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精品资料§2.5指数与指数函数1 分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是(a>0，m，nN*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是(a>0，m，nN*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义(2)有理指数幂的运算性质：arasars，(ar)sars，(ab)rarbr，其中a>0，b>0，r，sQ.2指数函数的图象与性质yaxa>10<a<1图象定义域(1)R值域(2)(0，)性质(3)过定点(0,1)(4)当x>0时，y>1；x<0时，0<y<1(5)当x>0时，0<y<1；x<0时，y>1(6)在(，)上是增函数(7)在(，)上是减函数1判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“×”)(1)()44.(×)(2).(×)(3)函数yax是R上的增函数(×)(4)函数y(a>1)的值域是(0，)(×)(5)函数y2x1是指数函数(×)(6)函数y()1x的值域是(0，)()2 若a(2)1，b(2)1，则(a1)2(b1)2的值是()A1 B C D答案D解析a(2)12，b(2)12，(a1)2(b1)2(3)2(3)2.3 设函数f(x)a|x|(a>0，且a1)，f(2)4，则()Af(2)>f(1) Bf(1)>f(2)Cf(1)>f(2) Df(2)>f(2)答案A解析f(x)a|x|(a>0，且a1)，f(2)4，a24，a，f(x)|x|2|x|，f(2)>f(1)4 若函数y(a21)x在(，)上为减函数，则实数a的取值范围是_答案(，1)(1，)解析由y(a21)x在(，)上为减函数，得0<a21<1，1<a2<2，即1<a<或<a<1.5 已知0x2，则y3·2x5的最大值为_答案解析令t2x，0x2，1t4，又y22x13·2x5，yt23t5(t3)2，1t4，t1时，ymax.题型一指数幂的运算例1化简：(1)(a>0，b>0)；(2).思维启迪运算中可先将根式化成分数指数幂，再按照指数幂的运算性质进行运算解(1)原式ab1.(2)原式10(2)11010201.思维升华(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：必须同底数幂相乘，指数才能相加；运算的先后顺序(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数(1)化简(x<0，y<0)得()A2x2y B2xyC4x2y D2x2y(2)·_.答案(1)D(2)解析(1)24(x)8·(y)42·(x) ·(y)2(x)2(y)2x2y.(2)原式.题型二指数函数的图象、性质例2(1)函数f(x)axb的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()Aa>1，b<0Ba>1，b>0C0<a<1，b>0D0<a<1，b<0(2)若函数f(x)e(e是自然对数的底数)的最大值是m，且f(x)是偶函数，则m_.思维启迪对于和指数函数的图象、性质有关的问题，可以通过探求已知函数和指数函数的关系入手答案(1)D(2)1解析(1)由f(x)axb的图象可以观察出函数f(x)axb在定义域上单调递减，所以0<a<1.函数f(x)axb的图象是在f(x)ax的基础上向左平移得到的，所以b<0.(2)由于f(x)是偶函数，所以f(x)f(x)，即，(x)2(x)2，0，f(x)e.又yex是R上的增函数，而x20，f(x)的最大值为e01m，m1.思维升华(1)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象(2)对复合函数的性质进行讨论时，要搞清复合而成的两个函数，然后对两层函数分别进行研究(1)函数y的图象大致为()(2)若函数f(x)ax1(a>0且a1)的定义域和值域都是0,2，则实数a_.答案(1)A(2)解析(1)y1，当x>0时，e2x1>0，且随着x的增大而增大，故y1>1随着x的增大而减小，即函数y在(0，)上恒大于1且单调递减又函数y是奇函数，故只有A正确(2)当a>1时，x0,2，y0，a21，a212，即a.当0<a<1时，x0,2，ya21,0，此时定义域与值域不一致，无解综上，a.题型三指数函数的应用例3(1)k为何值时，方程|3x1|k无解？有一解？有两解？(2)已知定义在R上的函数f(x)2x.若f(x)，求x的值；若2tf(2t)mf(t)0对于t1,2恒成立，求实数m的取值范围思维启迪方程的解的问题可转为函数图象的交点问题；恒成立可以通过分离参数求最值或值域来解决解(1)函数y|3x1|的图象是由函数y3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示当k<0时，直线yk与函数y|3x1|的图象无交点，即方程无解；当k0或k1时，直线yk与函数y|3x1|的图象有唯一的交点，所以方程有一解；当0<k<1时，直线yk与函数y|3x1|的图象有两个不同的交点，所以方程有两解(2)当x<0时，f(x)0，无解；当x0时，f(x)2x，由2x，得2·22x3·2x20，看成关于2x的一元二次方程，解得2x2或，2x>0，x1.当t1,2时，2tm0，即m(22t1)(24t1)，22t1>0，m(22t1)，t1,2，(22t1)17，5，故m的取值范围是5，)思维升华对指数函数的图象进行变换是利用图象的前提，方程f(x)g(x)解的个数即为函数yf(x)和yg(x)图象交点的个数；有关复合函数问题的关键是通过换元得到两个新的函数，搞清复合函数的结构定义域为R的函数f(x)是奇函数(1)求a，b的值；(2)若对任意的tR，不等式f(t22t)f(2t2k)<0恒成立，求k的取值范围解(1)因为f(x)是奇函数，所以f(0)0，即0，解得b1.从而有f(x).又由f(1)f(1)知，解得a2.所以a2，b1.(2)由(1)知f(x)，由上式易知f(x)在(，)上为减函数又因f(x)是奇函数，从而不等式f(t22t)f(2t2k)<0等价于f(t22t)<f(2t2k)f(2t2k)因f(x)是减函数，由上式推得t22t>2t2k，即对一切tR有3t22tk>0，从而判别式412k<0，解得k<.换元法解决与指数函数有关的值域问题典例：(9分)(1)函数y()的值域是()A(，4) B(0，)C(0,4 D4，)(2)函数y()x()x1在x3,2上的值域是_解析(1)设tx22x1，则y()t.因为t(x1)222，y()t为关于t的减函数，所以0<y()t()24，故所求函数的值域为(0,4(2)因为x3,2，若令t()x，则t，8则yt2t1(t)2.当t时，ymin；当t8时，ymax57.所求函数值域为，57答案(1)C(2)，57温馨提醒和指数函数有关的值域或最值问题，通常利用换元法，将其转化为两个基本初等函数的单调性或值域问题，注意换元过程中“元”的取值范围的变化.方法与技巧1判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x1得到底数的值再进行比较2指数函数yax (a>0，a1)的性质和a的取值有关，一定要分清a>1与0<a<1.3对和复合函数有关的问题，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成失误与防范1恒成立问题一般与函数最值有关，要与方程有解区别开来2复合函数的问题，一定要注意函数的定义域3对可化为a2xb·axc0或a2xb·axc0 (0)形式的方程或不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围A组专项基础训练(时间：40分钟)一、选择题1函数yaxa(a>0，且a1)的图象可能是()答案C解析当x1时，y0，故函数yaxa(a>0，且a1)的图象必过点(1,0)，显然只有C符合2 已知a，函数f(x)ax，若实数m、n满足f(m)>f(n)，则m、n的关系为()Amn<0 Bmn>0Cm>n Dm<n答案D解析0<<1，f(x)ax()x，且f(x)在R上单调递减，又f(m)>f(n)，m<n，故选D.3 若函数f(x)a|2x4|(a>0，a1)，满足f(1)，则f(x)的单调递减区间是()A(，2 B2，)C2，) D(，2答案B解析由f(1)得a2，a(a舍去)，即f(x)()|2x4|.由于y|2x4|在(，2上递减，在2，)上递增，所以f(x)在(，2上递增，在2，)上递减故选B.4若存在负实数使得方程2xa成立，则实数a的取值范围是()A(2，) B(0，)C(0,2) D(0,1)答案C解析在同一坐标系内分别作出函数y和y2xa的图象知，当a(0,2)时符合要求5已知实数a，b满足等式2 014a2 015b，下列五个关系式：0<b<a；a<b<0；0<a<b；b<a<0；ab.其中不可能成立的关系式有()A1个 B2个 C3个 D4个答案B解析设2 014a2 015bt，如图所示，由函数图象，可得(1)若t>1，则有a>b>0；(2)若t1，则有ab0；(3)若0<t<1，则有a<b<0.故可能成立，而不可能成立二、填空题6(0.002)10(2)1()0_.答案19解析原式()150010(2)1101020119.7 若指数函数yax在1,1上的最大值与最小值的差是1，则底数a_.答案解析若0<a<1，则a1a1，即a2a10，解得a或a(舍去)若a>1，则aa11，即a2a10，解得a或a(舍去)综上所述a.8若函数f(x)axxa(a>0，且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是_答案(1，)解析令axxa0即axxa，若0<a<1，显然yax与yxa的图象只有一个公共点；若a>1，yax与yxa的图象如图所示有两个公共点三、解答题9已知函数f(x)b·ax(其中a，b为常量且a>0，a1)的图象经过点A(1,6)，B(3,24)(1)试确定f(x)；(2)若不等式()x()xm0在x(，1上恒成立，求实数m的取值范围解(1)f(x)b·ax的图象过点A(1,6)，B(3,24)，÷得a24，又a>0且a1，a2，b3，f(x)3·2x.(2)由(1)知()x()xm0在(，1上恒成立化为m()x()x在(，1上恒成立令g(x)()x()x，则g(x)在(，1上单调递减，mg(x)ming(1)，故所求实数m的取值范围是(，10设a>0且a1，函数ya2x2ax1在1,1上的最大值是14，求a的值解令tax (a>0且a1)，则原函数化为y(t1)22 (t>0)当0<a<1时，x1,1，tax，此时f(t)在上为增函数所以f(t)maxf2214.所以216，所以a或a.又因为a>0，所以a.当a>1时，x1,1，tax，此时f(t)在上为增函数所以f(t)maxf(a)(a1)2214，解得a3(a5舍去)综上得a或3.B组专项能力提升(时间：30分钟)1设函数f(x)若F(x)f(x)x，xR，则F(x)的值域为()A(，1 B2，)C(，12，) D(，1)(2，)答案C解析当x>0时，F(x)x2；当x0时，F(x)exx，根据指数函数与一次函数的单调性，F(x)是单调递增函数，F(x)F(0)1，所以F(x)的值域为(，12，)2若关于x的方程|ax1|2a (a>0且a1)有两个不等实根，则a的取值范围是()A(0,1)(1，) B(0,1)C(1，) D答案D解析方程|ax1|2a (a>0且a1)有两个实数根转化为函数y|ax1|与y2a有两个交点当0<a<1时，如图(1)，0<2a<1，即0<a<.当a>1时，如图(2)，而y2a>1不符合要求图(1)图(2)综上，0<a<.3关于x的方程x有负数根，则实数a的取值范围为_答案解析由题意，得x<0，所以0<x<1，从而0<<1，解得<a<.4已知f(x)()x3(a>0且a1)(1)讨论f(x)的奇偶性；(2)求a的取值范围，使f(x)>0在定义域上恒成立解(1)由于ax10，则ax1，得x0，所以函数f(x)的定义域为x|xR，且x0对于定义域内的任意x，有f(x)()(x)3()(x)3(1)(x)3()x3f(x)f(x)是偶函数(2)方法一当a>1时，对x>0，由指数函数的性质知ax>1，ax1>0，>0.又x>0时，x3>0，x3()>0，即当x>0时，f(x)>0.又由(1)知，f(x)为偶函数，故f(x)f(x)，当x<0时，x>0，有f(x)f(x)>0.综上知当a>1时，f(x)>0在定义域内恒成立当0<a<1时，f(x).当x>0时，1>ax>0，ax1>0，ax1<0，x3>0，此时f(x)<0，不满足题意；又f(x)为偶函数，所以当x<0时，x>0，f(x)f(x)<0，也不满足题意综上可知，a的取值范围是a>1.方法二由(1)知f(x)为偶函数，只需讨论x>0时的情况当x>0时，要使f(x)>0，即()x3>0，即>0，即>0，即ax1>0，ax>1，ax>a0.又x>0，a>1.当a>1时，f(x)>0.故a的取值范围是a>1.5已知定义在实数集R上的奇函数f(x)有最小正周期2，且当x(0,1)时，f(x).(1)求函数f(x)在(1,1)上的解析式；(2)判断f(x)在(0,1)上的单调性；(3)当取何值时，方程f(x)在(1,1)上有实数解？解(1)f(x)是xR上的奇函数，f(0)0.设x(1,0)，则x(0,1)，f(x)f(x)，f(x)，f(x)(2)设0<x1<x2<1，f(x1)f(x2)，0<x1<x2<1，2x1<2x2, 2x1x2>201，f(x1)f(x2)>0，f(x)在(0,1)上为减函数(3)f(x)在(0,1)上为减函数，<f(x)<，即f(x)(，)同理，f(x)在(1,0)上时，f(x)(，)又f(0)0，当(，)(，)，或0时，方程f(x)在x(1,1)上有实数解
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