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精品资料第5讲 空间向量及其运算一、填空题1给出下列四个命题：若pxayb，则p与a，b共面；若p与a，b共面，则pxayb.若xy，则P，M，A、B共面；若P，M，A，B共面，则xy.其中真命题的序号是_解析其中为正确命题答案2. 如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点若a，b，c，则用a，b，c表示为_解析()c(ba)abc.答案abc3已知a(1,0,2)，b(6,21,2)，若ab，则与的值是_解析由题意知：解得或答案2，或3，4已知a(1t,1t，t)，b(2，t，t)，则|ba|的最小值为_解析ba(1t,2t1,0)，|ba| ，当t时，|ba|取得最小值为.答案5. 如图，已知空间四边形OABC，OBOC，且AOBAOC，则cos，的值为_解析设a，b，c由已知条件a，ba，c，且|b|c|，·a·(cb)a·ca·b|a|c|a|b|0，cos，0.答案06已知a3b与7a5b垂直，且a4b与7a2b垂直，则a，b_.解析由条件知(a3b)·(7a5b)7|a|216a·b15|b|20，及(a4b)·(7a2b)7|a|28|b|230a·b0.两式相减，得46a·b23|b|2，a·b|b|2.代入上面两个式子中任意一个，即可得到|a|b|.cosa，b.a，b0°，180°，a，b60°.答案60°7正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且，N为B1B的中点，则|为_解析以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(a,0,0)，C1(0，a，a)，N.设M(x，y，z)，点M在AC1上且，(xa，y，z)(x，ay，az)，xa，y，z.得M，| a.答案a8在下列条件中，使M与A、B、C一定共面的是_2；0；0；解析0，则、为共面向量，即M、A、B、C四点共面答案9已知a(2，1,2)，b(2,2,1)，则以a，b为邻边的平行四边形的面积为_解析|a|3，|b|3，a·b2×2(1)×22×14，cosa，b，sina，b，S平行四边形|a|b|sina，b.答案10已知ABCDA1B1C1D1为正方体，给出下列四个命题：()23A1B12；·()0；向量与向量的夹角是60°；正方体ABCDA1B1C1D1的体积为|A··A|.其中正确命题的序号是_解析设正方体的棱长为1，中()2323，故正确；中，由于AB1A1C，故正确；中A1B与AD1两异面直线所成角为60°，但与的夹角为120°，故不正确；中|··|0.故也不正确答案二、解答题11若a(1,5，1)，b(2,3,5)(1)若(kab)(a3b)，求k；(2)若(kab)(a3b)，求k.解kab(k2,5k3，k5)，a3b(13×2,53×3，13×5)(7，4，16)(1)(kab)(a3b)，解得k.(2)(kab)(a3b)，(k2)×7(5k3)×(4)(k5)×(16)0.解得k.12. 如图，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M、N分别是AB、CD的中点(1)求证：MNAB，MNCD；(2)求MN的长解(1)设Ap，Aq，Ar.由题意可知：|p|q|r|a，且p、q、r三向量两两夹角均为60°.MAA(AA)A(qrp)，M·A(qrp)·p(q·pr·pp2)(a2·cos 60°a2·cos 60°a2)0.MNAB，同理可证MNCD.(2)由(1)可知，MN(qrp)|M2|2(qrp)2q2r2p22(q·rp·qr·p)×2a2.|M|a，MN的长为a.13已知非零向量e1，e2不共线，如果e1e2，2e18e2，3e13e2，求证：A、B、C、D共面证明令(e1e2)(2e18e2)v(3e13e2)0.则(23v)e1(83v)e20.e1，e2不共线，.易知是其中一组解，则50.A、B、C、D共面14. 如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB、AD、CD的中点，计算：(1)·；(2)·；(3)EG的长；(4)异面直线AG与CE所成角的余弦值解设a，b，c.则|a|b|c|1，a，bb，cc，a60°，ca，a，bc，(1)··(a) a2a·c，(2)·(ca)·(bc) (b·ca·bc2a·c)；(3)abacb abc，|2a2b2c2a·bb·cc·a，则|.(4)bc，ba，cos，由于异面直线所成角的范围是，所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为.
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