高考数学复习:第八章 :第六节双曲线演练知能检测

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第六节双 曲 线 全盘巩固1已知双曲线C:1的焦距为10,点P(2,1)在C的渐近线上,则C的方程为()来源:A.1 B.1C.1 D.1解析:选A因为双曲线的焦距为10,所以c5.又因为P(2,1)在渐近线上,且渐近线方程为yx,所以1,即a2b.又因为c2a2b25b225,所以b25,a220.即双曲线方程为1.2(2013·福建高考)双曲线x2y21的顶点到其渐近线的距离等于()A. B. C1 D.解析:选B双曲线x2y21的顶点为(1,0),(1,0),渐近线方程为xy0和xy0,由对称性不妨求点(1,0)到直线xy0的距离,其距离为.3已知双曲线1的右焦点为(3,0),则该双曲线的离心率等于()A. B. C. D.解析:选C因为双曲线1的右焦点为(3,0),所以c3,又b25,所以a2c2b2954.即a2.所以双曲线的离心率e.来源:4(2014·惠州模拟)已知双曲线1与直线y2x有交点,则双曲线离心率的取值范围为()A(1,) B(1,C(,) D,)解析:选C双曲线的一条渐近线方程为yx,则由题意得>2.来源:e >.5已知双曲线1(b>0)的左,右焦点分别是F1,F2,其一条渐近线方程为yx,点P(,y0)在双曲线上则·()A12 B2 C0 D4解析:选C由渐近线方程为yx知双曲线是等轴双曲线,不妨设双曲线方程是x2y22,于是F1,F2坐标分别是(2,0)和(2,0),且P(,1)或P(,1)由双曲线的对称性,不妨取P(,1),则(2,1),(2,1)所以·(2,1)·(2,1)(2)·(2)10.6(2014·杭州模拟)设F1,F2分别是双曲线C:1(a0,b0)的左、右焦点,以F1F2为直径的圆与双曲线C在第二象限的交点为P,若双曲线C的离心率为5,则cosPF2F1()A.B.C.D.解析:选C据题意可知PF1PF2,设|PF1|n,|PF2|m,又由双曲线定义知mn2a;由勾股定理得m2n24c2;又由离心率e5,三式联立解得m8a,故cosPF2F1.7(2013·江苏高考)双曲线1的两条渐近线的方程为_解析:因为双曲线1的两条渐近线方程为0,化简得y±x.答案:y±x8(2013·陕西高考)双曲线1的离心率为,则m等于_解析:依题意知m>0,则e211,解得m9.答案:99(2014·丽水模拟)已知双曲线x2y21,点F1,F2为其两个焦点,点P为双曲线上一点,若PF1PF2,则|PF1|PF2|的值为_解析:不妨设点P在双曲线的右支上且F1,F2分别为左、右焦点,因为PF1PF2,所以(2)2|PF1|2|PF2|2,又因为|PF1|PF2|2,所以(|PF1|PF2|)24,可得2|PF1|·|PF2|4,则(|PF1|PF2|)2|PF1|2|PF2|22|PF1|·|PF2|12,所以|PF1|PF2|2.答案:210已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为,且过点(4,)(1)求双曲线的方程;(2)若点M(3,m)在双曲线上,求证:·0;(3)求F1MF2的面积解:(1)e,可设双曲线方程为x2y2(0)过点P(4,),1610,即6.双曲线方程为x2y26.(2)证明:由(1)可知,双曲线中ab,c2,F1(2,0),F2(2,0),kMF1,kMF2,kMF1·kMF2.点M(3,m)在双曲线上,9m26,m23.故kMF1·kMF21,MF1MF2.·0.(3)F1MF2的底|F1F2|4,F1MF2的边F1F2上的高h|m|,SF1MF2·|F1F2|·|m|6.11(2014·湛江模拟)已知双曲线1(a>0,b>0)的右焦点为F(c,0)(1)若双曲线的一条渐近线方程为yx且c2,求双曲线的方程;(2)以原点O为圆心,c为半径作圆,该圆与双曲线在第一象限的交点为A,过A作圆的切线,斜率为,求双曲线的离心率解:(1)双曲线的渐近线为y±x,ab,c2a2b22a24,a2b22,双曲线方程为1.(2)设点A的坐标为(x0,y0),直线AO的斜率满足·()1,x0y0,依题意,圆的方程为x2y2c2,来源:数理化网将代入圆的方程得3yyc2,即y0c,x0c,点A的坐标为,来源:代入双曲线方程得1,即b2c2a2c2a2b2,又a2b2c2,将b2c2a2代入式,整理得c42a2c2a40,348240,(3e22)(e22)0,e>1,e,双曲线的离心率为.12设双曲线1的两个焦点分别为F1,F2,离心率为2.(1)求此双曲线的渐近线l1,l2的方程;(2)若A,B分别为l1,l2上的点,且2|AB|5|F1F2|,求线段AB的中点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线解:(1)e2,c24a2.c2a23,a1,c2.双曲线方程为y21,渐近线方程为y±x.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点M(x,y)2|AB|5|F1F2|,|AB|F1F2|×2c10.10.又y1x1,y2x2,2xx1x2,2yy1y2,y1y2(x1x2),y1y2(x1x2), 10,3(2y)2(2x)2100,即1.则M的轨迹是中心在原点,焦点在x轴上,长轴长为10,短轴长为的椭圆冲击名校1已知P是双曲线1(a>0,b>0)上的点,F1,F2是其焦点,双曲线的离心率是,且·0,若PF1F2的面积为9,则ab的值为()A5 B6 C7 D8解析:选C由·0,得,设|m,|n,不妨设m>n,则m2n24c2,mn2a,mn9,解得b3,ab7.2过双曲线1(a>0,b>0)的右顶点A作斜率为1的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B,C,若A,B,C三点的横坐标成等比数列,则双曲线的离心率为()A. B. C. D.解析:选C由题知A点坐标为(a,0),过A且斜率为1的直线方程为yxa,由得C,由得B.A,B,C三点横坐标成等比数列,即b3a,e .高频滚动已知直线xky30所经过的定点F恰好是椭圆C的一个焦点,且椭圆C上的点到点F的最大距离为8.(1)求椭圆C的标准方程;(2)已知圆O:x2y21,直线l:mxny1,试证:当点P(m,n)在椭圆C上运动时,直线l与圆O恒相交,并求直线l被圆O所截得的弦长L的取值范围解:(1)直线xky30经过定点F(3,0),即点F(3,0)是椭圆C的一个焦点设椭圆C的方程为1(a>b>0),因为椭圆C上的点到点F的最大距离为8,所以a38,即a5.所以b2523216.所以椭圆C的方程为1.(2)因为点P(m,n)在椭圆C上,所以1,即n216(0m225)所以原点到直线l:mxny1的距离d<1.所以直线l:mxny1与圆O:x2y21恒相交L24(r2d2)4.因为0m225,所以L.即直线l被圆O所截得的弦长L的取值范围为.
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