5|F1F2|，|AB|F1F2|×2c10.10.又y1x1，y2x2,2xx1x2,2yy1y2，y1y2(x1x2)，y1y2(x1x2)， 10，3(2y)2(2x)2100，即1.则M的轨迹是中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为10，短轴长为的椭圆冲击名校1已知P是双曲线1(a>0，b>0)上的点，F1，F2是其焦点，双曲线的离心率是，且·0，若PF1F2的面积为9，则ab的值为()A5 B6 C7 D8解析：选C由·0，得，设|m，|n，不妨设m>n，则m2n24c2，mn2a，mn9，解得b3，ab7.2过双曲线1(a>0，b>0)的右顶点A作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B，C，若A，B，C三点的横坐标成等比数列，则双曲线的离心率为()A. B. C. D.解析：选C由题知A点坐标为(a,0)，过A且斜率为1的直线方程为yxa，由得C，由得B.A，B，C三点横坐标成等比数列，即b3a，e .高频滚动已知直线xky30所经过的定点F恰好是椭圆C的一个焦点，且椭圆C上的点到点F的最大距离为8.(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知圆O：x2y21，直线l：mxny1，试证：当点P(m，n)在椭圆C上运动时，直线l与圆O恒相交，并求直线l被圆O所截得的弦长L的取值范围解：(1)直线xky30经过定点F(3,0)，即点F(3,0)是椭圆C的一个焦点设椭圆C的方程为1(a>b>0)，因为椭圆C上的点到点F的最大距离为8，所以a38，即a5.所以b2523216.所以椭圆C的方程为1.(2)因为点P(m，n)在椭圆C上，所以1，即n216(0m225)所以原点到直线l：mxny1的距离d<1.所以直线l：mxny1与圆O：x2y21恒相交L24(r2d2)4.因为0m225，所以L.即直线l被圆O所截得的弦长L的取值范围为.
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