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第八节圆锥曲线的综合问题 考点一圆锥曲线中的最值(或取值范围)问题 例1(2013新课标全国卷)平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：1 (ab0)右焦点的直线xy0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.(1)求M的方程；(2)C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CDAB，求四边形ACBD面积的最大值自主解答(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则1，1，1，由此可得1.因为x1x22x0，y1y22y0，所以a22b2.又由题意知，M的右焦点为(，0)，故a2b23.因此a26，b23.所以M的方程为1.(2)由解得或因此|AB|.由题意可设直线CD的方程为yxn，设C(x3，y3)，D(x4，y4)由得3x24nx2n260.于是x3,4.来源:因为直线CD的斜率为1，所以|CD|x4x3|.由已知，四边形ACBD的面积S|CD|AB|.当n0时，S取得最大值，最大值为.所以四边形ACBD面积的最大值为.【互动探究】若本例的条件不变，则四边形ACBD的面积有最小值吗？若有，求出其值；若没有，说明理由解：由(2)可知3x24nx2n260，又yxn与椭圆1相交，(4n)243(2n26)8(9n2)0，即3n3,0n29，而SACBD，01)，试求的取值范围解：(1)设动圆圆心C的坐标为(x，y)，圆心C到直线l0的距离为d，由题意可知|CA|d，故由抛物线的定义可知动圆圆心C的轨迹D的方程为y24x.(2)易知曲线E的方程为y24x(x4)，显然当直线l的斜率为零或不存在时不符合题意，故可设直线l的方程为ykx2(k0)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由 (1)知x1x2，且0x24,0x14.由消去y得k2x24(k1)x40，(*)则方程(*)在0,4内有两个不相等的实数根，记f(x)k2x24(k1)x4，则从而可得k.由根与系数的关系可知x1x2，x1x2.又x1x2，所以42，而k，所以0，故可得12，从而可得4，解得1或11，所以的取值范围是(1,9考点二定 点 问 题 例2(2013陕西高考)已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦MN的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；(2)已知点B(1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是PBQ的角平分线，证明直线l过定点自主解答(1)如图，设动圆圆心O1(x，y)，由题意，|O1A|O1M|，当O1不在y轴上时，过O1作O1HMN交MN于H，则H是MN的中点，|O1M|，又|O1A|，化简得y28x(x0)又当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标(0,0)也满足方程y28x，动圆圆心的轨迹C的方程为y28x.(2)证明：由题意，设直线l的方程为ykxb(k0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将ykxb代入y28x中，得k2x2(2bk8)xb20，其中32kb640.由根与系数的关系得，x1x2，x1x2，因为x轴是PBQ的角平分线，所以，即y1(x21)y2(x11)0，(kx1b)(x21)(kx2b)(x11)0，2kx1x2(kb)(x1x2)2b0，将代入，得2kb2(kb)(82bk)2k2b0，kb，此时0，直线l的方程为yk(x1)，直线l过定点(1,0)【方法规律】圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，该椭圆经过点P且离心率为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l：ykxm与椭圆C相交于A，B两点(A，B不是左，右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标解：(1)设椭圆方程为1(ab0)，由e，得a2c，a2b2c2，b23c2，则椭圆方程变为1.又椭圆过点P，将其代入求得c21，故a24，b23，即椭圆的标准方程为1.(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得(34k2)x28mkx4(m23)0，则又y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2mk(x1x2)m2.椭圆的右顶点为A2(2,0)，AA2BA2，(x12)(x22)y1y20，y1y2x1x22(x1x2)40.40.7m216mk4k20.解得m12k，m2，由得34k2m20.当m12k时，l的方程为yk(x2)，直线过定点(2,0)，与已知矛盾当m2时，l的方程为yk，直线过定点.直线l过定点，定点坐标为.高频考点考点三 圆锥曲线中的定值问题来源:1圆锥曲线中的定值问题，是近几年来高考命题的热点，多以解答题的形式出现，试题难度较大，多为高档题2高考中关于圆锥曲线中的定值问题有以下几个命题角度：(1)求代数式为定值；(2)求点到直线的距离为定值；(3)求某线段长为定值例3(2013江西高考)椭圆C：1(ab0)的离心率e，ab3.(1)求椭圆C的方程；(2)如图所示，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线DP交x轴于点N，直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m.证明：2mk为定值自主解答(1)因为e，所以ac，bc.代入ab3，得c，a2，b1.故椭圆C的方程为y21.(2)证明：法一：因为B(2,0)，P不为椭圆顶点，则直线BP的方程为yk(x2)，把代入y21，解得P.直线AD的方程为：yx1.与联立解得M.由D(0,1)，P，N(x,0)三点共线知，解得N.所以MN的斜率为m，则2mkk(定值)法二：设P(x0，y0)(x00，x02)，则k，直线AD的方程为：y(x2)，直线BP的方程为：y(x2)，直线DP的方程为：y1x，令y0，由于y01，可得N联立解得M，因此MN的斜率为m来源:，所以2mk(定值)圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值；(2)求点到直线的距离为定值利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得；(3)求某线段长度为定值利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得如图所示，已知点A(1，)是离心率为的椭圆C：1(ab0)上的一点，斜率为的直线BD交椭圆C于B、D两点，且A、B、D三点不重合(1)求椭圆C的方程；(2)ABD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；(3)求证：直线AB、AD斜率之和为定值来源:解：(1)由题意，可得e，1，a2b2c2，解得a2，b，c，所以椭圆C的方程为1.(2)设直线BD的方程为yxm，D(x1，y1)，B(x2，y2)，由得4x22mxm240，所以8m2640，则2m2，x1x2m，x1x2.所以|BD|x1x2|.设d为点A到直线BD：yxm的距离，所以d.所以SABD|BD|d，当且仅当8m2m2，即m2时取等号因为2(2，2)，所以当m2时，ABD的面积最大，最大值为.(3)证明：设直线AB、AD的斜率分别为kAB、kAD，则kADkAB2m，(*)将(2)中、式代入(*)式，整理得2m0，即kADkAB0.故直线AB、AD斜率之和为定值课堂归纳通法领悟2种方法求定值问题常见的两种方法(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；(2)直接推理、计算，并在此过程中消去变量，从而得到定值4个重视求定值、最值等圆锥曲线综合问题要四重视(1)重视定义在解题中的作用；(2)重视平面几何知识在解题中的作用；(3)重视根与系数的关系在解题中的作用；(4)重视曲线的几何特征与方程的代数特征在解题中的作用5方面考虑求最值(或范围)问题需从以下五方面考虑见本节考点一方法规律(1)利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是两个参数之间建立等量关系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围s
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