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精品资料5.3等比数列及其前n项和1 等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母_q_表示2 等比数列的通项公式设等比数列an的首项为a1，公比为q，则它的通项ana1qn1.3 等比中项若G2ab_(ab0)，那么G叫做a与b的等比中项4 等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：anamqnm，(n，mN*)(2)若an为等比数列，且klmn (k，l，m，nN*)，则akalaman.(3)若an，bn(项数相同)是等比数列，则an(0)，a，anbn，仍是等比数列5 等比数列的前n项和公式等比数列an的公比为q(q0)，其前n项和为Sn，当q1时，Snna1；当q1时，Sn.6 等比数列前n项和的性质公比不为1的等比数列an的前n项和为Sn，则Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列，其公比为_qn_.1 判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)满足an1qan(nN*，q为常数)的数列an为等比数列()(2)G为a，b的等比中项G2ab.()(3)如果an为等比数列，bna2n1a2n，则数列bn也是等比数列()(4)如果数列an为等比数列，则数列ln an是等差数列()(5)若an是等比数列，则S1S2Sk0(k2，kN)的充要条件是anan10.()(6)设an是任意等比数列，它的前n项和，前2n项和与前3n项和分别为X，Y，Z，则Y(YX)X(ZX)恒成立()2 (2013江西)等比数列x,3x3,6x6，的第四项等于()A24 B0 C12 D24答案A解析由x,3x3,6x6成等比数列得，(3x3)2x(6x6)解得x13或x21(不合题意，舍去)故数列的第四项为24.3 (2012课标全国)已知an为等比数列，a4a72，a5a68，则a1a10等于()A7 B5 C5 D7答案D解析方法一由题意得或a1a10a1(1q9)7.方法二由解得或或a1a10a1(1q9)7.4 (2013北京)若等比数列an满足a2a420，a3a540，则公比q_；前n项和Sn_.答案22n12解析设等比数列的公比为q，由a2a420，a3a540.得20q40，且a1qa1q320，解之得q2，且a12.因此Sn2n12.5 (2012辽宁)已知等比数列an为递增数列，且aa10，2(anan2)5an1，则数列an的通项公式an_.答案2n解析先判断数列的项是正数，再求出公比和首项aa100，根据已知条件得25，解得q2.所以aq8a1q9，所以a12，所以an2n.题型一等比数列的基本运算例1(1)设an是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和已知a2a41，S37，则S5等于()A. B. C. D.(2)在等比数列an中，若a4a26，a5a115，则a3_.思维启迪利用等比数列的通项公式与前n项和公式列方程(组)计算答案(1)B(2)4或4解析(1)显然公比q1，由题意得，解得或(舍去)，S5.(2)设等比数列an的公比为q(q0)，则，两式相除，得，即2q25q20，解得q2或q.所以或.故a34或a34.思维升华等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解(1)在等比数列an中，a11，公比为q，且|q|1.若ama1a2a3a4a5，则m等于()A9 B10 C11 D12(2)设Sn为等比数列an的前n项和，已知3S3a42,3S2a32，则公比q等于()A3 B4 C5 D6(3)已知an是首项为1的等比数列，Sn是an的前n项和，且9S3S6，则数列的前5项和为()A.或5 B.或5 C. D.答案(1)C(2)B(3)C解析(1)a11，ama1a2a3a4a5qq2q3q4q10，即ama1q10，m11.故选C.(2)因为得3a3a4a3，即4a3a4，则q4.(3)若q1，则由9S3S6得93a16a1，则a10，不满足题意，故q1.由9S3S6得9，解得q2.故ana1qn12n1，()n1.所以数列是以1为首项，以为公比的等比数列，其前5项和为S5.题型二等比数列的性质及应用例2(1)在等比数列an中，各项均为正值，且a6a10a3a541，a4a85，则a4a8_.(2)等比数列an的首项a11，前n项和为Sn，若，则公比q_.思维启迪利用等比数列的项的性质和前n项和的性质求解答案(1)(2)解析(1)由a6a10a3a541及a6a10a，a3a5a，得aa41.因为a4a85，所以(a4a8)2a2a4a8a412551.又an0，所以a4a8.(2)由，a11知公比q1，.由等比数列前n项和的性质知S5，S10S5，S15S10成等比数列，且公比为q5，故q5，q.思维升华(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若mnpq，则amanapaq”，可以减少运算量，提高解题速度(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形此外，解题时注意设而不求思想的运用(1)已知各项均为正数的等比数列an中，a1a2a35，a7a8a910，则a4a5a6等于()A5 B7 C6 D4(2)记等比数列an的前n项积为Tn(nN*)，已知am1am12am0，且T2m1128，则m的值为()A4 B7 C10 D12(3)已知Sn为等比数列an的前n项和，且S38，S67，则a4a5a9_.答案(1)A(2)A(3)解析(1)把a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9看成一个整体，则由题意，知它们分别是一个等比数列的第1项，第4项和第7项，这里的第4项刚好是第1项与第7项的等比中项因为数列an的各项均为正数，所以a4a5a65.(2)因为an是等比数列，所以am1am1a，又由题中am1am12am0，可知am2.由等比数列的性质可知前(2m1)项积为T2m1a，即22m1128，故m4.(3)根据等比数列的性质，知S3，S6S3，S9S6成等比数列，即8,78，S97成等比数列，所以(1)28(S97)解得S97.所以a4a5a9S9S378.题型三等比数列的判定例3已知数列an的前n项和为Sn，数列bn中，b1a1，bnanan1 (n2)，且anSnn.(1)设cnan1，求证：cn是等比数列；(2)求数列bn的通项公式思维启迪(1)由anSnn及an1Sn1n1转化成an与an1的递推关系，再构造数列an1(2)由cn求an再求bn.(1)证明anSnn，an1Sn1n1.得an1anan11，2an1an1，2(an11)an1，an1是等比数列又a1a11，a1，首项c1a11，c1，公比q.又cnan1，cn是以为首项，以为公比的等比数列(2)解由(1)可知cnn1n，ancn11n.当n2时，bnanan11nn1nn.又b1a1代入上式也符合，bnn.思维升华注意判断一个数列是等比数列的方法，另外第(2)问中要注意验证n1时是否符合n2时的通项公式，能合并的必须合并设数列an的前n项和为Sn，已知a11，Sn14an2.(1)设bnan12an，证明数列bn是等比数列；(2)求数列an的通项公式解(1)由a11及Sn14an2，有a1a2S24a12.a25，b1a22a13.又，得an14an4an1，所以an12an2(an2an1)bnan12an，bn2bn1，故bn是首项b13，公比为2的等比数列(2)由(1)知bnan12an32n1，所以，故是首项为，公差为的等差数列所以(n1)，得an(3n1)2n2.等比数列求和忽视公比q的范围致误典例：(4分)设等比数列an的公比为q，前n项和Sn0(n1,2,3，)则q的取值范围为_易错分析本题易忽视q的范围，由于等比数列求和公式中分两种情况q1和q1，而本题未说明q的范围，求解时应分类讨论，而不能直接利用公式Sn.解析因为an为等比数列，Sn0，可以得到a1S10，q0，当q1时，Snna10；当q1时，Sn0，即0(n1,2,3，)，上式等价于不等式组(n1,2,3，)，或(n1,2,3，)解式得q1，解式，由于n可为奇数，可为偶数，得1q1，且nN*)，an1an3(SnSn1)3an，an14an，n1，a23S113a113t1，当t1时，a24a1，数列an是等比数列(2)在(1)的结论下，an14an，an14n，bnlog4an1n，cnanbn4n1n，Tnc1c2cn(401)(412)(4n1n)(14424n1)(123n).B组专项能力提升(时间：30分钟)1 已知an是首项为1的等比数列，若Sn是an的前n项和，且28S3S6，则数列的前4项和为()A.或4 B.或4 C. D.答案C解析设数列an的公比为q.当q1时，由a11，得28S328384.而S66，两者不相等，因此不合题意当q1时，由28S3S6及首项为1，得.解得q3.所以数列an的通项公式为an3n1.所以数列的前4项和为1.2 (2013福建)已知等比数列an的公比为q，记bnam(n1)1am(n1)2am(n1)m，cnam(n1)1am(n1)2am(n1)m(m，nN*)，则以下结论一定正确的是()A数列bn为等差数列，公差为qmB数列bn为等比数列，公比为q2mC数列cn为等比数列，公比为qm2D数列cn为等比数列，公比为qmm答案C解析bnam(n1)(qq2qm)qm(常数)bn1bn不是常数又cn(am(n1)mq12m(am(n1)q)m，()m(qm)mqm2(常数)cn1cn不是常数选C.3 在数列an中，已知a11，an2(an1an2a2a1) (n2，nN*)，这个数列的通项公式是_答案an解析由已知n2时，an2Sn1当n3时，an12Sn2整理得3 (n3)，an4 已知在正项数列an中，a12，点An(，)在双曲线y2x21上，数列bn中，点(bn，Tn)在直线yx1上，其中Tn是数列bn的前n项和(1)求数列an的通项公式；(2)求证：数列bn是等比数列(1)解由已知点An在y2x21上知，an1an1，数列an是一个以2为首项，以1为公差的等差数列，ana1(n1)d2n1n1.(2)证明点(bn，Tn)在直线yx1上，Tnbn1，Tn1bn11(n2)，两式相减得bnbnbn1(n2)，bnbn1，bnbn1(n2)令n1，得b1b11，b1，bn是一个以为首项，以为公比的等比数列5 (2013天津)已知首项为的等比数列an不是递减数列，其前n项和为Sn(nN*)，且S3a3，S5a5，S4a4成等差数列(1)求数列an的通项公式；(2)设TnSn(nN*)，求数列Tn的最大项的值与最小项的值解(1)设等比数列an的公比为q，因为S3a3，S5a5，S4a4成等差数列，所以S5a5S3a3S4a4S5a5，即4a5a3，于是q2.又an不是递减数列且a1，所以q.故等比数列an的通项公式为ann1(1)n1.(2)由(1)得Sn1n当n为奇数时，Sn随n的增大而减小，所以1SnS1，故0SnS1.当n为偶数时，Sn随n的增大而增大，所以S2SnSnS2.综上，对于nN*，总有Sn.所以数列Tn最大项的值为，最小项的值为.
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