精修版高中数学人教A版选修44教学案： 第二讲 第1节 第2课时 圆的参数方程 Word版含答案

精修版资料整理精修版资料整理精修版资料整理精修版资料整理精修版资料整理精修版资料整理 第 2 课时 圆的参数方程 核心必知 如图，设圆 O 的半径是 r，点 M 从初始位置 M0(t0 时的位置)出发，按逆时针方向在圆 O 上作匀速圆周运动，点 M 绕点 O 转动的角速度为 ，以圆心 O 为原点，OM0所在的直线为 x 轴，建立直角坐标系 (1)在 t 时刻， M 转过的角度是 ， 点 M 的坐标是(x， y)， 那么 t( 为角速度) 设|OM|r，那么由三角函数定义，有 cos txr，sin tyr，即圆心在原点 O，半径为 r 的圆的参数方程为xrcos t，yrsin t(t 为参数)其中参数 t 的物理意义是：质点做匀速圆周运动的时刻 (2)若取 为参数，因为 t，于是圆心在原点 O，半径为 r 的圆的参数方程为xrcos ，yrsin ( 为参数)其中参数 的几何意义是：OM0(M0为 t0 时的位置)绕点 O 逆时针旋转到 OM 的位置时，OM0转过的角度 问题思考 1方程xRcos ，yRsin ( 为参数，02)是以坐标原点为圆心，以 R 为半径的圆的参数方程，能否直接由圆的普通方程转化得出？ 提示：以坐标原点为圆心，以 R 为半径的圆的标准方程为 x2y2R2，即(xR)2(yR)21，令xRcos ，yRsin ，则xRcos ，yRsin . 2若圆心在点 M0(x0，y0)，半径为 R，则圆的参数方程是什么？ 提示：圆的参数方程为xx0Rcos ，yy0Rsin .(00)上，O 为原点，x 轴的正半轴绕原点旋转到OM 形成的角为 ，以 为参数求圆的参数方程 精讲详析 本题考查圆的参数方程的求法，解答此题需要借助图形分析圆上点 M(x，y)的坐标与 之间的关系，然后写出参数方程 如图所示，设圆心为 O，连接 OM 当 M 在 x 轴上方时，MOx2. xrrcos 2，yrsin 2. 当 M 在 x 轴下方时，MOx2， xrrcos （2），yrsin （2）. 即xrrcos 2，yrsin 2. 当 M 在 x 轴上时，对应 0 或 2. 综上得圆的参数方程为 xrrcos 2，yrsin 2.( 为参数且22) (1)由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数， 因此得到的参数方程也可以有不同的形式， 形式不同的参数方程表示的曲线却可以是相同的，另外在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围 (2)确定圆的参数方程，必须根据题目所给条件，否则，就会出现错误，如本题如果把参数方程写成xrrcos ，yrsin .的意义就改变了 1设 ytx(t 为参数)，则圆 x2y24y0 的参数方程是_ 解析：把 ytx 代入 x2y24y0 得 x4t1t2，y4t21t2， 参数方程为x4t1t2，y4t21t2. 答案：x4t1t2，y4t21t2 (t 为参数) 已知点 P(2，0)，点 Q 是圆xcos ，ysin ( 为参数)上一动点，求 PQ 中点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线？ 精讲详析 本题主要考查圆的参数方程的应用及轨迹的求法解答本题需设出 PQ 的中点 M 的坐标为(x，y)，然后利用已知条件中的参数分别表示 x，y，从而求出轨迹方程，根据方程说明轨迹的形状 设中点为 M(x，y)，x2cos 2，y0sin 2，即x112cos ，y12sin . 它是圆的参数方程，表示以(1，0)为圆心，以12为半径的圆 解决此类问题的关键是利用已知圆的参数方程中所含的参数表示出所求点的坐标， 求得参数方程，然后根据参数方程说明轨迹所表示的曲线 2设点 M(x，y)在圆 x2y21 上移动，求点 Q(x(xy)，y(xy)的轨迹的参数方程 解：设 M(cos ，sin )(02)，点 Q(x1，y1)， 则x1cos （cos sin ），y1sin （cos sin ），( 为参数) 即为所求的参数方程 已知点 P(x，y)是圆xcos ，y1sin ( 为参数)上的动点， (1)求 3xy 的取值范围； (2)若 xya0 恒成立，求实数 a 的取值范围 精讲详析 本题考查圆的参数方程的求法及不等式的恒成立问题，解决本题需要正确求出圆 x2y22y 的参数方程，然后利用参数方程求解问题(1)、(2) (1)P 在圆xcos ，y1sin 上， 3xy 3cos sin 12sin (3)1 21 3xy21.即 3xy 的取值范围为1，3 (2)xyacos sin 1a0， a(cos sin )1. 又(cos sin )1 2sin (4)1 21， a 21 即 a 的取值范围为 21，) (1)解决此类问题的关键是根据圆的参数方程写出点的坐标，并正确确定参数的取值范围 (2)利用圆的参数方程求参数或代数式的取值范围的实质是利用正、余弦函数的有界性 3设方程x1cos ，y 3sin ( 为参数)表示的曲线为 C，求在曲线 C 上到原点 O 距离最小的点 P 的坐标 解：OP2(1cos )2( 3sin )252 3sin 2cos 54sin (6)当 2k43，kZ 时，OP 最小，此时点 P 的坐标为(12，32) 高考模拟中常利用圆的参数方程考查直线与圆、 圆与圆的位置关系 本考题将直线的极坐标方程与圆的参数方程相结合，考查直线与圆的交点问题，属低档题 考题印证 已知圆 C 的参数方程为xcos ，y1sin ( 为参数)，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 sin 1，则直线 l 和圆 C 的交点的直角坐标为_ 命题立意 本题主要考查圆的参数方程与直线的极坐标方程 解析 由圆的参数方程知圆心的坐标为(0，1)，半径 r1，由直线 l 的极坐标方程可知直线 l 的方程为 y1，则根据图象可知直线 l 和圆 C 的交点为(1，1)，(1，1) 答案：(1，1)，(1，1) 一、选择题 1圆的参数方程为：x22cos ，y2sin ( 为参数)则圆的圆心坐标为( ) A(0，2) B(0，2) C(2，0) D(2，0) 解析：选 D 圆的普通方程为(x2)2y24. 故圆心坐标为(2，0) 2直线 3x4y90 与圆x2cos ，y2sin ( 为参数)的位置关系是( ) A相切 B相离 C直线过圆心 D相交但不过圆心 解析：选 D 圆的普通方程为 x2y24，圆心坐标为(0，0)，半径 r2，点(0，0)到直线 3x4y90 的距离为 d|9|3242950)，求点 P 到直线 l 距离的最大值 解：(1)曲线 C1上的动点 M 的坐标为(4cos ，4sin )，坐标原点 O(0，0)，设 P 的坐标为(x，y)，则由中点坐标公式得 x12(04cos )2cos ，y12(04sin )2sin ，所以点 P 的坐标为(2cos ，2sin )，因此点 P 的轨迹的参数方程为x2cos ，y2sin ( 为参数，且 02) (2)由直角坐标与极坐标关系xcos ，ysin ，得直线 l 的直角坐标方程为 xy10， 又由(1)知点 P 的轨迹为圆心在原点，半径为 2 的圆，因为原点(0，0)到直线 xy10 的距离为 |001|12（1）21222， 所以点 P 到直线 l 距离的最大值为 222. 最新精品资料