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+二二一九高考数学学习资料一九高考数学学习资料+第 3 讲几何概型一、填空题1点 P 在边长为 1 的正方形 ABCD 内运动，则动点 P 到定点 A 的距离|PA|1 的概率为_解析如图，以 A 为圆心，半径为 1 的圆在正方形 ABCD 内的面积为4，故 P4.答案42在区间0，1上任取两个数 a，b，则函数 f(x)x2axb2无零点的概率为_解析要使该函数无零点，只需 a24b20，即(a2b)(a2b)0，a2b0.作出0a1，0b1，a2b0的可行域，易得该函数无零点的概率P1121121134.答案343在如图所示的正方形中随机掷一粒豆子，豆子落在正方形内切圆的上半圆(圆中阴影部分)中的概率是_解析设正方形的边长为 2， 则豆子落在正方形内切圆的上半圆中的概率为121248.答案84如图所示，墙上挂有一边长为 a 的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为a2的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则他击中阴影部分的概率是_解析所求概率为 Pa2a22a214.答案145扇形 AOB 的半径为 1，圆心角为 90.点 C，D，E 将弧AB 等分成四份连结 OC，OD，OE，从图中所有的扇形中随机取出一个，面积恰为8的概率是_解析依题意得知，图中共有 10 个不同的扇形，分别为扇形 AOB、AOC、AOD、AOE、EOB、EOC、EOD、DOC、DOB、COB，其中面积恰为8的扇形即相应圆心角恰为4的扇形共有 3 个(即扇形 AOD、EOC、BOD)，因此所求的概率等于310.答案3106在面积为 1 的正方形 ABCD 内部随机取一点 P， 则PAB的面积大于等于14的概率是_解析主要考查几何概型的概率计算如图， 由题知 AB1，分别取 AD 与 BC 的中点 E、F，则 EF 綊 AB，要使 SABP14，只需 P 在矩形 CDEF 中，所求概率为112112.答案127 ABCD 为长方形，AB2，BC1，O 为 AB 的中点，在长方形 ABCD 内随机取一点，取到的点到 O 的距离大于 1 的概率为_解析如图，要使图中点到 O 的距离大于 1，则该点需取在图中阴影部分，故概率为 P22214.答案148分别以正方形 ABCD 的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域所示，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为_解析设正方形边长为 2， 阴影区域的面积的一半等于半径为 1 的圆减去圆内接正方形的面积， 即为2， 则阴影区域的面积为 24，所以所求概率为 P24422.答案229在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 M，并以线段 AM 为边作正方形，则这个正方形的面积介于 36 cm2与 81 cm2之间的概率为_解析面积为 36 cm2时，边长 AM6，面积为 81 cm2时，边长 AM9，P961231214.答案1410若 m(0,3)，则直线(m2)x(3m)y30 与 x 轴、y 轴围成的三角形的面积小于98的概率为_解析令 x0 得 y33m，令 y0 得 x3m2，由于 m(0,3)，S1233m3m2923mm2，由题意，得923mm298，解得1m2，由于 m(0,3)，m(0,2)，故所求的概率为 P23.答案23二、解答题11已知关于 x 的一次函数 ymxn.(1)设集合 P2， 1,1,2,3和 Q2,3， 分别从集合 P 和 Q 中随机取一个数作为 m 和 n，求函数 ymxn 是增函数的概率；(2)实数 m，n 满足条件mn10，1m1，1n1，求函数 ymxn 的图象经过一、二、三象限的概率解(1)抽取的全部结果的基本事件有：(2，2)，(2,3)，(1，2)，(1,3)，(1，2)，(1,3)，(2，2)，(2,3)，(3，2)，(3,3)，共 10 个基本事件，设使函数为增函数的事件为 A，则 A 包含的基本事件有：(1，2)，(1,3)，(2，2)，(2,3)，(3，2)，(3,3)，共 6个基本事件，所以，P(A)61035.(2)m、n 满足条件mn10，1m1，1n1的区域如图所示：要使函数的图象过一、二、三象限，则 m0，n0，故使函数图象过一、二、三象限的(m，n)的区域为第一象限的阴影部分，所求事件的概率为 P127217.12已知等腰 RtABC 中，C90.(1)在线段 BC 上任取一点 M，求使CAM30的概率；(2)在CAB 内任作射线 AM，求使CAM30的概率解(1)设 CMx，则 0 xa.(不妨设 BCa)若CAM30，则 0 x33a，故CAM30的概率为P区间0，33a的长度区间0，a的长度33.(2)设CAM，则 045，若CAM30，则 030，故CAM30的概率为P0，30的长度0，45的长度23.13已知集合 A2,0,2，B1,1，设 M(x，y)|xA，yB，在集合 M 内随机取出一个元素(x，y)(1)求以(x，y)为坐标的点落在圆 x2y21 上的概率；(2)求以(x，y)为坐标的点位于区域 D：xy20，xy20，y1内(含边界)的概率解(1)记“以(x，y)为坐标的点落在圆 x2y21上”为事件 A，则基本事件总数为 6.因落在圆 x2y21 上的点有(0，1)，(0,1)2 个，即A 包含的基本事件数为 2，所以 P(A)2613.(2)记“以(x，y)为坐标的点位于区域内”为事件 B，则基本事件总数为 6，由图知位于区域 D 内(含边界)的点有：(2，1)，(2，1)，(0，1)，(0,1)共 4 个，即 B 包含的基本事件数为 4，故 P(B)4623.14已知复数 zxyi(x，yR)在复平面上对应的点为 M.(1)设集合 P4，3，2，0，Q0，1，2，从集合 P 中随机取一个数作为 x，从集合 Q 中随机取一个数作为 y，求复数 z 为纯虚数的概率；(2)设 x0，3，y0，4，求点 M 落在不等式组；来源:数理化网x2y30，x0，y0所表示的平面区域内的概率解(1)记“复数 z 为纯虚数”为事件 A，组成复数 z 的所有情况共有 12 个：4，4i，42i，3，3i，32i，2，2i，22i，0，i，2i，且每种情况出现的可能性相等，属于古典概型其中事件 A 包含的基本事件共 2 个：i，2i，所求事件的概率为 P(A)21216.(2) 依 条 件 可 知 ， 点 M 均 匀 地 分 布 在 平 面 区 域（x，y）|0 x30y4 内，属于几何概型该平面区域的图形为右图中矩形 OABC 围成的区域，面积为 S3412.而所求事件构成的平面区域为 （x，y）|x2y30 x0y0， 其图形如图中的三角形 OAD(阴影部分)又直线 x2y30 与 x 轴、y 轴的交点分别为 A(3，0)、D0，32 ，三角形 OAD 的面积为 S11233294.所求事件的概率为 PS1S9412316.高考数学复习精品高考数学复习精品
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