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精品资料 第 3 讲 坐标系与曲线的极坐标方程 1在极坐标系中，直线 l 的方程为 sin 3，求点2，6到直线 l 的距离 解 直线 l 的极坐标方程可化为 y3，点2，6化为直角坐标为( 3，1)点2，6到直线 l 的距离为 2. 2在极坐标系中，圆 2cos 与直线 3cos 4sin a0 相切，求实数 a 的值 解 化为平面直角坐标系： 圆：x22xy20，即：(x1)2y21. 直线：3x4ya0. 直线和圆相切，|3a|32421， a2 或 a8. 3在极坐标系中，已知点 O(0,0)，P3 2，4，求以 OP 为直径的圆的极坐标方程 解 设点 Q(，)为以 OP 为直径的圆上任意一点(不包括端点)，在 RtOQP中，3 2cos4， 故所求圆的极坐标方程为 3 2cos4. 4从极点 O 作直线与另一直线 cos 4 相交于点 M，在 OM 上取一点 P，使|OM| |OP|12，求点 P 的轨迹方程 解 设动点 P 的坐标为(，)，则 M(0，) |OM| |OP|12.012.012. 又 M 在直线 cos 4 上，12cos 4， 3cos .这就是点 P 的轨迹方程 5在极坐标系中，P 是曲线 12sin 上的动点，Q 是曲线 12cos (6)上的动点，试求 PQ 的最大值 解 12sin . 212sin 化为直角坐标方程为 x2y212y0， 即 x2(y6)236. 又12cos (6)， 212(cos cos 6sin sin 6)， 有 x2y26 3x6y0， 即(x3 3)2(y3)236，来源: PQmax66（3 3）2（3）218. 6设过原点 O 的直线与圆(x1)2y21 的一个交点为 P，点 M 为线段 OP 的中点，当点 P 在圆上移动一周时，求点 M 轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线 解 圆(x1)2y21 的极坐标方程为 2cos 22， 设点 P 的极坐标为(1，1)，点 M 的极坐标为(，)， 点 M 为线段 OP 的中点，12，1，将 12，1 代入圆的极坐标方程，得 cos . 点 M 轨迹的极坐标方程为 cos 22，它表示原心在点12，0 ，半径为12的圆 7O1和O2的极坐标方程分别为 4cos ，4sin . (1)把O1和O2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过O1，O2交点的直线的直角坐标方程 解 (1)4cos ，两边同乘以 ，得 24cos ； 4sin ，两边同乘以 ，得 24sin . 由 cos x，sin y，2x2y2， 得O1，O2的直角坐标方程分别为 x2y24x0 和 x2y24y0. (2)由 x2y24x0，x2y24y0， 得4x4y0，即 xy0 为所求直线方程 8求圆心为 C3，6，半径为 3 的圆的极坐标方程 解 如图，设圆上任一点为 P(，)， 则 OP，POA6， OA236， 在 RtOAP 中，OPOAcosPOA， 6cos6.圆的极坐标方程为 6cos6. 9已知 A 是曲线 12sin 上的动点，B 是曲线 12cos6上的动点，试求线段 AB 长的最大值 解 曲线 12sin 的直角坐标方程为 x2(y6)236， 其圆心为(0,6)，半径为 6； 曲线 12cos6的直角坐标方程为(x3 3)2(y3)236，其圆心为(3 3，3)，半径为 6. 所以 AB 长的最大值 3 3023626618. 10 已知圆 O1和圆 O2的极坐标方程分别为 2，22 2cos42. (1)把圆 O1和圆 O2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程 解 (1)由 2 知 24，所以 x2y24； 因为 22 2cos42， 所以 22 2cos cos4sin sin42， 所以 x2y22x2y20. (2)将两圆的直角坐标方程相减， 得经过两圆交点的直线方程为 xy1. 化为极坐标方程为 cos sin 1，即 sin422. 11已知圆锥曲线 C 的极坐标方程为 8sin 1cos 2，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，求曲线 C 的直角坐标方程，并求焦点到准线的距离 解 由 8sin 1cos 2，得 cos24sin ，2cos24sin .又 cos x，sin y，故所求曲线的直角坐标方程是 x24y，故焦点到准线的距离为 2. 12 已知直线 l 的参数方程： xt，y12t(t 为参数)和圆 C 的极坐标方程：2 2 sin4. (1)将直线 l 的参数方程化为普通方程， 圆 C 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)判断直线 l 和圆 C 的位置关系 解 (1)消去参数，得直线 l 的普通方程为 y2x1. 2 2sin4，即 2(sin cos )，两边同乘以 ， 得 22(sin cos ) 得C 的直角坐标方程为(x1)2(x1)22. (2)圆心 C 到直线 l 的距离 d|211|22122 55 2， 所以直线 l 和C 相交 13在直角坐标系 xOy中，直线 l 的方程为 xy40，曲线 C 的参数方程为x 3cos ，ysin ( 为参数) (1)已知在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴)中，点 P 的极坐标为4，2，判断点 P 与直线 l的位置关系； (2)设点 Q 是曲线 C 上的一个动点，求它到直线 l 的距离的最小值 解 (1)把极坐标系下的点 P4，2化为直角坐标，得 P(0，4)因为点 P 的直角坐标(0，4)满足直线 l 的方程 xy40，所以点 P 在直线 l 上 (2)因为点 Q 在曲线 C 上，故可设点 Q 坐标为( 3cos ，sin )，从而点 Q到 直 线 l 的 距 离 为 d | 3cos sin 4|22cos6422cos62 2， 由此得，当 cos61 时，d 取得最小值，且最小值为 2. 14 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合， 极轴与 x 轴的正半轴重合 若直线 l 的极坐标方程为 sin43 2. (1)把直线 l 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)已知 P 为椭圆 C：x216y291 上一点，求 P 到直线 l 的距离的最大值 解 (1)直线 l 的极坐标方程 sin43 2，则22sin 22cos 3 2，即 sin cos 6，所以直线 l 的直角坐标方程为 xy60. (2)P 为椭圆 C：x216y291 上一点，设 P(4cos ，3sin )，其中 0,2)，则P 到直线 l 的距离 d|4cos 3sin 6|2|5cos6|2，其中 cos 45，所以当 cos()1时，d 的最大值为1122.
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