高考数学理一轮资源库第四章 第7讲 正弦定理和余弦定理

精品资料第7讲正弦定理和余弦定理一、填空题1在ABC中，sin2Asin2Bsin2Csin Bsin C，则A的取值范围是_解析由题意和正弦定理，得a2b2c2bc，b2c2a2bc，cos A，所以0A.答案2若ABC的内角A，B，C所对的边为a，b，c，满足(ab)2c24，且C60，则ab的值为_解析由(ab)2c24及余弦定理，得c2a2b22abcos 60(ab)23ab，所以ab.答案3已知ABC的一个内角为120，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC的面积为_解析不妨设A120，cb，则ab4，cb4，于是由cos 120，解得b10，Sbcsin 12015.答案154在ABC中，若b5，B，tan A2，则sin A_，a_.解析tan A20，A为锐角，又2，sin2Acos2A1由得sin A.a2.答案25. 如图，在ABC中，D是边AC上的点，且ABAD,2ABBD，BC2BD，则sin C_.解析设ABa，BDa，BC2BDa，cos A，sin A，由正弦定理知sin Csin A.答案6在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2b2bc，sin C2sin B，则A角大小为_解析由a2b2bc，c2b，得a27b2，所以cos A，所以A.答案7在ABC中，a，b，c分别为A，B，C的对边，如果a，b，c成等差数列，B30，ABC的面积为，那么b_.解析由a，b，c成等差数列，得2bac.平方得a2c24b22ac.又ABC的面积为，且B30，故由SABCacsin Bacsin 30ac，得ac6，所以a2c24b212.由余弦定理cos B.解得b242.又因为b为边长，故b1.答案18在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2，c2，1，则C_.解析 由1和正弦定理得cos A，A60.由正弦定理得，sin C ，又ca，C60，C45.答案 459在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知4sin2cos 2C，且ab5，c，则ABC的面积为_解析 因为4sin2cos 2C，所以21cos(AB)2cos2C1，22cos C2cos2C1，cos2Ccos C0，解得cos C.根据余弦定理有cos C，aba2b27,3aba2b22ab7(ab)2725718，ab6，所以ABC的面积SABCabsin C6.答案 10在ABC中，a3，b2，cos C，则ABC的面积为_解析 cos C，sin C，SABCabsin C324.答案 4二、解答题11在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.(1)若(abc)(bca)3bc，求A的值；(2)若c10，A45，C30，求b的值解(1)由已知得(bc)2a23bc，即a2b2c2bc.由余弦定理a2b2c22bccos A，得cos A.由于0A，所以A.(2)由于ABC180，所以B1804530105.由正弦定理，得bsin Bsin 105205()12在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin B(tan Atan C)tan Atan C.(1)求证：a，b，c成等比数列；(2)若a1，c2，求ABC的面积S.解 (1)证明：在ABC中，由于sin B(tan Atan C)tan A tanC，所以 sinB，因此sin B(sin Acos Ccos Asin C)sin A sinC，所以sinBsin(AC)sin Asin C，又ABC，所以sin(AC)sin B，因此sin2Bsin Asin C.由正弦定理得 b2ac，即a，b，c成等比数列(2)因为a1，c2，所以b，由余弦定理得cosB，因为0B，所以sinB.故ABC的面积SacsinB12.13在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.(1)求的值；(2)若cos B，ABC的周长为5，求b的长解(1)由正弦定理得a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C(R为ABC外接圆半径)，所以，即sin Bcos A2sin Bcos C2sin Ccos Bsin Acos B，即有sin(AB)2sin(BC)，即sin C2sin A，所以2.(2)由(1)知2，所以有2，即c2a，又因为ABC的周长为5，所以b53a，由余弦定理及cos B得b2c2a22accos B，即(53a)2(2a)2a24a2，解得a1，所以b2.14设ABC的内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且b2ac.(1)求证：cos B；(2)若cos(AC)cos B1，求角B的大小解(1)因为cos B，所以cos B.(2)因为cos(AC)cos Bcos(AC)cos(AC)2sin Asin C1，所以sin Asin C.又由b2ac，得sin2Bsin Asin C，又B(0，)，故sin B.由(1)，得B.