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精品资料第3讲 平面向量的数量积一、选择题1若向量a，b，c满足ab且ac，则c·(a2b)()A4 B3C2 D0解析 由ab及ac，得bc，则c·(a2b)c·a2c·b0.答案 D2若向量a与b不共线，a·b0，且cab，则向量a与c的夹角为()A0 B. C. D.解析 a·ca·a·aa·ba2a20，又a0，c0，ac，a，c，故选D.答案D3若向量a，b，c满足ab，且ac，则c·(a2b) ()A4 B3 C2 D0解析由ab及ac，得bc，则c·(a2b)c·a2c·b0.答案D4已知ABC为等边三角形，AB2.设点P，Q满足，(1)，R.若·，则等于 ()A. B.C. D.解析以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则B(2,0)，C(1，)，由，得P(2，0)，由(1)，得Q(1，(1)，所以·(1，(1)·(21，)(1)(21)×(1)，解得.答案A5若a，b，c均为单位向量，且a·b0，(ac)·(bc)0，则|abc|的最大值为()A.1 B1 C. D2解析由已知条件，向量a，b，c都是单位向量可以求出，a21，b21，c21，由a·b0，及(ac)(bc)0，可以知道，(ab)·cc21，因为|abc|2a2b2c22a·b2a·c2b·c，所以有|abc|232(a·cb·c)1，故|abc|1.答案B6对任意两个非零的平面向量和，定义.若平面向量a，b满足|a|b|>0，a与b的夹角，且ab和ba都在集合中，则ab ()A. B1 C. D.解析由定义可得ba，由|a|b|>0，及得0<<1，从而，即|a|2|b|cos .ab2cos2，因为，所以<cos <1，所以<cos2<1，所以1<2cos2<2.结合选项知答案为C.答案C二、填空题7 已知向量a，b均为单位向量，若它们的夹角是60°，则|a3b|等于_解析 |a3b|2a26a·b9b2106×cos60°7，|a3b|.答案 8. 已知向量, ，若，则的值为 解析 答案 9 如图，在矩形ABCD中，AB，BC2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·，则·的值是_解析以A点为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立直角坐标系xOy，则(，0)，(，1)，设F(t,2)，则(t,2)·t，t1，所以·(，1)·(1，2).答案10已知向量a，b，c满足abc0，(ab)c，ab，若|a|1，则|a|2|b|2|c|2的值是_解析由已知a·cb·c0，a·b0，|a|1，又abc0，a·(abc)0，即a2a·c0，则a·cb·c1，由abc0，(abc)20，即a2b2c22a·b2b·c2c·a0，a2b2c24c·a4，即|a|2|b|2|c|24.答案4三、解答题11已知向量a(1,2)，b(2，2)(1)设c4ab，求(b·c)a；(2)若ab与a垂直，求的值；(3)求向量a在b方向上的投影解 (1)a(1,2)，b(2，2)，c4ab(4,8)(2，2)(6,6)b·c2×62×60，(b·c) a0a0.(2) ab(1,2)(2，2)(21,22)，由于ab与a垂直，212(22)0，.(3)设向量a与b的夹角为，向量a在b方向上的投影为|a|cos .|a|cos .12在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，2)，B(2,3)，C(2，1)(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t满足(t)·0，求t的值解(1)由题设知(3,5)，(1,1)，则(2,6)，(4,4)所以|2，|4.故所求的两条对角线长分别为4，2.(2)由题设知(2，1)，t(32t,5t)由(t)·0，得(32t,5t)·(2，1)0，从而5t11，所以t.13设两向量e1，e2满足|e1|2，|e2|1，e1，e2的夹角为60°，若向量2te17e2与向量e1te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围解由已知得e4，e1，e1·e22×1×cos 60°1.(2te17e2)·(e1te2)2te(2t27)e1·e27te2t215t7.欲使夹角为钝角，需2t215t70，得7t.设2te17e2(e1te2)(0)，2t27.t，此时.即t时，向量2te17e2与e1te2的夹角为.当两向量夹角为钝角时，t的取值范围是.14 在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知m，n，且满足|mn|.(1)求角A的大小；(2)若|，试判断ABC的形状解(1)由|mn|，得m2n22m·n3，即1123，cos A.0<A<，A.(2)|，sin Bsin Csin A，sin Bsin×，即sin Bcos B，sin.0<B<，<B<，B或，故B或.当B时，C；当B时，C.故ABC是直角三角形.
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