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课时作业39基本不等式一、选择题1已知a，bR且ab，x，y，则x，y的大小关系是()Ax<y Bx>yCxy D视a，b的值而定解析：由不等式2，可得，又因为 <，所以可得<，即x<y.答案：A2设函数f(x)x，当x>1时，不等式f(x)a恒成立，则实数a的取值范围是()A(，3 B3，)C. D.解析：当x>1时，x1>0，则f(x)xx11213，当且仅当x1，即x2时等号成立，函数f(x)有最小值3.由不等式f(x)a恒成立，得实数a的取值范围是(，3答案：A3点(a，b)在直线x2y3上移动，则2a4b的最小值是()A8 B6C4 D3解析：由题可得a2b3，因为2a4b2a22b224，当且仅当a2b，即a，b时等号成立答案：C4已知x>0，y>0，x2y2xy8，则x2y的最小值是()A3 B4C. D.解析：2xyx·2y2，8x2y2xy(x2y)2，令x2yt，则t24t320，解得t4或t8(舍去)，x2y的最小值为4.答案：B5已知关于x的不等式x24ax3a2<0(a>0)的解集为(x1，x2)，则x1x2的最小值是()A. B.C. D.解析：关于x的不等式x24ax3a2<0(a>0)的解集为(x1，x2)，16a212a24a2，又a>0，>0，x1x24a，x1x23a2，x1x24a4a2，当且仅当a时取等号故x1x2的最小值是.答案：D6若正数a，b满足1，则的最小值为()A1 B6C9 D16解析：正数a，b满足1，b>0，解得a>1，同理b>1，9(a1)26，当且仅当9(a1)，即a时等号成立，最小值为6.答案：B二、填空题7y(6a3)的最大值为_解析：由6a3，得3a0，a60.由基本不等式，得，当且仅当3aa6，即a时，等号成立，故y的最大值为.答案：8已知直线axby1经过点(1,2)，则2a4b的取值范围是_解析：由直线axby1经过点(1,2)，得a2b1，则2a4b222，当且仅当2a4b，即a，b时，等号成立，所以2a4b的取值范围是2，)答案：2，)9(2017·湖北襄阳一调)已知x>1，y>0且满足x2y1，则的最小值为_解析：x>1，y>0且满足x2y1，x1>0，且(x1)2y2，(x1)2y×2，当且仅当即时取等号，故的最小值为，所以答案应填.答案：三、解答题10已知x>0，y>0，且2x8yxy0，求(1)xy的最小值；(2)xy的最小值解：(1)由2x8yxy0，得1，又x>0，y>0，则12，得xy64，当且仅当x16，y4时，等号成立所以xy的最小值为64.(2)由2x8yxy0，得1，则xy·(xy)1010218.当且仅当x12且y6时等号成立，xy的最小值为18.11已知a>0，b>0，.(1)求a3b3的最小值；(2)是否存在a，b，使得2a3b6？并说明理由解：(1)a>0，b>0，2，即2，由此得ab2，当且仅当ab时取等号，又a3b3224，当且仅当ab时取等号，a3b3的最小值是4.(2)由(1)得ab2(ab时取等号)，2a3b22，当且仅当2a3b时等号成立，故2a3b2>4>6，故不存在a，b，使得2a3b6成立1设正实数x，y，z满足x23xy4y2z0，则当取得最大值时，的最大值是()A0 B1C. D3解析：1，当且仅当x2y时等号成立，此时z2y2，211，当且仅当y1时等号成立，故所求的最大值为1.答案：B2(2017·银川模拟)若直线2axby20(a>0，b>0)平分圆x2y22x4y60，则的最小值是()A2 B.1C32 D32解析：圆心为(1,2)在直线2axby20上，ab1，·(ab)332.当且仅当，即a2，b1时等号成立答案：C3若实数a，b满足ab4ab10(a>1)，则(a1)(b2)的最小值为_解析：因为ab4ab10，所以b.又a>1，所以b>0，所以(a1)(b2)ab2ab26a2b16a816(a1)15.因为a1>0，所以6(a1)1521527，当且仅当6(a1)(a>1)，即a2时等号成立，故(a1)·(b2)的最小值为27.答案：274某地需要修建一条大型输油管道通过240 km宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程是在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵站)经预算，修建一个增压站的费用为400万元，铺设距离为x km的相邻两增压站之间的输油管道的费用为x2x万元设余下工程的总费用为y万元(1)试将y表示成x的函数；(2)需要修建多少个增压站才能使y最小，其最小值为多少？解：(1)设需要修建k个增压站，则(k1)x240，即k1.所以y400k(k1)(x2x)400(x2x)240x160.因为x表示相邻两增压站之间的距离，则0<x<240.故y与x的函数关系是y240x160(0<x<240)(2)y240x16021602×4 8001609 440，当且仅当240x，即x20时等号成立此时k1111.故需要修建11个增压站才能使y最小，其最小值为9 440万元
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