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精品资料学案29等差数列及其前n项和导学目标： 1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.了解等差数列与一次函数的关系.4.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题自主梳理1等差数列的有关定义(1)一般地，如果一个数列从第_项起，每一项与它的前一项的_等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列符号表示为_ (nN*，d为常数)(2)数列a，A，b成等差数列的充要条件是_，其中A叫做a，b的_2等差数列的有关公式(1)通项公式：an_，anam_ (m，nN*)(2)前n项和公式：Sn_.3等差数列的前n项和公式与函数的关系Snn2n.数列an是等差数列的充要条件是其前n项和公式Sn_.4等差数列的性质(1)若mnpq (m，n，p，qN*)，则有_，特别地，当mn2p时，_.(2)等差数列中，Sm，S2mSm，S3mS2m成等差数列(3)等差数列的单调性：若公差d>0，则数列为_；若d<0，则数列为_；若d0，则数列为_自我检测1(2010·北京海淀区模拟)已知等差数列an中，a5a9a710，记Sna1a2an，则S13的值为 ()A130B260C156D1682等差数列an的前n项和为Sn，且S36，a34，则公差d等于 ()A1B.C2D33(2010·泰安一模)设Sn是等差数列an的前n项和，若，则等于 ()A1B1C2D.4(2010·湖南师大附中)若等差数列an的前5项之和S525，且a23，则a7等于 ()A12B13C14D155设等差数列an的前n项和为Sn.若S972，则a2a4a9_.探究点一等差数列的基本量运算例1等差数列an的前n项和记为Sn.已知a1030，a2050，(1)求通项an；(2)若Sn242，求n.变式迁移1设等差数列an的公差为d (d0)，它的前10项和S10110，且a1，a2，a4成等比数列，求公差d和通项公式an.探究点二等差数列的判定例2已知数列an中，a1，an2 (n2，nN*)，数列bn满足bn (nN*)(1)求证：数列bn是等差数列；(2)求数列an中的最大值和最小值，并说明理由变式迁移2已知数列an中，a15且an2an12n1(n2且nN*)(1)求a2，a3的值(2)是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，说明理由探究点三等差数列性质的应用例3若一个等差数列的前5项之和为34，最后5项之和为146，且所有项的和为360，求这个数列的项数变式迁移3已知数列an是等差数列(1)前四项和为21，末四项和为67，且前n项和为286，求n；(2)若Sn20，S2n38，求S3n；(3)若项数为奇数，且奇数项和为44，偶数项和为33，求数列的中间项和项数探究点四等差数列的综合应用例4(2011·厦门月考)已知数列an满足2an1anan2 (nN*)，它的前n项和为Sn，且a310，S672.若bnan30，求数列bn的前n项和的最小值变式迁移4在等差数列an中，a16a17a18a936，其前n项和为Sn.(1)求Sn的最小值，并求出Sn取最小值时n的值(2)求Tn|a1|a2|an|.1等差数列的判断方法有：(1)定义法：an1and (d是常数)an是等差数列(2)中项公式：2an1anan2 (nN*)an是等差数列(3)通项公式：anpnq (p，q为常数)an是等差数列(4)前n项和公式：SnAn2Bn(A、B为常数)an是等差数列2对于等差数列有关计算问题主要围绕着通项公式和前n项和公式，在两个公式中共五个量a1、d、n、an、Sn，已知其中三个量可求出剩余的量，而a与d是最基本的，它可以确定等差数列的通项公式和前n项和公式3要注意等差数列通项公式和前n项和公式的灵活应用，如anam(nm)d，S2n1(2n1)an等4在遇到三个数成等差数列问题时，可设三个数为a，ad，a2d；ad，a，ad；ad，ad，a3d等可视具体情况而定 (满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1(2010·重庆)在等差数列an中，a1a910，则a5的值为 ()A5B6C8D102(2010·全国)如果等差数列中，a3a4a512，那么a1a2a7 ()A14B21C28D353(2010·山东潍坊五校联合高三期中)已知an是等差数列，a19，S3S7，那么使其前n项和Sn最小的n是 ()A4B5C6D74在等差数列an中，若a4a6a8a10a12120，则a9a11的值为 ()A14B15C16D175等差数列an的前n项和满足S20S40，下列结论中正确的是 ()AS30是Sn中的最大值BS30是Sn中的最小值CS300DS600题号12345答案二、填空题(每小题4分，共12分)6(2010·辽宁)设Sn为等差数列an的前n项和，若S33，S624，则a9_.7(2009·海南，宁夏)等差数列an的前n项和为Sn，已知am1am1a0，S2m138，则m_.8在数列an中，若点(n，an)在经过点(5,3)的定直线l上，则数列an的前9项和S9_.三、解答题(共38分)9(12分)(2011·莆田模拟)设an是一个公差为d (d0)的等差数列，它的前10项和S10110，且aa1a4.(1)证明：a1d；(2)求公差d的值和数列an的通项公式10(12分)(2010·山东)已知等差数列an满足：a37，a5a726，an的前n项和为Sn.(1)求an及Sn；(2)令bn (nN*)，求数列bn的前n项和Tn.11(14分)(2010·广东湛师附中第六次月考)在数列an中，a11,3anan1anan10(n2)(1)证明数列是等差数列；(2)求数列an的通项；(3)若an对任意n2的整数恒成立，求实数的取值范围答案 自主梳理1(1)2差an1and(2)A等差中项2(1)a1(n1)d(nm)d(2)na1d3.An2Bn4.(1)amanapaqaman2ap(3)递增数列递减数列常数列自我检测1A2.C3.A4.B5.24课堂活动区例1解题导引(1)等差数列an中，a1和d是两个基本量，用它们可以表示数列中的任何一项，利用等差数列的通项公式与前n项和公式，列方程组解a1和d，是解决等差数列问题的常用方法；(2)由a1，d，n，an，Sn这五个量中的三个量可求出其余两个量，需选用恰当的公式，利用方程组观点求解解(1)由ana1(n1)d，a1030，a2050，得方程组解得所以an2n10.(2)由Snna1d，Sn242. 得12n×2242.解得n11或n22(舍去)变式迁移1解由题意，知即d0，a1d.解得a1d2，an2n.例2解题导引1.等差数列的判定通常有两种方法：第一种是利用定义，即anan1d(常数)(n2)，第二种是利用等差中项，即2anan1an1 (n2)2解选择、填空题时，亦可用通项或前n项和直接判断(1)通项法：若数列an的通项公式为n的一次函数，即anAnB，则an是等差数列(2)前n项和法：若数列an的前n项和Sn是SnAn2Bn的形式(A，B是常数)，则an为等差数列3若判断一个数列不是等差数列，则只需说明任意连续三项不是等差数列即可(1)证明an2 (n2，nN*)，bn，当n2时，bnbn11.又b1.数列bn是以为首项，以1为公差的等差数列(2)解由(1)知，bnn，则an11，设函数f(x)1，易知f(x)在区间和内为减函数当n3时，an取得最小值1；当n4时，an取得最大值3.变式迁移2解(1)a15，a22a122113，a32a223133.(2)假设存在实数，使得数列为等差数列设bn，由bn为等差数列，则有2b2b1b3.2×.，解得1.事实上，bn1bn(an12an)1(2n11)11.综上可知，存在实数1，使得数列为首项为2、公差为1的等差数列例3解题导引本题可运用倒序求和的方法和等差数列的性质：若mnpq (m，n，p，qN*)，则amanapaq，从中我们可以体会运用性质解决问题的方便与简捷，应注意运用；也可用整体思想(把a1d看作整体)解方法一设此等差数列为an共n项，依题意有a1a2a3a4a534，anan1an2an3an4146. 根据等差数列性质，得a5an4a4an3a3an2a2an1a1an.将两式相加，得(a1an)(a2an1)(a3an2)(a4an3)(a5an4)5(a1an)180，a1an36.由Sn360，得n20.所以该等差数列有20项方法二设此等差数列共有n项，首项为a1，公差为d，则S55a1d34，SnSn5na1(n5)a1d5a1(5n15)d146.两式相加可得10a15(n1)d180，a1d18，代入Snna1dn360，得18n360，n20.所以该数列的项数为20项变式迁移3解(1)依题意，知a1a2a3a421，an3an2an1an67，a1a2a3a4an3an2an1an88.a1an22.Sn286，n26.(2)Sn，S2nSn，S3nS2n成等差数列，S3n3(S2nSn)54.(3)设项数为2n1 (nN*)，则奇数项有n项，偶数项有n1项，中间项为an，则S奇n·an44，S偶(n1)·an33，.n4，an11.数列的中间项为11，项数为7.例4解题导引若an是等差数列，求前n项和的最值时，(1)若a1>0，d<0，且满足，前n项和Sn最大；(2)若a1<0，d>0，且满足，前n项和Sn最小；(3)除上面方法外，还可将an的前n项和的最值问题看作Sn关于n的二次函数最值问题，利用二次函数的图象或配方法求解，注意nN*.解方法一2an1anan2，an是等差数列设an的首项为a1，公差为d，由a310，S672，得，.an4n2.则bnan302n31.解得n.nN*，n15.bn前15项为负值. S15最小可知b129，d2，S15225.方法二同方法一求出bn2n31.Snn230n(n15)2225，当n15时，Sn有最小值，且最小值为225.变式迁移4解(1)设等差数列an的首项为a1，公差为d，a16a17a183a1736，a1712，d3，ana9(n9)·d3n63，an13n60，令，得20n21，S20S21630，n20或21时，Sn最小且最小值为630.(2)由(1)知前20项小于零，第21项等于0，以后各项均为正数当n21时，TnSnn2n.当n>21时，TnSn2S21n2n1 260.综上，Tn.课后练习区1A2.C3.B4.C5.D6157.108.279(1)证明an是等差数列，a2a1d，a4a13d，又aa1a4，于是(a1d)2a1(a13d)，即a2a1dd2a3a1d (d0)化简得a1d.(6分)(2)解由条件S10110和S1010a1d，得到10a145d110.由(1)知，a1d，代入上式得55d110，故d2，ana1(n1)d2n.因此，数列an的通项公式为an2n，nN*.(12分)10解(1)设等差数列an的首项为a1，公差为d，由于a37，a5a726，所以a12d7,2a110d26，解得a13，d2.(4分)由于ana1(n1)d，Sn，所以an2n1，Snn(n2)(6分)(2)因为an2n1，所以a14n(n1)，因此bn.(8分)故Tnb1b2bn.所以数列bn的前n项和Tn.(12分)11(1)证明将3anan1anan10(n2)整理得3(n2)所以数列为以1为首项，3为公差的等差数列(4分)(2)解由(1)可得13(n1)3n2，所以an.(7分)(3)解若an对n2的整数恒成立，即3n1对n2的整数恒成立整理得(9分)令cncn1cn.(11分)因为n2，所以cn1cn>0，即数列cn为单调递增数列，所以c2最小，c2.所以的取值范围为(，(14分)
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