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精品资料§2.2函数的单调性与最值1 函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数yf(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数yf(x)的单调区间2 函数的最值前提设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意xI，都有f(x)M；(2)存在x0I，使得f(x0)M.(3)对于任意xI，都有f(x)M；(4)存在x0I，使得f(x0)M.结论M为最大值M为最小值1 判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“×”)(1)函数y的单调递减区间是(，0)(0，)(×)(2)对于函数f(x)，xD，若x1，x2D，且(x1x2)f(x1)f(x2)>0，则函数f(x)在D上是增函数()(3)函数y|x|是R上的增函数(×)(4)函数yf(x)在1，)上是增函数，则函数的单调递增区间是1，)(×)(5)函数f(x)log5(2x1)的单调增区间是(0，)(×)(6)函数y的最大值为1.()2 函数yx26x10在区间(2,4)上是()A递减函数 B递增函数C先递减再递增 D先递增再递减答案C解析作出函数yx26x10的图象(图略)，根据图象可知函数在(2,4)上是先递减再递增3(2013·安徽)“a0”是“函数f(x)|(ax1)x|在区间(0，)内单调递增”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件答案C解析本题利用函数的图象确定字母的取值范围，再利用充要条件的定义进行判断当a0时，f(x)|(ax1)x|x|在区间(0，)上单调递增；当a<0时，结合函数f(x)|(ax1)x|ax2x|的图象知函数在(0，)上单调递增，如图(1)所示；当a>0时，结合函数f(x)|(ax1)x|ax2x|的图象知函数在(0，)上先增后减再增，不符合条件，如图(2)所示所以，要使函数f(x)|(ax1)x|在(0，)上单调递增只需a0.即“a0”是“函数f(x)|(ax1)x|在(0，)上单调递增”的充要条件4 函数f(x)在1,2的最大值和最小值分别是_答案，1解析f(x)2在1,2上是增函数，f(x)maxf(2)，f(x)minf(1)1.5函数ylog(2x23x1)的单调减区间为_答案(1，)解析由2x23x1>0，得函数的定义域为(，)(1，)令t2x23x1，则ylogt，t2x23x12(x)2，t2x23x1的单调增区间为(1，)又ylogt在(1，)上是减函数，函数ylog(2x23x1)的单调减区间为(1，)题型一函数单调性的判断例1讨论函数f(x)(a>0)在x(1,1)上的单调性思维启迪可根据定义，先设1<x1<x2<1，然后作差、变形、定号、判断解设1<x1<x2<1，则f(x1)f(x2).1<x1<x2<1，x2x1>0，x1x21>0，(x1)(x1)>0.又a>0，f(x1)f(x2)>0，函数f(x)在(1,1)上为减函数思维升华利用定义法证明或判断函数单调性的步骤：(1)已知a>0，函数f(x)x (x>0)，证明：函数f(x)在(0，上是减函数，在，)上是增函数；(2)求函数y的单调区间(1)证明设x1，x2是任意两个正数，且0<x1<x2，则f(x1)f(x2)(x1x2a)当0<x1<x2时，0<x1x2<a，又x1x2<0，所以f(x1)f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以函数f(x)在(0，上是减函数；当x1<x2时，x1x2>a，又x1x2<0，所以f(x1)f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，所以函数f(x)在，)上是增函数(2)解令ux2x6，y可以看作有y与ux2x6的复合函数由ux2x60，得x3或x2.ux2x6在(，3上是减函数，在2，)上是增函数，而y在(0，)上是增函数y的单调减区间为(，3，单调增区间为2，)题型二利用函数的单调性求参数例2(1)如果函数f(x)ax22x3在区间(，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是()Aa> BaCa<0 Da0(2)已知f(x)满足对任意x1x2，都有>0成立，那么a的取值范围是_思维启迪利用函数的单调性求参数或参数的取值范围，解题思路为视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参答案(1)D(2)，2)解析(1)当a0时，f(x)2x3，在定义域R上是单调递增的，故在(，4)上单调递增；当a0时，二次函数f(x)的对称轴为x，因为f(x)在(，4)上单调递增，所以a<0，且4，解得0>a.综合上述得a0.(2)由已知条件得f(x)为增函数，解得a<2，a的取值范围是，2)思维升华已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：若函数在区间a，b上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值(1)函数y在(1，)上单调递增，则a的取值范围是()Aa3 Ba<3Ca3 Da3(2)已知f(x)是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为()A(1，) B4,8)C(4,8) D(1,8)答案(1)C(2)B解析(1)y1，由函数在(1，)上单调递增，有，解得a3.(2)因为f(x)是R上的单调递增函数，所以可得解得4a<8，故选B.题型三函数的单调性和最值例3已知定义在区间(0，)上的函数f(x)满足ff(x1)f(x2)，且当x>1时，f(x)<0.(1)求f(1)的值；(2)证明：f(x)为单调递减函数；(3)若f(3)1，求f(x)在2,9上的最小值思维启迪抽象函数的问题要根据题设及所求的结论来适当取特殊值，证明f(x)为单调减函数的首选方法是用单调性的定义来证问题(3)用函数的单调性即可求最值(1)解令x1x2>0，代入得f(1)f(x1)f(x1)0，故f(1)0.(2)证明任取x1，x2(0，)，且x1>x2，则>1，由于当x>1时，f(x)<0，所以f<0，即f(x1)f(x2)<0，因此f(x1)<f(x2)，所以函数f(x)在区间(0，)上是单调递减函数(3)解f(x)在(0，)上是单调递减函数f(x)在2,9上的最小值为f(9)由ff(x1)f(x2)得，ff(9)f(3)，而f(3)1，所以f(9)2.f(x)在2,9上的最小值为2.思维升华(1)抽象函数的单调性的判断要紧扣单调性的定义，结合题目所给性质和相应的条件，对任意x1，x2在所给区间内比较f(x1)f(x2)与0的大小，或与1的大小有时根据需要，需作适当的变形：如x1x2·或x1x2x1x2等；(2)利用函数单调性可以求函数最值，若函数f(x)在a，b上单调递增，则f(x)的最小值是f(a)，最大值是f(b)(1)如果函数f(x)对任意的实数x，都有f(1x)f(x)，且当x时，f(x)log2(3x1)，那么函数f(x)在2,0上的最大值与最小值之和为()A2 B3 C4 D1(2)函数f(x)在区间a，b上的最大值是1，最小值是，则ab_.答案(1)C(2)6解析(1)根据f(1x)f(x)，可知函数f(x)的图象关于直线x对称又函数f(x)在，)上单调递增，故f(x)在(，上单调递减，则函数f(x)在2,0上的最大值与最小值之和为f(2)f(0)f(12)f(10)f(3)f(1)log28log224.(2)易知f(x)在a，b上为减函数，即ab6.函数单调性的应用典例：(14分)函数f(x)对任意的m、nR，都有f(mn)f(m)f(n)1，并且x>0时，恒有f(x)>1.(1)求证：f(x)在R上是增函数；(2)若f(3)4，解不等式f(a2a5)<2.思维启迪(1)对于抽象函数的单调性的证明，只能用定义应该构造出f(x2)f(x1)并与0比较大小(2)将函数不等式中的抽象函数符号“f”运用单调性“去掉”是本小题的切入点要构造出f(M)<f(N)的形式规范解答(1)证明设x1，x2R，且x1<x2，x2x1>0，当x>0时，f(x)>1，f(x2x1)>1.2分f(x2)f(x2x1)x1f(x2x1)f(x1)1，4分f(x2)f(x1)f(x2x1)1>0f(x1)<f(x2)，f(x)在R上为增函数7分(2)解m，nR，不妨设mn1，f(11)f(1)f(1)1f(2)2f(1)1，9分f(3)4f(21)4f(2)f(1)143f(1)24，f(1)2，f(a2a5)<2f(1)，11分f(x)在R上为增函数，a2a5<13<a<2，即a(3,2)14分解函数不等式问题的一般步骤：第一步：确定函数f(x)在给定区间上的单调性；第二步：将函数不等式转化为f(M)<f(N)的形式；第三步：运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f”， 转化成一般的不等式或不等式组；第四步：解不等式或不等式组确定解集；第五步：反思回顾查看关键点，易错点及解题规范温馨提醒本题对函数的单调性的判断是一个关键点不会运用条件x>0时，f(x)>1.构造不出f(x2)f(x1)f(x2x1)1的形式，找不到问题的突破口第二个关键应该是将不等式化为f(M)<f(N)的形式解决此类问题的易错点：忽视M、N的取值范围，即忽视f(x)所在的单调区间的约束方法与技巧1利用定义判断或证明函数的单调性设任意x1，x2a，b且x1<x2，那么>0f(x)在a，b上是增函数；<0f(x)在a，b上是减函数(x1x2)f(x1)f(x2)>0f(x)在a，b上是增函数；(x1x2)f(x1)f(x2)<0f(x)在a，b上是减函数函数的单调性是对某个区间而言的2求函数的单调区间首先应注意函数的定义域，函数的单调区间都是其定义域的子集；其次掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间常用方法：根据定义、利用图象和单调函数的性质3复合函数的单调性对于复合函数yfg(x)，若tg(x)在区间(a，b)上是单调函数，且yf(t)在区间(g(a)，g(b)或者(g(b)，g(a)上是单调函数，若tg(x)与yf(t)的单调性相同(同时为增或减)，则yfg(x)为增函数；若tg(x)与yf(t)的单调性相反，则yfg(x)为减函数简称：同增异减失误与防范函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减单调区间要分开写，即使在两个区间上的单调性相同，也不能用并集表示A组专项基础训练 (时间：40分钟)一、选择题1函数f(x)中，满足“对任意x1，x2(0，)，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)”的是()Af(x) Bf(x)(x1)2Cf(x)ex Df(x)ln(x1)答案A解析由题意知f(x)在(0，)上是减函数A中，f(x)满足要求；B中，f(x)(x1)2在0,1上是减函数，在(1，)上是增函数；C中，f(x)ex是增函数；D中，f(x)ln(x1)是增函数2若函数f(x)x22ax与g(x)(a1)1x在区间1,2上都是减函数，则a的取值范围是()A(1,0) B(1,0)(0,1C(0,1) D(0,1答案D解析f(x)x22ax(xa)2a2在1,2上是减函数，a1.又g(x)(a1)1x在1,2上是减函数a1>1，a>0.由、知，0<a1.3已知函数f(x)2ax24(a3)x5在区间(，3)上是减函数，则a的取值范围是()A(0，) B(0， C0，) D0，答案D解析当a0时，f(x)12x5，在(，3)上是减函数，当a0时，由，得0<a，综上a的取值范围是0a.4已知f(x)为R上的减函数，则满足f()>f(1)的实数x的取值范围是()A(，1) B(1，)C(，0)(0,1) D(，0)(1，)答案D解析依题意得<1，即>0，所以x的取值范围是x>1或x<0.5定义新运算“”：当ab时，aba；当a<b时，abb2，则函数f(x)(1x)x(2x)，x2,2的最大值等于()A1 B1 C6 D12答案C解析由已知得当2x1时，f(x)x2，当1<x2时，f(x)x32，f(x)x2，f(x)x32在定义域内都为增函数f(x)的最大值为f(2)2326.二、填空题6函数f(x)ln(43xx2)的单调递减区间是_答案解析函数f(x)的定义域是(1,4)，u(x)x23x42的减区间为，e>1，函数f(x)的单调递减区间为.7设函数f(x)在区间(2，)上是增函数，那么a的取值范围是_答案1，)解析f(x)a，函数f(x)在区间(2，)上是增函数a1.8已知f(x)为R上的减函数，则满足f<f(1)的实数x的取值范围是_答案(1,0)(0,1)解析由f<f(1)，得>1，>1或<1，0<x<1或1<x<0.三、解答题9函数f(x)x24x4在闭区间t，t1(tR)上的最小值记为g(t)(1)试写出g(t)的函数表达式；(2)求g(t)的最小值解(1)f(x)x24x4(x2)28.当t>2时，f(x)在t，t1上是增函数，g(t)f(t)t24t4；当t2t1，即1t2时，g(t)f(2)8；当t1<2，即t<1时，f(x)在t，t1上是减函数，g(t)f(t1)t22t7.从而g(t)(2)g(t)的图象如图所示，由图象易知g(t)的最小值为8.10已知函数f(x)，x0,2，求函数的最大值和最小值解设x1，x2是区间0,2上的任意两个实数，且x1x2，则f(x1)f(x2)().由0x1x22，得x2x10，(x11)(x21)0，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，故f(x)在区间0,2上是增函数因此，函数f(x)在区间0,2的左端点取得最小值，右端点取得最大值，即最小值是f(0)2，最大值是f(2).B组专项能力提升(时间：30分钟)1已知函数f(x)x22axa在区间(，1)上有最小值，则函数g(x)在区间(1，)上一定()A有最小值 B有最大值C是减函数 D是增函数答案D解析由题意知a<1，g(x)x2a，当a<0时，g(x)在(1，)上是增函数，当a>0时，g(x)在，)上是增函数，故在(1，)上为增函数，g(x)在(1，)上一定是增函数2已知函数f(x)e|xa|(a为常数)若f(x)在区间1，)上是增函数，则a的取值范围是_答案(，1解析f(x)e|xa|f(x)在a，)上为增函数，则1，)a，)，a1.3对于任意实数a，b，定义mina，b设函数f(x)x3，g(x)log2x，则函数h(x)minf(x)，g(x)的最大值是_答案1解析依题意，h(x)当0<x2时，h(x)log2x是增函数；当x>2时，h(x)3x是减函数，h(x)在x2时，取得最大值h(2)1.4已知函数f(x)a.(1)求证：函数yf(x)在(0，)上是增函数；(2)若f(x)<2x在(1，)上恒成立，求实数a的取值范围(1)证明当x(0，)时，f(x)a，设0<x1<x2，则x1x2>0，x2x1>0，f(x2)f(x1)(a)(a)>0，f(x)在(0，)上是增函数(2)解由题意a<2x在(1，)上恒成立，设h(x)2x，则a<h(x)在(1，)上恒成立任取x1，x2(1，)且x1<x2，h(x1)h(x2)(x1x2)(2)1<x1<x2，x1x2<0，x1x2>1，2>0，h(x1)<h(x2)，h(x)在(1，)上单调递增故ah(1)即a3，a的取值范围是(，35已知f(x) (xa)(1)若a2，试证f(x)在(，2)内单调递增；(2)若a>0且f(x)在(1，)内单调递减，求a的取值范围(1)证明任取x1<x2<2，则f(x1)f(x2).(x12)(x22)>0，x1x2<0，f(x1)<f(x2)，f(x)在(，2)内单调递增(2)解任设1<x1<x2，则f(x1)f(x2).a>0，x2x1>0，要使f(x1)f(x2)>0，只需(x1a)(x2a)>0恒成立，a1.综上所述知a的取值范围是(0,1
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