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精品资料第4讲 直线与圆的位置关系一、填空题1若直线l：axby1与圆C：x2y21有两个不同交点，则点P(a，b)与圆C的位置关系是_解析 由题意得圆心(0,0)到直线axby1的距离小于1，即d1，所以有1，点P在圆外答案 在圆外2设圆C与圆x2(y3)21外切，与直线y0相切，则C的圆心轨迹为_解析 设圆心C(x，y)，由题意得y1(y0)，化简得x28y8.答案 x28y83若圆C：(xh)2(y1)21在不等式xy10所表示的平面区域内，则h的最小值为_解析h取最小值时，直线xy10与圆O：(xh)2(y1)21相切且在直线xy10向右上方，所以1，h2±，所以hmin2.答案24过点(1，2)的直线l被圆x2y22x2y10截得的弦长为，则直线l的斜率为_解析将圆的方程化成标准方程为(x1)2(y1)21，其圆心为(1,1)，半径r1.由弦长为得，弦心距为.设直线方程为y2k(x1)，即kxyk20，化简得7k224k170，k1或k.答案1或5将直线2xy0沿x轴向左平移1个单位，所得直线与圆x2y22x4y0相切，则实数的值为_解析由题意，得直线2(x1)y0，即2xy20与圆(x1)2(y2)25相切，所以，2±5，所以3或7.答案3或76在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2y24上有且只有四个点到直线12x5yc0的距离为1，则实数c的取值范围是_解析画图可知，圆上有且只有四个点到直线12x5yc0的距离为1，该圆半径为2即圆心O(0,0)到直线12x5yc0的距离d1，即01，13c13.答案(13,13)7从圆x22xy22y10外一点P(3,2)向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为_解析 圆的方程整理为(x1)2(y1)21，C(1,1)，sinAPC，则cosAPBcos2APC12×2.答案 8直线l与圆x2y22x4ya0(a<3)相交于A，B两点，若弦AB的中点C为(2,3)，则直线l的方程为_解析 圆的方程可化为(x1)2(y2)25a.由圆的几何性质可知圆心(1,2)与点C(2,3)的连线必垂直于l，kAB1，l的方程为xy50.答案 xy509已知圆C：x2y212，直线l：4x3y25.(1)圆C的圆心到直线l的距离为_；(2)圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为_解析(1)圆C圆心坐标为(0,0)、半径r2，l：4x3y250，由点到直线的距离公式得d5.(2) 如图所示，当OM3时，上的点满足到直线l的距离小于2.由平面几何知识可求得AOB60°，故所求概率为的长度与圆周长之比，所以所求概率为.答案(1)5(2)10由直线yx1上的一点向圆(x3)2y21引切线，则切线长的最小值为_解析 如图所示，设直线上一点P，切点为Q，圆心为M，则|PQ|即为切线长，MQ为圆M的半径，长度为1，|PQ|，要使|PQ|最小，即求|PM|的最小值，此题转化为求直线yx1上的点到圆心M的最小距离，设圆心到直线yx1的距离为d，则d2，|PM|的最小值为2，|PQ|.答案 二、解答题11已知：圆C：x2y28y120，直线l：axy2a0.(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；(2)当直线l与圆C相交于A、B两点，且AB2时，求直线l的方程解将圆C的方程x2y28y120配方得标准方程为x2(y4)24，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.(1)若直线l与圆C相切，则有2.解得a.(2)过圆心C作CDAB，则根据题意和圆的性质，得解得a7或a1.故所求直线方程为7xy140或xy20.12. 如图，已知位于y轴左侧的圆C与y轴相切于点(0,1)且被x轴分成的两段圆弧长之比为12，过点H(0，t)的直线l与圆C相交于M、N两点，且以MN为直径的圆恰好经过坐标原点O.(1)求圆C的方程；(2)当t1时，求出直线l的方程；(3)求直线OM的斜率k的取值范围解(1)因为位于y轴左侧的圆C与y轴相切于点(0,1)，所以圆心C在直线y1上设圆C与x轴的交点分别为A、B.由圆C被x轴分成的两段弧长之比为21，得ACB.所以CACB2.圆心C的坐标为(2,1)，所以圆C的方程为(x2)2(y1)24.(2)当t1时，由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为ymx1.由得或不妨令M，N(0,1)因为以MN为直径的圆恰好经过O(0,0)，所以··(0,1)0，解得m2±.所以所求直线l方程为y(2)x1或y(2)x1.(3)设直线MO的方程为ykx.由题意，知2，解得k.同理，得，解得k或k0.由(2)知，k0也满足题意所以k的取值范围是.13已知圆M：(x1)2(y1)24，直线l：xy60，A为直线l上一点(1)若AM直线l，过A作圆M的两条切线，切点分别为P，Q，求PAQ的大小；(2)若圆M上存在两点B，C，使得BAC60°，求点A横坐标的取值范围解 (1)圆M的圆心M(1,1)，半径r2，直线l的斜率为1，而AMl，kAM1.直线AM的方程为yx.由解得即A(3,3)如图，连结MP，PAMPAQ，sinPAM，PAM45°，PAQ90°.(2)过A(a，b)作AD，AE，分别与圆M相切于D，E两点，因为DAEBAC，所以要使圆M上存在两点B，C，使得BAC60°，只要做DAE60°.AM平分DAE，只要30°DAM<90°.类似于第(1)题，只要sinDAM<1，即且<1.又ab60，解得1a5，即a的取值范围是1,514已知圆C：(x3)2(y4)24，直线l1过定点A(1,0)(1)若l1与圆相切，求l1的方程；(2)若l1与圆相交于P，Q两点，线段PQ的中点为M，又l1与l2：x2y20的交点为N，判断AM·AN是否为定值，若是，则求出定值；若不是，请说明理由解(1)若直线l1的斜率不存在，即直线是x1，符合题意若直线l1斜率存在，设直线l1为yk(x1)，即kxyk0.由题意知，圆心(3,4)到已知直线l1的距离等于半径2，即2，解得k.所求直线方程是x1或3x4y30.(2)直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线方程为kxyk0.由得N.又直线CM与l1垂直，由得M.所以AM·AN ··6为定值，故AM·AN是定值，且为6.
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