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2019版数学精品资料（北师大版）例析反证法的应用我们知道，反证法是先否定结论成立，然后依据已知条件以及有关的定义、定理、公理，逐步导出与定义、定理，公理或已知条件等相矛盾或自相矛盾的结论，从而肯定原结论是正确的.反证法是间接证明的一种基本方法，是解决某些“疑难”问题的有力工具，也是数学上非构造性证明中极为重要的方法，它对于处理存在性命题、否定性命题、唯一性命题和至少、至多性命题具有特殊的优越性。现以例说明。一 否定型命题当结论为“否定性”的命题时，应用反证法。也就是说原题的结论出现“不可能”、“不能表示为”、“不是”、“不存在”、“不等于”、“不具有某种性质”等否定形式出现时，可考虑使用反证法进行证明。例1：试证不是有理数。分析：要求证的结论是以否定的形式出现的，因此可应用反正法来进行证明。证明：假设是有理数，注意到，可设（、为互质的正整数，且），两边平方，得，表明，是2的倍数，因为是正整数，故当是奇数时，令（），则，即是奇数，与是2的倍数矛盾。当是偶数，又可设（），代入式，整理后得，式表明，是2的倍数。这样与都是2的倍数，它们至少有公因数2，与所作假定、为互质的正整数相矛盾。因此不是有理数。点评：在应用反证法证题时，必须按“反设归谬结论”的步骤进行，反正法的难点在于如何从假设中推出矛盾，从而说明假设不成立。本题从假设中推出的结论是与自身相矛盾二 存在性命题当命题的结论是以存在性的形式出现时，宜用反证法。也就是说，解决存在性探索命题的总体策略是先假设结论存在，并以此进行推理，若推出矛盾，即可否定假设；若推出合理结果，经验证成立即可肯定假设正确。例2、直线与双曲线的右支交于不同的两点A，B，求实数的范围；是否存在实数使得以线段为直经的圆经过双曲线的右焦点？若存在求出的值；若不存在，说明理由。分析：第（1）提示求参数范围的常规题，第问是一道探讨结论是否存在的开放性命题，为此先假设结论存在并在此假设的条件下进行一系列的推导，或推出矛盾或验证成立。解：略可求得。 由消去y得，设A、B两点的坐标为，则时方程的两解所以，假设存在实数使得以线段为直经的圆经过双曲线的右焦点，则，得，即整理得，将及带入上式，得 ，解得或 （舍去）从而存在实数使得以线段为直经的圆经过双曲线的右焦点。点评：在本题在假设的条件下推导出的结果并没有出现矛盾，而是验证了存在符合题设条件的实数，从判断结论存在，对于探究具有某种性质的存在性问题，一般先由特例探求结果的存在性，然后进行论证。三 “至少”、“至多” 型命题当命题的结论是以“至多”、“至少”的形式出现时，可考虑应用反证法来解决。例3、设均为实数，且，求证：中至少有一个大于0。分析：如果直接从条件出发推证，方向不明，思路不清，不移入手，较难，说证结论是以“至少”形式出现，因而可用反证法证明。证明：设中都不大于0，即而 ，这与矛盾，故中至少有一个大于0点评：当遇到命题的结论是以“至多”“至少”等形式给出时，一般是多用反证法；应注意 “至少有一个” “都是”的否定形式分别是“一个也没有” “不都是”，本题是一个自相矛盾的题目类型。四 “唯一”性命题，若命题的结论是以“唯一”、“ 有且只有一个”等形式出现时，可用反证法进行证明。例4、求证：两条相交直线有且只有一个交点。分析：此题是含有“ 有且只有一个”的命题，可考虑用反证法进行证明。证明：假设结论不成立，则有两种情况：或者没有交点，或者不只一个交点。如果直线没有交点，那么，这与已知矛盾；如果直线不只有一个交点，则至少交于点，这样经过两点就有两条直线，这与两点确定以直线矛盾。由（1）和（2）可知，假设错误，所以，两条相交直线有且只有一个交点。点评：此题是证明一个命题的充要条件，用反证法证明了它的否定，从而获得结论正确，也可正面证明，需证明存在性和唯一性。在证明唯一性命题时，应找出除这一个元素外的其它的所有元素，并逐一推导出矛盾，排除掉。五 肯定型命题有些命题结论是以“都有”“所有” “都是”等形式出现时，我们在进行证明时，也往往采用反证法。例5、设函数对定义域上任意实数都有，且成立。求证：对定义域内的任意都有。分析：这是一个肯定型命题，可考虑用反正发来进行证明。证明：假设满足体设条件的任意都有部成立，即存在某个有， ， ，又因为，这与假设矛盾。假设不成立，故对定义域内的任意都有。点评：在反设命题的结论时要注意正确写出结论的否定形式是非常重要的。在本体中对“任意都有”的否定是“存在某个有”六 证明不等式对于证明不等式，有时直接进行证明因较抽象、不明朗，一时还难以找出解题思路，其反面常却出现的条件较多、较具体，又较容易寻找解题思路，因此也常考虑用反证法进行证明。例6、已知函数是上的增函数，试判断命题“若，则”的逆命题是否正确，并证明你的结论。分析：先写出逆命题，然后证明不等式，而直接证明的条件较少，因此应用反证法。证明：逆命题为：“若，则。”用反证法进行证明：假设，则因为函数是上的增函数，所以有，两式相加得，这与已知矛盾，故只有，逆命题成立。点评：反正法常用于直接证明较困难的不等式，也是不等式证明的一种常用方法。以上我们介绍了反证法的经常应用的几种类型，由此可以看出它有相当广泛的应用，正难则反是反证法的特点，因为如果由一个命题直接得到的结论很少、较抽象、较困难时，其反面常会有较多、较具体、较容易的信息结论，这样反证法就为一些从正面入手,无法使已知条件和结论找出联系的问题,提供了一条解题途径，它是通过给出合理的反设,来增加演绎推理的前提,从而使那种只依靠所给前提而变得山穷水尽的局面,有了柳岸花明又一村的境地。当然要想再接题中用好反证法，这还要有待于平时训练和不断的积累。
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