资源描述
第六节椭圆强化训练当堂巩固，则该椭圆的离心率是()1 .若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列A. 4 B. 3 C. 2 D.555答案:B解析:由2a,2b,2c成等差数列,所以2b=a+c.又b所以所以2221 a - c.(a c)2 =4(a2 -c2、a =5c.所以 e = c 3a).2.已知椭圆a线AB交y轴于点A. 32答案:D解析：对于椭圆与+京=1(a b 0)的左焦点为F,右顶点为A,点B在椭圆上，且BF _L x轴，直 P.若AP =2PB,则椭圆的离心率是()B. -22APC.= 2PB,则 OA =20F ,10a=2c. e =12 .3.已知椭圆2.2a b a= 1(a Ab 0)的左、右焦点分别为 R(c.0)、F2(c.0).若椭圆上存在sin/PFF?答案：(.2 -1 1)sin PER.则该椭圆的离心率的取值范围为解析：因为在 PF1 F2中，由正弦定理得PF2PF1则由已知，得用2 r IPF1 rsin PF1F2sin PF2F1即a| PF1 |=c| PF2.由椭圆的定义知| PF1|+| PF2|=2a,贝uc| PF2|+| PF2|=2a,即 | PF2| =-20. ac a2_2_c 2c-a 0由椭圆的几何性质知| PF2 |a+c,贝U -2a a+c,即c a所以 e2 +2e1 .解得 e J21.又e50 1).故椭圆的离心率eJ211).224.椭圆士 + ； =1的左、右焦点分别为F1、 F2 .点P在椭圆上，若| PF1 |=4,则 92| PF2|= :NF1PF2 的大小为 .答案:2 120解析：= a2 =9b2 =2. c = . a2 - b2 =, 9 - 2 = 7| F1F21 2,7.又| PFi|=4,| PFi|+| PF2|=2a=6, I PF2|=2.又由余弦定理得cos. F1PF222 42 一(2.7)22 2 4 NF1PF2 =120,，故应填 2,120.5.已知椭圆+%=1(a b0)的离心率e=H3 .连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面 a b2积为4.(1)求椭圆的方程；(2)设直线l与椭圆相交于不同的两点A,B.已知点A勺坐标为(-a,0).若|AB| =承求直线的倾斜角；5若点Q(0 .y。)在线段ABW垂直平分线上,且QA QB =4.求y0的值.解：(1)由 e = c a冬.得3a2 =4c2.再由c2 = a2 b2.解得 a=2b.由|AB| =4得正=幺5514k521 4k4、1 k221 4k由题意可知 2 M 2aM 2b =4.即ab=2.a = 2b解方程组 a得a=2,b=1.ab = 2.所以椭圆的方程为 $-y2=1.4(2)由(1)可知点A勺坐标是(-2,0).设点B的坐标为(x1 .y1).直线l的斜率为k.则直线l的方程为y=k(x+2).土y = k(x 2).于是A,B两点的坐标满足方程组 2 22消去y并整理，得冷 y :1(1 4k2)x2 16k2x (16k2 -4) = 0.22由-2x1 =16k -24 .得 x1 = 28k2 .从而 y1 = 4k 2 .1 4k21 4k21 4k2所以 |AB| = J(-2 -28k2)2 +(-4k 2) .1 4k21 4k2整理得 32k4 -9k2 -23 = 0 (k2 -1)(32k2 +23) =0.解得 k =1.所以直线l的倾斜角为亍或会设线段AB勺中点为M,由得M勺坐标为/8k22k 、(-_2T2 2.).14k 14k以下分两种情况：（i ） 2=0时，点B的坐吗（2,0）,线段AB勺垂直平分线为y轴, 于是 QA =（-2 .-y） QB =（2 .-y。）.由 QA QB =4,得 y0 = 2 J2 .（ii ）当k 0时，线段ABI勺垂直平分线方程为2k21 4k2-x件)令 x=0,解得 y = 6k.T 3QA(-2.-yo) QB =(xiy-yo).QA QB = -2xi - y0( yi - y)= 8 F(七 14k14k 14k4(16k4 15k2 -1) 2 2 4(1 4k2)2整理得7k2 =2.故k = 土平.所以y0 = 22/4 .yo5综上 y。=-2.2 或 y0 =一4.5课后作业巩固提升见课后作业A题组一椭圆的离心率问题2 v21.椭圆 5+方=1（a Ab 0）的右焦点为F,其右准线与x轴的交点为A,在椭圆上存在点 a b足线段AP勺垂直平分线过点F,则椭圆离心率的取值范围是（）B. (0 2D.2 1)A. (0 负C. .2 -1 1)答案:D解析:|AF| =a-c = b-.而|PF| Ea+c.c c所以a c- c即 2e2 +e-1 之0.解得 12 e0.n0）的右焦点与抛物线y =8x的焦点相同m n,离心率为2 .则此椭圆的方程为：)2 .2A.工上=112 1622C.Y E=148 64答案:B22B.2 E = 116 1222D.工上二164 48解析：由题意可知:c=2,且焦点在x轴上.由e = 2 .可得m=4, n2 = m2 c2=12 .故选B.题组二椭圆的定义4.设幅椭圆A.4C.8答案:D22三+上=1上的点.若F1.F2是椭圆的两个焦点，则| PF1I+I25 16B.5PF2I等于（）D.10解析：因为a=5,所以| PF11+|PF2 |=2a=10.5.设直线l :2x+y-2=0与椭圆+ =1的交点为A、巳点是椭圆上的动点,则使 PA的积为3的点P的个数为（）B.2C.3D.4A.1答案:D解析：联立方程组2x y -2x2=0,+击日 x = 0消去y整理解得：y =2X = 1或|AB|y = 0结合图象知P的个数为4. 题组三椭圆的综合应用6.已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为 厚.且Gk一点到G的两个焦点的距答案：x236解析：e =离之和为12,则椭圆G勺方程为r12冬.2a = 12 .a = 6,b=3,则所求椭圆方程为 工+夫=1.236 92 I ：7 .已知F1、F2是椭圆C：xT+y7 = 1（ab0）的两个焦点,P为椭圆C上一点，且PF1，PF2. a b若 PF1F2的面积为9,则b=_答案：3I IPF1 卜;IPF2 =2a.解析：依题意，有 PF1 MPF2 1=18.可得 4c2+36 =4a2 .即 a2 C2 =9.，b=3.PF1 2PF2 2 = 4c2 .228 .在平面直角坐标系 xOy中.A A-B1 -B2为椭圆 七+ X2=1（aAbA0）的四个顶点，F为其 a b右焦点，直线A1B2与直线BiF相交于点T,线段OTT椭圆白交点 擀为线段OT勺中点，则该椭 圆的离心率为.答案：2,7-5 解析：直线AB2的方程为：+2=1;-ab直线BF的方程为：/二则。冲点M (ac b(a c)a - c 2(a -c)=1;二者联立解得点T (Nac b(a+c) a-c a -c22)在椭圆 X2+-y2-=1(ab0)上,a bc2. (a c)222(a -c)2 4(a -c)2 解得 e =2、7 -5.29.已知椭圆C: x- 2,22-3=1 c 10ac -3a = 0 e 10e-3=0,2+ y2 = 1的两焦点为F1尸2 .点P(x0 .y。)满足0 与十y； 1 .则I PFi|+| PF2I的取值范围为，直线x2x + yoy =1与椭圆c的公共点个数为 答案：2 ,2、, 2) 0解析：延长 PR 交椭圆 C于点 M,故| FRI | PFi|+| PF2| MFi|+| MF2|=2a, 即 2 汩 PFi|+| PF2I ：二2、,2 ;当y =0时.0x2 2 .直线 萼+y0y=1为乂=式“如广衣)、)与椭圆C无交 2x点；x x0x1 - -2当y0 # 0时，直线-0- + y0y =1为y =2-.代入+ y2 =1中有2 y022借 y2)x2 -2X0X 2 _ 2y2 -012=4x2 -4(22L y：)(2 -2y2)2 x02=8(寸 y0 -1) 0，直线与椭圆无交点.10.已知邱椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D,且 BF =2FD -则椭圆C的离心率为 答案：逝3解析：如图，不妨设B(0,b)为上顶点，F(c,0)为右焦点，设 D(x,y).由 BF = 2FD ,#(c,-b)=2(x-x =3c即卜=2(X-C).解得 2 D(3c .b).(七=2y.* = 322)2由BF=2FD.可得|FD| =2|BF| =2.2 2又由椭圆第二定义知，| FD | =(a_ 3c) e = (a_ 3c)，c .由解得a2 =3c2 .即e2 =1e =工3.3 32v2B1AB2 A211.如图，椭圆C：七+4=1的顶点为AA2B.B2、焦点为F1,F2.|A1B1| a b=2SBiFiB2F2 .求椭圆C勺方程；,(2)设n为过原点的直线-J餐与n垂直相交于P点.与椭圆相交于A,B两点的直线,| OP |=1.是 否存在上述直线l使OA OB = 0成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由| 解：(1)由| AB1| =知 a2+b2 =7.由 S|_B1AB2A2 =2S_BiFi&F2 知 a=2c,一 .222_又b =a -c . 由，解得a2 =4.b2 =3 .故椭圆C勺方程为x2 +y =1.4-34(2)设A,B两点的坐标分别为(X, .%) b0)过点(1.虐).离心率为 球.左、右焦点分别为F1、 a b22F2 .点P为直线l：x+y=2上且不在x轴上的任意一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为 AE和C .D .O为坐标原点(1)求椭圆的标准方程.(2)设直线PF1 ,PF 2的斜率分别为k1,k 2 .(i )证明：1 3 =2.k1k2(ii )问直线l上是否存在点P,使得直线OA .OB .OC OD的斜率kOA, kOB ,kOC ,kOD满足koA+ koB+koC +koD =0?若存在,求出所有满足条件的点 P的坐标；存不存在,说明理由解：(1)因为椭圆过点(1鸟)e二堂.所以 J2 =1 c =_2 .a 2b a 2P 2-22乂 a = b c .所以 a = . 2 b =1 c=i.2故所求椭圆的标准方程为2 y2 =1.2，(2)( i )证明：方法一：由于F1(-1 .0) ,F 2(1.0) .PF1, PF2的斜率分别为上，所以 k1 = k2 k1 = 0 k2 = 0.k1, k2 .且点P不在x轴又直线PF .PF2的方程分别为y =k1(x+1).y =kz(x1)._ kL_kgx 一 k . k联立方程解得21、，2kky=所以 P(k_Jk2 2kb). k2 - k1 k2 - k1由于点P在直线x+y=2上，所以 k1 k2 2k1k2 =2.k2 - k1因此 2kk 3k1 -k2 =0即；1R =2.结论成立.( k2方法一：设 P(x0 .y0).则 k1 = -k2 = . % 1x0 -1因为点P不在x轴上，所以y 0 .又 xO , yO = 2所以 13 _ x0 1 3(x0 -1) 4-2x0 =2yok1 k2yyy y因此结论成立.(ii )设 A(Xa (a) B(Xb Nb) C(Xc Nc) . D(Xd )1联立直线PFi与椭圆的方程得y = k1(x 1).x22y2 =1化简得(2k12 1)x2 4k12x 2k；-2 =0因止匕xA - xB224kl22k2 - 22k2 1 XaXb _ 2k12 1由于OA,OB勺斜率存在，所以xA # 0.xB # 0 .因此k； 001.因此kOAkOB二也上二处.k1(XB1)XaXb.2ki ki xAxB =(2 -XAXBXa4k12XB2k12 - 22k12k2ki2 -1相似地，可以得到Xc#0.XD=0.k200.1.k0c+kOD=故 kOA kOB kOC kOD - -2( , 2 1 / , 2 2 / k1 -1k2 -1_ 2 k1k2 - kk1 k2 - k2二(k12 -1)(k| -1)_ 2(kk -1)(k1k2)一 一 (k12 -1)(k2 -1).若 koA +%b +koc +koD = 0.须有 kI + k2 = 0 或卜水2 = 1.当k1 +k2 = 0时，结合(i )的结论，可得k2 = 2 ,所以解得点P的坐标为(0,2)；当kk =1时，结合(i )的结论，解得k2 =3或k2 =1(此日k 二 1 .不满足4#k2.舍去), 此时直线CD勺方程为y=3(X-1),联立方程X+y=2得x =-5 .y = 3 .44因此P(5 3).4 4综上所述，满足条彳的点P的坐标分别为(0 .2).(5金)|4 4
展开阅读全文