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3.8函数与方程4随堂演练巩固1.设函数f (x) = 1 x-ln x(x>0),有下列命题 3在区间(1 1).(1内均有零点；e在区间(1 1) .(1 .e)内均无零点 e在区间(1 1)内有零点，在区间(1,e)内无零点； e在区间(1 1)内无零点，在区间(1,e)内有零点. e正确命题的序号是【答案由题得 f ' (x) =1_1 = x 3 .令 f '(x)>0 得 x>3;令 f ' (x)<0 得 0<x<3;令 f ' (x)=0 3 x 3x得x=3，故知函数f (x)在区间(0,3)上为减函数，在区间(3,一)上为增函数，在点x=3处有极小值1-ln3<0.又 f (1) = 1 f (e) = 1 <0.f(1) = 1 +1 a 0 .故填.33e 3e2.若函数f(x)的零点与g(x) =4x +2x-2的零点之差的绝对值不超过0.25,则f(x)可以是 f(x)=4x-1 f(x) =(x1)2f(x)=ex_1f(x)=ln (x -)【答案】【解析】f(x)=4x-1的零点为x=-4 .f( x) =(x12)的零点为x=1,f(x)=e x1的零点为x=0, f(x)=ln (x1)的零点为 x=3.22因为g(0) = T g(9 =1所以g(x)的零点xW(0.1).又函数f (x)的零点与g(x) =4x +2x2的零点之差的绝对值不超过0.25,只有f (x)=4x-1的零点适合.3 .若函数f (x) =axx-a(a >0且a # 1)有两个零点，则实数a的取值范围是 .【答案】 a| a>1【解析】 设函数y =ax(a >0 .且a #1)和函数y=x+a,则函数f (x) = axx a(a >0且a#1) 有两个零点，就是函数y=ax(a >0 .且a =1)与函数y=x+a有两个交点，由图象可知，当0<a<1时两 函数只有一个交点，不符合；当a>1时，因为函数y =ax(a >1)的图象过点(0,1),而直线y=x+a所 过的点(0, a) 一定在点(0,1)的上方，所以一定有两个交点.所以实数a的取值范围是a|a>1.4 .已知f (x)=1-( x-a)( x-b)( a<b), m, n是f (x)的零点，且m<n,则a, b,m)n从小到大的顺序是.【答案】m<a<b<n【解析】利用函数图象的平移变换可得.课后作业夯基1 .若函数f (x)是R±的奇函数，有且仅有三个零点 x1 .x2.x3 .则x1+x2+x3 =.【答案】0【解析】 由于 f (0)=0,且f (x)=0 时，f (-x)=-f (x)=0,所以Xi .X2人中一个为零,另两个互为相反数.所以Xi + X2 + X3 = 0 .2 .已知f(x)=ln X-2.则函数f(X)在区间(2,3)内有个零点.X【答案】1【解析】分别作出函数 y=ln x与y = 2的图象，数形结合可得.x2_x_1x>2或 x < -13 .若f(x)=4- ""则函数g(x)=f(x)-x的零点为1-1 ：x ：2【答案】 x=1、,2x=1【解析】即求f (x)=x的根，X 之2或x M 1. 一 一 1 <x < 2.2 d 或x-x-1=x 1=x解得 x = 1 , 、2 或 x=1.，g(x)的零点为x=1+J2或x=1.4.若方程In x-6+2x=0的解为x0 .则不等式x <x0的最大整数解是【答案】2【解析】令f (x)=ln x-6+2x,则f(1)=In1-6+2=-4<0,f(2)=In2-6+4=In2-2<0, f(3)=ln3>0, 2 :二 x0 ：二 3 .，不等式xEx。的最大整数解为2.5 .若函数f (x) = x3+x2 - ax与函数g(x) =x2 x的图象只有一个公共点，则实数a的取值范围是 【答案】(-二1【解析】由 f (x)=g(x),得x3+x2 ax =x2x.即x3 - ax+ x = 0.xx2- (a -1)=0.得*=0或x2=a1.由题意知 a -1 <0>a <1.6 .(2011 山东高考，文 16)已知函数 f(x)=log ax+x b(a>0,且 a =1).当2<a<3<b<4时，函数f (x) 的零点 X0 w (n .n + 1) .n w N*.则 n=.【答案】2【解析】a>2, .f (x)=log ax+xb在(0、+=叼上为增函数，且f(2)=log a2 2 -b .f ( 3)=log a3 3-b 2<a<3<b<4,0<log a2<12 <2-b<-1.-2<log a2 +2 -b <0 .又 1<log a3 <2 ,-1 <3 -b<0,1- 0<log a3+3-b <2 .即 f (2)<0, f (3)>0.又;“*)在(0,y)上是单调函数，f(x)在(2,3)内必存在唯一零点.7 .若函数f (x) =mx2 -2x+1有且仅有一个正实数的零点，则实数m的取值范围 是 【答案】(-0- 1【解析】 当m=0时x=2为函数的零点；当mr0时，若 =0,即m=l时，x=i是函数唯一的零点， 且满足题意；若 # 0时，显然函数x=0不是函数的零点，这样函数有且仅有一个正实数零点等价 于方程mx2 -2 x + 1 =0有一个正 根和一个 负根,即。<0且 =4 4m>0.即m<0.故填 m(-二 0 一.1.8 .设f(x)是连续的偶函数，且当x>0时，f(x)是单调函数，则满足f(2x)= f (立1)的所有x之和 x 4为.【答案】-8【解析】f(x)是偶函数且x>0时f(x)单调，|2x|=| -x-1|，x 4即 2x(x 4) =(x 1). - 22 一 , 一2x +9x+1=0或 2x +7x1=0.共有四根. x x2 - - 2 .x3 x4 = -2 .，所有x之和为一9+( -7) = 一8. 2 ( 2)9 .方程x2 -mx +4 =0在闭区间-1,1上有解，则实数 M取值范围是【答案】(石5 一 5 .二)【解析】设f (x) = x2 -mx+4 .则由题意，得f (-1) f (1)<0即(m+5)(5 -m) <0所以(n+5)(m -5)之0 .解得m E 5或m之5.10 .已知关于 x的二次函数 f(x)=x2 +(2t -1)x + 1-2t.(1)求证：对于任意t WR方程f(x)=1必有实数根；(2)若1 < t < 3 .求证：方程f (x)=0在区间(-1,0)及(0 g)内各有一个实数根.【证明】(1)由f (1)=1知f(x)=1必有实数根.(2)当 2 <t <4 时，因为 f(-1) =34t =4(4t) A 0,f(0) =1-2t=2(1-t) ；0 f (1) =1 1(2t-1) 1-2t =3-t 0224 24所以方程f (x)=0在区间(-1,0)及(0 .1)内各有一个实数根.11 .若方程V3sin x+cosx=a x w 0 .2 n上有两个不同的实数解x1、x2 .求a的取值范围，以及此时x +x2的值.【解】 设 f (x)=也sin x+cosx=2sin (x +) .x 0 ,2 n6令t = x + .则y=2sin t,且t三系"丝力,在同一坐标系中作出y=2sin t与y=a的图象.66 6从图象上可看出,当1<a<2或-2< a<1时两图象有两个交点,即方程J3 sin x+cosx=a x w 0 .2 n 上有两解.此时 1<a<2或-2< a<1.由图象的对称性，当1<a<2时t1 +t2 = n,即 x1 +三 + x2 + = n.，x1 +x2 =呼.663当-2<a<1 时 t1 t2 =3 二，即 x1 +三 + x2 + =3 n，x1 +x2 =.663.a的取值范围是(1 2) (-2 1).当a w(12)时凶+x2 =立；3当 a w (-2 1)时,x1 + x2 =.312.对于函数f (x),若存在x0 W R,使f (x0)= x0 .则称x0是f (x)的一个不动点，已知函数 -2一f (x) = ax (b 1) x b-1 )(a = 0).(1)当a=1, b=-2时,求函数f (x)的不动点;(2)对任意实数b,函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围.【解】(1)当 a=1,b=-2 时 f(x) =x2-x-3.于是由 f (x)=x,即 x2 2x 3 = 0 .解得x=-1或x=3.故函数f (x)的不动点为-1和3.(2)由题意f (x)x =ax2+bx+(b-1)= 0对任意实数b亘有两个相异实根， 22所以 A=b 4a(b1)=b 4ab+4a>0b=R值成立.2所以(4 a) -16a <0 .解得 0<a<1.故a的取值范围是(0,1).
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