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精品资料§3.4三角函数的图象和性质1 用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数ysin x，x0,2的图象中，五个关键点是：(0,0)，(，1)，(，0)，(，1)，(2，0)余弦函数ycos x，x0,2的图象中，五个关键点是：(0,1)，(，0)，(，1)，(，0)，(2，1)2 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数ysin xycos xytan x图象定义域RRx|xR且xk，kZ值域1,11,1R单调性2k，2k(kZ)上递增；2k，2k(kZ)上递减2k，2k(kZ)上递增；2k，2k(kZ)上递减(k，k)(kZ)上递增最值x2k(kZ)时，ymax1；x2k(kZ)时，ymin1x2k(kZ)时，ymax1；x2k(kZ)时，ymin1奇偶性奇函数偶函数奇函数对称中心(k，0)(kZ)(k，0) (kZ)(，0)(kZ)对称轴方程xk(kZ)xk(kZ)周期221 判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“×”)(1)常数函数f(x)a是周期函数，它没有最小正周期()(2)ysin x在x0，上是增函数()(3)ycos x在第一、二象限上是减函数(×)(4)ytan x在整个定义域上是增函数(×)(5)yksin x1(xR)，则ymaxk1.(×)(6)若sin x>，则x>.(×)2 (2012·福建)函数f(x)sin的图象的一条对称轴是()Ax Bx Cx Dx答案C解析方法一正弦函数图象的对称轴过图象的最高点或最低点，故令xk，kZ，xk，kZ.取k1，则x.方法二用验证法x时，ysin0，不合题意，排除A；x时，ysin，不合题意，排除B；x时，ysin1，符合题意，C项正确；x时，ysin，不合题意，故D项也不正确3 若函数f(x)sin x (>0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则等于()A B C2 D3答案B解析f(x)sin x(>0)过原点，当0x，即0x时，ysin x是增函数；当x，即x时，ysin x是减函数由f(x)sin x (>0)在上单调递增，在上单调递减知，.4 (2013·湖北)将函数ycos xsin x(xR) 的图象向左平移m(m0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是()A. B. C. D.答案B解析ycos xsin x2sin(x)向左平移m个单位长度后得到y2sin(xm)，它关于y轴对称可得sin(m)±1，mk，kZ，mk，kZ，m>0，m的最小值为.5 函数ylg sin 2x的定义域为_答案x|3x<或0<x<解析由，得3x<或0<x<.函数ylg sin 2x的定义域为x|3x<或0<x<.题型一求三角函数的定义域和最值例1(1)(2012·山东)函数y2sin(0x9)的最大值与最小值之和为()A2 B0 C1 D1(2)函数y的定义域为_思维启迪求函数的定义域可利用三角函数的图象或数轴；求函数最值或值域时要利用图象、三角变换、二次函数等知识答案(1)A(2)x|xk且xk，kZ解析(1)利用三角函数的性质先求出函数的最值0x9，x，sin.y，ymaxymin2.(2)要使函数有意义，必须有，即故函数的定义域为x|xk且xk，kZ思维升华(1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解(2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目：形如yasin xbcos xc的三角函数化为yAsin(x)k的形式，再求最值(值域)；形如yasin2xbsin xc的三角函数，可先设sin xt，化为关于t的二次函数求值域(最值)；形如yasin xcos xb(sin x±cos x)c的三角函数，可先设tsin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)(1)函数ylg(sin x)的定义域为_(2)函数ysin2xsin x1的值域为()A1,1 B，1C，1 D1，答案(1)x|2k<x2k，kZ(2)C解析(1)要使函数有意义必须有即解得(kZ)，2k<x2k，kZ，函数的定义域为x|2k<x2k，kZ(2)ysin2xsin x1，令tsin x，则有yt2t1，t1,1，画出函数图象如图所示，从图象可以看出，当t及t1时，函数取最值，代入yt2t1，可得y，1题型二三角函数的单调性、周期性例2写出下列函数的单调区间及周期：(1)ysin；(2)y|tan x|.思维启迪(1)化为ysin，再求单调区间及周期(2)由ytan x的图象y|tan x|的图象求单调性及周期解(1)ysin，它的增区间是ysin的减区间，它的减区间是ysin的增区间由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.故所给函数的减区间为，kZ；增区间为，kZ.最小正周期T.(2)观察图象可知，y|tan x|的增区间是，kZ，减区间是，kZ.最小正周期T.思维升华(1)求形如yAsin(x)或yAcos(x)(其中，>0)的单调区间时，要视“x”为一个整体，通过解不等式求解但如果<0，那么一定先借助诱导公式将化为正数，防止把单调性弄错(2)求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”(3)求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定求函数ysincos的周期、单调区间及最大、最小值解，coscoscossin.y2sin，周期T.当2k4x2k (kZ)时，函数单调递增，函数的递增区间为 (kZ)当2k4x2k (kZ)时，函数单调递减，函数的递减区间为(kZ)当x (kZ)时，ymax2；当x (kZ)时，ymin2.题型三三角函数的奇偶性和对称性例3(1)已知f(x)sin xcos x(xR)，函数yf(x) 的图象关于直线x0对称，则的值为_(2)如果函数y3cos(2x)的图象关于点中心对称，那么|的最小值为()A. B. C. D.答案(1)(2)A解析(1)f(x)2sin，yf(x)2sin图象关于x0对称，即f(x)为偶函数k，kZ，k，kZ，又|，.(2)由题意得3cos3cos3cos0，k，kZ，k，kZ，取k0，得|的最小值为.思维升华若f(x)Asin(x)为偶函数，则当x0时，f(x)取得最大值或最小值若f(x)Asin(x)为奇函数，则当x0时，f(x)0.如果求f(x)的对称轴，只需令xk (kZ)，求x.如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令xk (kZ)即可(1)若函数f(x)sin axcos ax(a>0)的最小正周期为1，则它的图象的一个对称中心为()A(，0) B(0,0)C(，0) D(，0)(2)设函数ysin(x)(>0，(，)的最小正周期为，且其图象关于直线x对称，则在下面四个结论：图象关于点(，0)对称；图象关于点(，0)对称；在0，上是增函数；在，0上是增函数中，所有正确结论的编号为_答案(1)C(2)解析(1)由条件得f(x)sin(ax)，又函数的最小正周期为1，故1，a2，故f(x)sin(2x)将x代入得函数值为0.(2)T，2.又2×k(kZ)，k(kZ)(，)，ysin(2x)，由图象及性质可知正确三角函数的单调性、对称性典例：(10分)(1)已知>0，函数f(x)sin(x)在(，)上单调递减，则的取值范围是()A， B，C(0， D(0,2(2)已知函数f(x)2cos(x)b对任意实数x有f(x)f(x)成立，且f()1，则实数b的值为()A1 B3 C1或3 D3思维启迪(1)(，)为函数f(x)某个单调减区间的子集；(2)由f(x)f(x)可得函数的对称轴，应用函数在对称轴处的性质求解即可解析(1)由<x<得<x<，由题意知(，)，故选A.(2)由f(x)f(x)可知函数f(x)2cos(x)b关于直线x对称，又函数f(x)在对称轴处取得最值，故±2b1，b1或b3.答案(1)A(2)C温馨提醒(1)对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解(2)函数yAsin(x)b的图象与其对称轴的交点是最值点方法与技巧1讨论三角函数性质，应先把函数式化成yAsin(x)(>0)的形式2函数yAsin(x)和yAcos(x)的最小正周期为，ytan(x)的最小正周期为.3对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令tx，将其转化为研究ysin t的性质失误与防范1 闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响2 要注意求函数yAsin(x)的单调区间时的符号，尽量化成>0时情况A组专项基础训练(时间：40分钟)一、选择题1 下列函数中，周期为且在0，上是减函数的是()Aysin(x) Bycos(x)Cysin 2x Dycos 2x答案D解析对于函数ycos 2x，T，当x0，时，2x0，ycos 2x是减函数2 (2012·湖南)函数f(x)sin xcos的值域为()A2,2 B，C1,1 D.答案B解析将函数化为yAsin(x)的形式后求解f(x)sin xcossin xcos xcos sin xsin sin xcos xsin xsin(xR)，f(x)的值域为，3 (2013·浙江)已知函数f(x)Acos(x)(A>0，>0，R)，则“f(x)是奇函数”是“”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件答案B解析f(x)AcosAsin(x)为奇函数，“f(x)是奇函数”是“”的必要条件又f(x)Acos(x)是奇函数f(0)0k(kZ)D/.“f(x)是奇函数”不是“”的充分条件4 若f(x)2cos(x)m对任意实数t都有f(t)f(t)，且f()1，则实数m的值等于()A±1 B1或3C±3 D3或1答案D解析对任意实数t，都有f(t)f(t)，则函数f(x)的图象关于x对称，所以cos(·)±1，即f()±2m1m3或1.5 (2012·天津)将函数f(x)sin x(其中>0)的图象向右平移个单位长度，所得图象经过点，则的最小值是()A. B1 C. D2答案D解析根据题意平移后函数的解析式为ysin ，将代入得sin 0，则2k，kZ，且>0，故的最小值为2.二、填空题6 函数ycos(2x)的单调减区间为_答案k，k(kZ)解析由ycos(2x)cos(2x)得2k2x2k(kZ)，故kxk(kZ)所以函数的单调减区间为k，k(kZ)7 当x，函数ysin xcos x的最大值为_，最小值为_答案21解析y2sin(x)，x，sin(x)1，1y2，故ymax2，ymin1.8 已知函数f(x)Atan(x)(>0，|<)，yf(x)的部分图象如图，则f()_.答案解析由题中图象可知，此正切函数的半周期等于，即最小正周期为，所以2.由题意可知，图象过定点(，0)，所以0Atan(2×)，即k(kZ)，所以k(kZ)，又|<，所以.又图象过定点(0,1)，所以A1.综上可知，f(x)tan(2x)，故有f()tan(2×)tan .三、解答题9 设函数f(x)sin (<<0)，yf(x)图象的一条对称轴是直线x.(1)求；(2)求函数yf(x)的单调增区间解(1)令2×k，kZ，k，kZ，又<<0，则.(2)由(1)得：f(x)sin，令2k2x2k，kZ，可解得kxk，kZ，因此yf(x)的单调增区间为，kZ.10设函数f(x)sin()2cos21.(1)求f(x)的最小正周期(2)若函数yg(x)与yf(x)的图象关于直线x1对称，求当x0，时，yg(x)的最大值解(1)f(x)sin cos cos sin cos sin cos sin()，故f(x)的最小正周期为T8.(2)方法一在yg(x)的图象上任取一点(x，g(x)，它关于x1的对称点(2x，g(x)由题设条件，知点(2x，g(x)在yf(x)的图象上，从而g(x)f(2x)sin(2x)sincos()当0x时，因此yg(x)在区间0，上的最大值为g(x)maxcos .方法二区间0，关于x1的对称区间为，2，且yg(x)与yf(x)的图象关于直线x1对称，故yg(x)在0，上的最大值为yf(x)在，2上的最大值由(1)知f(x)sin()，当x2时，.因此yg(x)在0，上的最大值为g(x)maxsin .B组专项能力提升(时间：30分钟)1 函数y的定义域是()Ak，k(kZ) B2k，2k(kZ)Ck，k(kZ) D2k，2k(kZ)答案A解析|sin xcos x|10(sin xcos x)21sin 2x0，2k2x2k，kZ，故原函数的定义域是k，k(kZ)2 设函数f(x)3sin(x)，若存在这样的实数x1，x2，对任意的xR，都有f(x1)f(x)f(x2)成立，则|x1x2|的最小值为_答案2解析f(x)3sin(x)的周期T2×4，f(x1)，f(x2)应分别为函数f(x)的最小值和最大值，故|x1x2|的最小值为2.3 已知函数f(x)cos xsin x(xR)，给出下列四个命题：若f(x1)f(x2)，则x1x2；f(x)的最小正周期是2；f(x)在区间，上是增函数；f(x)的图象关于直线x对称其中真命题是_答案解析f(x)sin 2x，当x10，x2时，f(x1)f(x2)，但x1x2，故是假命题；f(x)的最小正周期为，故是假命题；当x，时，2x，故是真命题；因为f()sin ，故f(x)的图象关于直线x对称，故是真命题4 已知函数f(x)sin 2xcos 2x1.(1)当x，时，求f(x)的最大值和最小值；(2)求f(x)的单调区间解(1)f(x)sin 2xcos 2x12sin(2x)1.x，2x，2x，sin(2x)1，12sin(2x)2，于是22sin(2x)13，f(x)的最大值是3，最小值是2.(2)由2k2x2k，kZ得2k2x2k，kZ，kxk，kZ，即f(x)的单调递增区间为k，k，kZ，同理由2k2x2k，kZ得f(x)的单调递减区间为k，k，kZ.5 已知a>0，函数f(x)2asin2ab，当x时，5f(x)1.(1)求常数a，b的值；(2)设g(x)f且lg g(x)>0，求g(x)的单调区间解(1)x，2x.sin，2asin2a，af(x)b,3ab，又5f(x)1，b5,3ab1，因此a2，b5.(2)由(1)得，f(x)4sin1，g(x)f4sin14sin1，又由lg g(x)>0，得g(x)>1，4sin1>1，sin>，2k<2x<2k，kZ，其中当2k<2x2k，kZ时，g(x)单调递增，即k<xk，kZ，g(x)的单调增区间为，kZ.又当2k<2x<2k，kZ时，g(x)单调递减，即k<x<k，kZ.g(x)的单调减区间为，kZ.
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