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第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布、统计第1讲 分类加法计数原理与分布乘法计数原理随堂演练巩固1 .在所有两位数中，个位数字小于十位数字的两位数的个数是（）A.45B.44C.43D.42【答案】A【解析】个位数字小于十位数字的两位数共有9- 8-7 + 6+ 5T+3-2+1-个）.2 .已知x W 2,3,7 .yW -31,-24,4,则x，y可表示不同的值的个数是 （）A.2B.3C.6D.9【答案】D【解析】用分步乘法计数原理，第一步选x有3种方法，第二步选y也有3种方法，共有3父3 = 9种方法.3 .一生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看，现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道 工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人，则不同的安排方案共有（）A.24 种B.36 种C.48 种D.72 种【答案】B【解析】分两类：（1）第一道工序安排甲时有 1父1父4M3 = 12种；（2）第一道工序不安排甲时有1父2M4M3=24种. ，共有12+24=36种.4 .从6个人中选4个人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市至少有一人游览，每人只游览一个城市，且这6个人中，甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有（）A.300 种B.240 种C.144 种D.96 种【答案】B【解析】能去巴黎的有4个人，能去剩下三个城市的依次有5个人、4个人、3个人，所以不同的选择方案有4 M 5M 4 M 扑见M.种）.5.用5种不同的颜色给图中的 A,B,C,D四个区域涂色，规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，则有 种不同的涂色方案|【答案】180【解析】 先分类：第一类:D与A不同色，则分四步完成，第一步涂A有5种方法；第二步涂B有 W种 方法；第三步涂C有3种方法；第四步涂D有 2种方 法.由分步乘法计数原理共有 5父4父 3 M2 -12。（种第二类：D与A同色，分三步完成，第一步涂D与A有5种方法；第二步涂B有4种方法；第三步涂C有3种 方法I由分步乘法计数原理共有5 M 4 M 3 = 60（种）.所以共有涂色方案120+60=180（种）.课后作业夯基基础巩固1 .有三本不同的书，一个人去借，至少借一本的方法有（）A.3种B.6种C.7种D.9种【答案】C【解析】分三类：第一类，借1本书，有3种借法；第二类，借2本书，有3种借法；第三类，借3本书，有1种借法.所以，由分类加法计数原理，共有借法 3+3 +1-7（种）.2 .有不同颜色的四件上衣与三件不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配套，种数为（）A.7B.64C.12D.81【答案】C【解析】由分步乘法计数原理有配套方法4 m 3 = 12（种）.3 .如图，在3 M 4的方格（每个方格都是正方形）中，共有正 方形 ）A.12 个B.14 个C.18 个D.20 个【答案】D【解析】 将所有正方形分成 3类：边长为1的正方形共有12个；边长为2的正方形共有6个;边长为3的正方 形共有 2个!所以共有正方形12+ 6+2 -如（个）.4 .从1到10的正整数中，任意抽取两个相加所得和为奇数的不同情形的种数是（）A.10B.15C.20D.25【答案】D【解析】当且仅当偶数加上奇数时和为奇数，从而不同，情形有5M5 =25（种）.5 .五个工程队承建某项工程的五个不同的子项目，每个工程队承建1项，其中甲工程队不能 承建 1号子项目，则不同的承建方案共有（）A.4 种B.96 种C.16 种D.24 种【答案】B【解析】分五步完成.第一步，甲工程队选承建项目，有4种方法；第二步，第二个工程队选承建项目，有4种方法；第三步，第三个工程队选承建项目，有3种方法；第四步，第四个工程队选承建项目，有2种方法；第五步，第五个工程队选承建项目，有1种方法.共有4M4M3M2父1 =96种方法.6 .有一个圆被两相交弦分成四块，现在用5种不同颜料给这四块涂色，要求共边两块白颜色互异，每块只涂一色，共有涂色方法种数是（）A.240B.250C.260D.180【答案】C【解析】如图所示，分别用a,b,c,d 表示这四块区域,a与c可同色也可不同色，可先考虑给a,c两块涂色，可分两类：给a,c涂同种颜色共5种涂法，再给b涂色有4种涂法，最后给d涂色也有4种涂法.由分步乘法计数原理知此时共有5 M4 M4 =80种涂法.给a,c涂不同颜色共有5M4 = 20种涂法，再给b涂色有3种涂法，最后给d涂色也有3种涂法，此时共有 20M 3M 3 =180种涂法.故由分类加法计数原理知，共有5M4父4+ 20M3M3=260种 涂法I7 .（2012辽宁大连月考）如图,A、B、C、D为四个村庄，要修筑三条公路，将这四个村庄连接起来，则不同的修筑 方案共有（）（3）A.8 种B.12 种C.16 种D.20 种【答案】C【解析】修筑方案可分为两类：一类是“折线型，用三条公路把四个村庄连在一条曲线上如图（1）,A B C-D,有A4种方案；另一类是“星型，以某一个村庄为中心，用三条公路发散状连接其他三个村庄如图（2）,A -B,A-C,A-D，有4种方案.故共有12+4=16种方案.228 .设集合A=1,2,3,4,5a .b亡A .则方程2a十毛=1表示焦点位于y轴上的椭圆有个.【答案】10【解析】 分四类.第一类,b=5时，有4个；第二类，b=4时I 有3个；第三类，b=3时，有2个；第四类，b=2时,有1个.根据分类加法计数原理,共有4-3+2- I二10个.9 .某学校组织3名同学去4个工厂进行社会实践活动，其中工厂A必须有同学去实践，每个同学去哪个工厂可 自行选择，则不同的分配方案共有种（用数字作答）.【答案】37【解析】方法一（直接法）:（1）有1名同学去A工厂，则共有3m3父3二27种分配方案；（2）有2名同学去A工厂，则共有3父3 = 9种分配方案；（.3）有3名 同学去A工厂，则有 1种 分配方案，故共有27+9+1=37 种. 3. 3万法一（间接法）：自由选择去4个工厂有4种方法，工厂A不去，自由选择其余3个工厂有3种方法，故不同的分配方案有43 -33 =37种.10 .如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的”正交线面对”的个数是【答案】36【解析】若“正交线面对”中的平面为正方体的某一面，则过其四个顶点的垂线与该面是”正交线面对”，而这样的”正交线面对”有 6父4=24（个）.若”正交线面对”中的平面为正方体的某一对角面，则过正方体必有两条面对角线与该平面垂直，因而这样的”正交线面对”有6M2= 121个,），因而共有 24+12=36（个）.11 .已知集合 A=a1a2aa4,集合B=bb2,其中 a b （i =1.2.3,4；j=1,2）均为实数.（1）从集合A到集合B能构成多少个不同的映射 ？（2）能构成多少个以集合 A为定义域，以集合B为值域的不同函数？【解】（1）因为集合A中的每个元素ai（i =12.3,4）与集合B中元素的对应方法都有 2种，由分步乘法计数原理，构成AtB的映射有2M2M2M2=24 =16（个）.（2）在（1）的映射中 a ,a 2 ,a 3 ,a 4均对应同一元素b1或b2的情形构不成以集合A为定义域，以集合B为值域的函数，这样的映射有2个.所以，构成以集合A为定义域，以集合B为值域的函数有16-2=14（个）.12 .用0,1 ,2,3,4,5 可以组成多少个无重复数字的比2 000大的4位偶数？【解】完成这件事可分为3类：第一类是用0作结尾的比2 000大的4位偶数，它可以分三步去完成：第一步，选取千位上的数字，只有2,3,4,5 可以选择，有4种选法；第二步，选取百位上的数字，除0和千位上已选定的数字以外，还有4个数字可供选 择，有4种选法；第三步，选取十位上的数字，还有3种选法.依据分步乘法计数原理，这类数的个数有4 M 4 M3 翌（个）；第二类是用2作结尾的比2 000大的4位偶数，它可以分三步去完成：第一步，选取千位上的数字，除去2,1,0 只有3个数字可以选择，有3种选法；第二步，选取百,位上的数字，在去掉已经确定的首尾两数字之后，还有4个数字可供选择，有4种选法；第三步，选取十位上的数字，还有3种选法.依据分步乘法计数原理，这类数的个数有 3M 4父3 =36（个）；第三类是用4作结尾的比2 000大的4位偶数，其步骤同第二类.这类数的个数为3M4M3=36（个）. 综上 可知，符合题设条件的四位数共有必+：帏- 36 - 120（个）.13.已知集合 M=-3,-2,-1,0,1,2,若 a.b.CWM.则：(1) y =ax2+bx+c可以表示多少个不同的二次函数(2)y -ax2 bx c可以表示多少个图象开口向上的二次函数.2【解】(1)a的取值有5种情况，b的取值有6种情况，C的取值有6种情况，因此y = ax +bx+c可以表示 5父6父6=跳。个不同的二次函数.22.(2)y=ax +bx+c的开口向上时，a的取值有2种情况，b、c的取值均有6种情况，因此y = ax +bx + c可 以表示2 M6 M6 =72个图象开口向上的二次函数.14.如图，从A地到B地有3条不同的道路，从B地到C地有4条不同的道路，从A地不经B地直接到C地有 2 条不同的道路.(1)从A地到C地共有多少种不同的走法 ？(2)从A地到C地再回到A地有多少种不同的走法？(3)从A地到C地再回到A地，但回来时要走与去时不同的道路，有多少种走法？【解】(1)从A地到C地的走法分为两类：第一类经过B,第二类不经过 B.在第一类中分两步完成，第一步 从A到B,第二步从B到C,所以从A地到C地的不同走法总数是3M 4 12二,14(种).(2)该事件发生的过程可以分为两大步：第一步去，第二步回.由(1)可知这两步的走法都是14种，所以去后又回来的走法总数是14父14 =196(种).(3)该事件的过程与(2) 一样可分为两大步，但不同的是第二步即回来时的走法比去时的走法少一种，所以,走法总数为14 M13 =182(种).5
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