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精品资料第8讲正弦定理和余弦定理的应用举例一、填空题1已知A、B两地的距离为10 km，B、C两地的距离为20 km，现测得ABC120，则A，C两地的距离为_解析 如图所示，由余弦定理可得：AC210040021020cos 120700，AC10(km)答案 10 km2如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿着DC走到C用了3分钟若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为_米解析 由题图知，连接OC，在三角形OCD中，OD100，CD150，CDO60，由余弦定理可得OC210021502210015017 500，OC50.答案 503某人向正东方向走x km后，他向右转150，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好 km，那么x的值为_解析如图，在ABC中，ABx，BC3，AC，ABC30，由余弦定理得()232x223xcos 30，即x23x60，解得x1，x22，经检测均合题意答案或24. 如图所示，为了测量河对岸A，B两点间的距离，在这一岸定一基线CD，现已测出CDa和ACD60，BCD30，BDC105，ADC60，则AB的长为_解析在ACD中，已知CDa，ACD60，ADC60，所以ACa.在BCD中，由正弦定理可得BCa.在ABC中，已经求得AC和BC，又因为ACB30，所以利用余弦定理可以求得A，B两点之间的距离为ABa.答案a5一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么B、C两点间的距离是_解析 如图所示，由已知条件可得，CAB30，ABC105，即AB4020(海里)BCA45.由正弦定理可得：.BC10(海里)答案 10(海里)6已知A、B两地的距离为10 km，B、C两地的距离为20 km，现测得ABC120，则A、C两地的距离为_km.答案 107如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，ACB45，CAB105后，就可以计算A、B两点的距离为_m.答案 508如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18 km，速度为1 000 km/h，飞行员先看到山顶的俯角为30，经过1 min后又看到山顶的俯角为75，则山顶的海拔高度为(精确到0.1 km)_解析AB1 0001 000 (m)，BCsin 30 (m)航线离山顶hsin 7511.4 (km)山高为1811.46.6 (km)答案6.6 km9已知等腰三角形腰上的中线长为，则该三角形的面积的最大值是_解析如图，设ABAC2x，则在ABD中，由余弦定理，得3x24x24x2cos A，所以cos A.所以sin A，所以SABC(2x)2sin A.故当x2时，(SABC)max 2.答案210已知ABC中，B45，AC4，则ABC面积的最大值为_解析法一如图，设ABC的外接圆为圆O，其直径2R4.取AC的中点M，则OMRcos 452，则AC4.过点B作BHAC于H，要使ABC的面积最大，当且仅当BH最大而BHBOOM，所以BHRR22，所以(SABC)maxACBHmax4(22)44，当且仅当BABC时取等号法二如图，同上易知，ABC的外接圆的直径2R4.SABCABBCsin B2R2sin Asin Bsin C8sin Asin C4.当AC67.5时，(SABC)max44.答案44二、解答题11如图，在半径为、圆心角为60的扇形的弧上任取一点P，作扇形的内接矩形PNMQ，使点Q在OA上，点N、M在OB上，设矩形PNMQ的面积为y，(1)按下列要求写出函数的关系式：设PNx，将y表示成x的函数关系式；设POB，将y表示成的函数关系式；(2)请你选用(1)中的一个函数关系式，求出y的最大值解(1)ON，OMx，MNx，yx，x.PNsin ，ONcos ，OMsin sin ，MNONOMcos sin ，ysin (cos sin )，即y3sin cos sin2，.(2)选择y3sin cos sin2sin，2，ymax.12如图，甲船以每小时30海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的B2处，此时两船相距10海里问：乙船每小时航行多少海里？解：如图所示，连接A1B2，由已知A2B210，A1A23010，来源: A1A2A2B2.又A1A2B218012060，A1A2B2是等边三角形，A1B2A1A210.由已知，A1B120，B1A1B21056045，在A1B2B1中，由余弦定理得B1BA1BA1B2A1B1A1B2cos 45202(10)222010200，B1B210.因此，乙船的速度为6030(海里/小时)13. 如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30相距10海里C处的乙船，接到信号后乙船朝北偏东方向沿直线前往B处救援，问的正弦值为多少？解如题图，在ABC中，AB20海里，AC10海里，BAC120，由余弦定理知BC2AB2AC22ABACcos 12020210222010700.BC10海里由正弦定理，sinACBsinBACsin 120.sin sin(30ACB)sin 30cosACBcos 30sinACB.乙船应沿北偏东sin 的方向沿直线前往B处救援14某单位设计一个展览沙盘，现欲在沙盘平面内，布设一个对角线在l上的四边形电气线路，如图所示，为充分利用现有材料，边BC，CD用一根5米长的材料弯折而成，边BA、AD用一根9米长的材料弯折而成，要求A和C互补，且ABBC.(1)设ABx米，cos Af(x)，求f(x)的解析式，并指出x的取值范围；(2)求四边形ABCD面积的最大值解(1)在ABD中，由余弦定理得BD2AB2AD22ABADcos A.同理，在CBD中，BD2CB2CD22CBCDcos C.因为A和C互补，所以AB2AD22ABADcos ACB2CD22CBCDcos CCB2CD22CBCDcos A.即x2(9x)22x(9x)cos Ax2(5x)22x(5x)cos A解得cos A，即f(x)，其中x(2,5)(2)四边形ABCD的面积S(ABADCBCD)sin Ax(9x)x(5x)x(7x) .记g(x)(x24)(x214x49)，x(2,5)由g(x)2x(x214x49)(x24)(2x14)2(x7)(2x27x4)0，解得x4.函数g(x)在区间(2,4)内单调递增，在区间(4,5)内单调递减因此g(x)的最大值为g(4)129108.所以S的最大值为6.答：所求四边形ABCD面积的最大值为6 m2.
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