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（新教材）北师大版精品数学资料章末复习课对应学生用书P18对应学生用书P19在平面直角坐标系内求曲线(轨迹)方程由于在平面直角坐标系求曲线(轨迹)方程是解析几何非常重要的一类问题，在高考中常以解答题中关键的一问的形式出现，一般与平面解析几何、向量、函数等知识交汇命题常用的方法有：(1)直接法：如果题目中的条件有明显的等量关系或者可以推出某个等量关系，即可用求曲线方程的五个步骤直接求解(2)定义法：如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可依定义写出轨迹方程(3)代入法：如果动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x1，y1)，而Q(x1，y1)又在某已知曲线上，则可先列出关于x，y，y1，x1的方程组，利用x，y表示x1，y1，把x1，y1代入已知曲线方程即为所求(4)参数法：动点P(x，y)的横纵坐标用一个或几个参数来表示，消去参数即得其轨迹方程例1如图，圆O1和圆O2的半径都是1，|O1O2|4，过动点P分别作圆O1和圆O2的切线PM，PN(M，N分别为切点)使得|PM|PN|，试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程解如图，以直线O1O2为x轴，线段O1O2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则两圆心的坐标分别为O1(2,0)，O2(2,0)设P(x，y)，则|PM|2|PO1|2|MO1|2(x2)2y21.同理，|PN|2(x2)2y21.|PM|PN|，即|PM|22|PN|2.即(x2)2y212(x2)2y21即x212xy230.即动点P的轨迹方程为(x6)2y233.求曲线的极坐标方程在极坐标系中求曲线的极坐标方程是高考考查极坐标系的一个重要考向，重点考查轨迹极坐标方程的探求及直线和圆的极坐标方程的确定与应用问题求曲线的极坐标的方法和步骤，和求直角坐标方程类似，就是把曲线看作适合某种条件的点的集合或轨迹，将已知条件用曲线上的极坐标，的关系式f(，)表示出来，就得到曲线的极坐标方程例2已知RtABO的直角顶点A在直线cos 9上移动(O为原点)，又AOB30°，求顶点B的轨迹的极坐标方程解如图，设B(，)，A(1，1)则cos 30°1，即1.又1cos 19，而130°，cos 30°cos9，即cos6.若点B的位置如图所示，同理得点B的轨迹方程为cos6.综上所述，点B的轨迹方程为cos6.例3已知定点A(a,0)，动点P对极点O和点A的张角OPA.在OP的延长线上取点Q，使|PQ|PA|.当P在极轴上方运动时，求点Q的轨迹的极坐标方程解设Q，P的坐标分别是(，)，(1，1)，则1.在POA中，1·sin，|PA|，又|OQ|OP|PA|，2acos.极坐标与直角坐标的互化极坐标与直角坐标的互化主要考查点的极坐标与直角坐标的互化以及曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化，将不熟悉的极坐标(方程)问题转化为熟知的问题求解解决此类问题，要熟知：互化的前提依旧是把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴并在两种坐标系下取相同的单位长度互化公式为直角坐标方程化极坐标方程可直接将xcos ，ysin 代入即可，而极坐标方程化为直角坐标方程通常将极坐标方程化为cos ，sin 的整体形式，然后用x，y代替较为方便，常常两端同乘以即可达到目的，但要注意变形的等价性例4把下列极坐标方程化为直角坐标方程(1)2acos (a0)；(2)9(sin cos )；(3)4；(4)2cos 3sin 5.解(1)2acos ，两边同时乘以，得22acos ，即x2y22ax.整理得x2y22ax0，即(xa)2y2a2，是以(a,0)为圆心，以a为半径的圆(2)两边同时乘以得29(sin cos )，即x2y29x9y，又可化为22，是以为圆心，以为半径的圆(3)将4两边平方得216，即x2y216，是以原点为圆心，以4为半径的圆(4)2cos 3sin 5，即2x3y5，是一条直线例5将下列极坐标方程化为直角坐标方程(1)；(2)2；(3)2cos 7sin .解(1)tan ，tan.yx0.(2)2，0或1.x2y20或x2y21.(3)两边同乘以得：2cos 7sin .2x7y0.例6若两圆的极坐标方程分别为2cos 和2sin ，求两圆的公共弦长解法一：将两圆方程化为直角坐标方程为：x2y22x0和x2y22y0.由得yx，即为公共弦所在直线方程由得交点坐标为(0,0)，(1,1)弦长为.法二：设除极点外的公共点坐标为P(，cos )(0)则2cos 2sin ，tan 1.由于0，.2cos.公共弦长为.一、选择题1在极坐标系中，已知两点A，B，则A，B两点间的距离是()A1B2C3 D4解析：选D设极点为O，AOB，A，O，B三点共线A，B两点间的距离|AB|OA|OB|314.2在极坐标系中，与点关于极点对称的点的一个坐标是()A. B.C. D.解析：选A点(，)关于极点对称的点为(，)，故关于极点对称的点的一个坐标为，即.3在极坐标系中，已知一个圆的方程为12sin，则过圆心与极轴垂直的直线的极坐标方程是()Asin 3 Bsin 3Ccos 3 Dcos 3解析：选C圆12sin()化为x2y26x6y0，其圆心为(3,3)，所求直线方程为x3化为极坐标方程：cos 3.4直线和直线sin()1的位置关系是()A垂直 B平行C相交但不垂直 D重合解析：选B直线化为直角坐标方程为yxtan，sin()1化为sin cos cos sin 1，即yxtan.所以两直线平行二、填空题5已知一条直线的极坐标方程为sin，则极点到该直线的距离是_解析：sinsin cos cos sin sin cos ，sin cos 1，即xy1.则极点到该直线的距离d.答案：6(上海高考)在极坐标系中，曲线cos 1与cos 1的公共点到极点的距离为_解析：联立得(1)1，又0，故两曲线的公共点到极点的距离为.答案：7极坐标方程52cos 22240表示的曲线焦点的极坐标为_解析：极坐标方程52cos 22240化为52(cos2sin2)2240，即3x22y212.得标准方程为1.所以a24，b26，c.所以两焦点的极坐标为(，0)，(，)答案：(，0)，(，)8如图，在极坐标系中，过点M(2,0)的直线l与极轴的夹角.若将l的极坐标方程写成f()的形式，则f()_.解析：在直线l上任取点P(，)，在OPM中，由正弦定理得，即，化简得，故f().答案：三、解答题9在极坐标系中P是曲线12sin 上的动点，Q是曲线12cos上的动点，试求PQ的最大值解：以极点O为原点，极轴为x轴建立直角坐标系xOy，将方程12sin 化为直角坐标方程为x2y212y，它表示圆心为(0,6)，半径为6的圆将12cos化为直角坐标方程为(x3)2(y3)236，它表示以(3，3)为圆心，6为半径的圆由圆的位置关系可知，当P，Q所在直线为连心线所在直线时，PQ长度可取最大值，且最大值为6618.10已知A(1,0)，B(1,4)，在平面上动点P满足·4，点Q是点P关于直线l：y2(x4)的对称点，求动点Q的轨迹方程解：法一：设P(x，y)，则(1x，y)，(1x,4y)，故由·4(x1)(1x)(y)(4y)4，即x2(y2)232.P的轨迹是以C(0,2)为圆心，以3为半径的圆点Q是点P关于直线y2(x4)的对称点，动点Q的轨迹是一个以C0(x0，y0)为圆心，半径为3的圆，其中C0(x0，y0)是点C(0,2)关于直线y2(x4)的对称点，即直线y2(x4)与CC0垂直，且过CC0的中点，于是有即故动点Q的轨迹方程为(x8)2(y2)29.法二：设P(x，y)，则(1x，y)，(1x,4y)，故由·4(x1)(1x)(y)(4y)4，即x2(y2)232(*)设点Q的坐标为Q(u，v)，Q，P关于直线l：y2(x4)对称，PQ与直线l垂直，于是有.PQ的中点在l上，有2(4).由可解得代入方程(*)得(3u4v32)2(4u3v26)2(3×5)2，化简得u2v216u4v590(u8)2(v2)29.故动点Q的轨迹方程为(x8)2(y2)29.对应学生用书P41(时间：90分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中只有一个是正确的)1在极坐标中有如下三个结论：点P在曲线C上，则点P的极坐标满足曲线C的极坐标方程；tan 1与(0)表示同一条曲线；3与3表示同一条曲线在这三个结论中正确的是()ABC D解析：选D在直角坐标系内，曲线上每一点的坐标一定适合它的方程，但在极坐标系内，曲线上一点的所有坐标不一定适合方程，故是错误的；tan 1不仅表示这条射线，还表示这条射线，故亦不对；3与3差别仅在于方向不同，但都表示一个半径为3的圆，故正确2原点与极点重合，x轴正半轴与极轴重合，则点(5，5)的极坐标是()A. B.C. D.解析：选B设点(5，5)的极坐标为(，)，则tan ，x<0，最小正角，10.3已知点P的柱坐标为，则它的直角坐标为()A(，1,1) B(1,1,1)C(，1) D(1,0,1)解析：选B设点P的直角坐标为(x，y，z)则有xrcos cos 1，yrsin sin 1，z1.点P的直角坐标为(1,1,1)42cos 2sin 表示的曲线是()A直线 B圆C射线 D半圆解析：选B两边同乘以得：22cos 2sin .把2x2y2，xcos ，ysin 代入得：x2y22x2y0，表示圆5曲线22(3cos 2sin )0的对称中心的直角坐标是()A(3,2) B(2,3)C(3,2) D(3，2)解析：选C原方程可化为：x2y26x4y0.即：(x3)2(y2)213.它的对称中心为(3,2)6设点P的直角坐标为(4,4,4)，则它的球坐标为()A. B.C. D.解析：选A设点P的球坐标为(r，)，则r8，tan 1.又x>0，.48cos ，cos .0，.点P的球坐标为.7在极坐标系中，与圆4sin 相切的一条直线方程为()Asin 2 Bcos 2Ccos 4 Dcos 4解析：选B如图，C的极坐标方程为4sin ，COOx，OA为直径，|OA|4，sin 2表示直线y2，cos 4表示直线x4，cos 4表示直线x4，均不与圆相切，只有B符合8在极坐标系中，圆4cos 4sin 的圆心坐标是()A. B.C. D.解析：选A将原方程化成直角坐标方程，得(x2)2(y2)28，圆心坐标为(2,2)，化成极坐标为.9在极坐标系中，设圆3上的点到直线(cos sin )2的距离为d，则d的最大值为()A5 B6C4 D3解析：选C极坐标方程3转化成直角坐标方程为x2y29，所以圆心为(0,0)，半径为3，(cos sin )2转化成直角坐标方程为xy2.则圆心到直线xy2的距离d1.圆上的点到直线的最大距离为d3134.10在极坐标系中，过点A(6，)作圆4cos 的切线，则切线长为()A2 B6C2 D2解析：选C圆4cos 化为(x2)2y24，点(6，)化为(6,0)，所以切线长2.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上)11已知曲线C1，C2的极坐标方程分别为cos 3，4cos ，则曲线C1与C2交点的极坐标为_解析：由得4cos23.2(1cos 2)3，cos 2.又02<，.故2，曲线C1与C2的交点的极坐标为.答案：12若曲线的极坐标方程为tan ·，则该曲线的直角坐标方程为_解析：由tan ·，得cos2sin ，2cos2sin ，化为直角坐标方程为x2y.答案：x2y13在极坐标系中，点到直线sin1的距离是_解析：点化为直角坐标为(，1)，直线方程可化为sin cos 1，即xy20，由点到直线的距离公式得d1.答案：114在极坐标系中，曲线C1：(cos sin )1与曲线C2：a(a>0)的一个交点在极轴上，则a_.解析：曲线C1的直角坐标方程为xy1，曲线C2的直角坐标方程为x2y2a2，C1与x轴的交点坐标为，此点也在曲线C2上，代入解得a.答案：三、解答题(本大题共4小题，共50分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分12分)(广东高考改编)在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为sin2cos 和sin 1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，求曲线C1和C2的交点的直角坐标解析：由sin2cos 2sin2cos y2x，又由sin 1y1，联立故曲线C1和C2交点的直角坐标为(1,1)16(本小题满分12分)极坐标方程cos 与cos1表示的两个图形的位置关系是什么？解：cos 可变为2cos ，化为普通方程为x2y22x，即(x1)2y21，它表示圆，圆心为(1,0)，半径为1.将cos1化为普通方程为xy20.圆心(1,0)到直线的距离为1，直线与圆相离17(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设椭圆的长轴长为10，中心为(3,0)，一个焦点在直角坐标原点(1)求椭圆的直角坐标方程，并化为极坐标方程；(2)当椭圆过直角坐标原点的弦长为时，求弦所在直线的直角坐标方程解：(1)由已知，得a5，c3，故b4，所以椭圆的直角坐标方程为1.由于xcos ，ysin ，代入上式，得1，即252(163cos )2，即5163cos .所以椭圆的极坐标方程为.(2)设过直角坐标原点的弦的倾斜角为，弦的两端点分别为P1(1，)，P2(2，)，则有1，2.由于12，所以，则cos2cos ±或.所以所求直线的直角坐标方程为yx或yx.18.(本小题满分14分)如图所示，点P为直线xy1上的动点，O为原点，求正方形OPQR的顶点R，Q轨迹的极坐标方程，并化成直角坐标方程解：以Ox为极轴建立极坐标系，则直线xy1的极坐标方程为(cos sin )1.设点P(0，0)，Q(1，1)，R(2，2)，由题意由得0(cos 0sin 0)1，点Q的轨迹方程为11，化简得1sin 11或1cos 11.化为直角坐标方程为y1或x1.由得代入0(cos 0sin 0)1得21，化简得点R的轨迹方程为2(sin 2cos 2)1或2(cos 2sin 2)1.化为直角坐标方程为：xy10或xy10.
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