【赢在高考】2013高考数学大一轮复习5.8正弦定理、余弦定理的应用配套练习苏教版

【赢在高考】2013高考数学大一轮复习5.8正弦定理、余弦定理的应用配套练习苏教版1.(2012届广东I摸底） ABC中,A、B、C所对的边长分别为a、c,且a =c=2.AB BC = 2.则b=8二22 cos(二-B)=-4cosB=-2,cos B =2 -B=60 .b=a=2.2 .线段A的卜有一点C ./ABC =60 0 加 200 Irn： 汽车以80 km/h的速度由A向B亍驶，同时摩 托车以50 km/h的速度由B向。亍驶，则运动开始h后，两车的距离最小.【答案】7043【解析】如图所示，设t h后，汽车由A亍驶到D,摩托车由B亍驶到E,则 期二80LnBE=50L.因为AB=200，所以BD=200-80t,问题就是求DEM小时t的值. 由余弦定理，得 DE2 =BD2+BE2 2BD BE cos60 = (200 -80t)2 2 500t2 -(200 -80t) 50t 2=12 900t -42 000t+40 000.当t =70时,DE最小.433 .一船自西向东匀速航行 ，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75,距塔68海里的 回，下午 2时 到达这座灯塔的东南方向的N,则这只船的航行速度为 海里/时.【答案】 17，62【解析】如图所示,在 PMNhPM . 一 MN *sin450 sin12CpMN68 2 3 =34、6.v =M4N =17 而(海里/时).4 .如图，海岸线上有相距5 n mile的两座灯塔A,B,灯塔眼于火T塔A勺正南方向.海上停泊着两艘 轮船，甲位于灯塔A的北偏西75 方向，与A相距3J2 n mile的D处;乙船位于灯塔B的北偏西 601方向，与B相距 5匚idle的皿，则两艘船之间的距离为 nmile.【答案】 J13【解析】连结AC BC =AB =5 . ABC =60 ,所以 AB等边三角形.所以 AC=5,且/DAC =180-75 - 60- 45K在 AC砰,由余弦定理得CD2 =(3、2)2 52 -2 3,2 5 COS 二 =14故两艘船之间的距离为.13而已1.为测量某塔ABI勺高度，在一幢与塔A琳目距20 m的楼顶处测得塔顶 俯角为45。，那么塔ABI勺高度是m.【答案】20(1()【解析】如图所示，由已知，四边形CBMD正方形，而CB=20 m,A勺仰角为30,，测得塔基B的20 m打所以 BM=20 m.又在 RtAM冲M 20 m , NADM =30 . AM=DMtan30 =206( m).AB=AM MB =20 ,3 20 =20(1 $ m.2.如图，一货轮航行到 皿,测得灯塔琉货轮的北偏东15。，与灯塔St目距20海里，随后货轮按北偏西30。的方向航行30分钟后到达N，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为海里/时【答案】20( , 6 - 2)【解析】由题意知 SM =20 . SNM =105 .NMS=45 , / MSN =冲.-JMN-sin3020sin105MN =10 , =10(v6 -、.2).sin105”货轮航行的速度 v二10( . 6 - 正)20(, 6 - 2)海里/时.3.如图所示,在河岸ACIU量河白宽度BC,图中所标的数据a .b c萃一 ,P是可供测量的数据.下面给 填序号).b出的四组数据中，对测量河宽较适宜的是Bc和a c和b【答案】【解析】从题图中可以看出,不能直接测量出a及c,故均不适宜.只需测量出b和(在河边一侧即可测出),此时，P = 2 一 口 在 ABW ,利用正弦定理，可得b_ = asin： sin：，a=b3= b 城 sin 一 cos，=btana4 .有一长为100 m的斜坡，它的倾斜角为45、现在打算把倾斜角改为 301则坡底要伸长 【答案】50( . 6 - . 2)【解析】如图,依题意.AC =100./ACB =451 /ADC =30 J由正弦定理，得CD一100cd = 50(76-72).sin(45 U -309) sin30”5 .要测量对岸A、 B两点之间的距离，选取 J3 km的C、 D /ACB=75 ./BCD =45 .ZADC =30/ADB = 跖，则 A、B之间的距离 为 【答案】5 km【解析】如图所示，在 AC冲.ZACD =120 ,ZCAD = /ADC =30)AC =CD =3 km.在ABC砰.BCD =45 .BDC=75 .CBD=60 ,.3sin7511.6 0)后两人之间距离的表达式 (用含t的式子表示)；(2)经过多少小时两人之间的距离最短？求出最短距离.【解】(1)连结AB,则在4AO呻，由余弦定理，得AB =出2+32 2m1m3mcos60- =V7.设经过t小时，甲、乙两人分别位于点 P、Q处，则 4P=4L3 BQ=4l.当04tE3.即03,即 t A3 时.PQ2 =(4t 3)2+(1+4t)2 2(4t 3)(1+4t)cos120 .综上 PQ = 48t2 -24t 7(t 0).(2)PQ = , 48(t-4)2 4.当t = 1时，两人之间的距离最短，最短距离为2千米.411 .某观测站CAM的南偏西20的方向.由A城出发的一条公路，走向是南偏东40 ,在 皿测得 公路上距C为31千米的B处有一人正沿公路向 A城走去，走了 20千米后到达 皿，此时CD司的距 离为21千米，问这人还要走多少千米才能到达A城？【解】设/ACD =、/CDB = P .在 BC腕,由余弦定理,2 2 2-2222得cos -： =BD1CD2 -CB2= 202212-312= _12BD CD2 20 217则 sin -： =4 37而sin : -sin （P -60 尸sin : cos60 -cos l-sin604.3 i i、3 5.3=X - I X =72 7214在 AC砰,由正弦定理，得 214=-AD-.sin60 sin-21 3. AD =21sinf =一=15（千米）.sin60J2,若沿途测12.某人在塔的正东方向沿着南偏西60的方向前进40 m以后，望见塔在东北方向得塔的最大仰角为30、求塔高.【解】在 BD讨 CD =40 . BCD =30 . DBC =180 -45 =135 .由正弦定理，得 一CD一 =一BD一 sin DBC sin DCBBD =40sin30 =20/2.sin135在 RtBE阱.BDE =180 -135 -30 =15,.BE=DBsin15 =20夜 后衣=10(的1).在RtAABE .EB =30 ，AB=BEtan30 = 10(3- 3)( m).3故所求的塔高为10 (3 - 3) m.3