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专题升级训练 函数与方程及函数的应用(时间:60分钟满分:100分)一、选择题(本大题共6小题,每小题6分,共36分)1.函数f(x)=+a的零点为1,则实数a的值为()A.-2B.-C.D.22.已知a是函数f(x)=2x-lox的零点,若0<x0<a,则f(x0)的值满足()A.f(x0)=0B.f(x0)<0C.f(x0)>0D.f(x0)的符号不确定3.函数f(x)=2x-x-的一个零点所在的区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)4.已知A,B两地相距150千米,某人开汽车以60千米/时的速度从A地到达B地,在B地停留1时后再以50千米/时的速度返回A地,汽车离开A地的距离x(千米)与时间t(时)之间的函数表达式是()A.x=60tB.x=60t+50tC.x=D.x=5.(20xx·山东淄博模拟,12)已知函数f(x)=(kR),若函数y=|f(x)|+k有三个零点,则实数k的取值范围是()A.k2B.-1<k<0C.-2k<-1D.k-26.已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,且当0x<2时,f(x)=x3-x,则函数y=f(x)的图象在区间0,6上与x轴的交点的个数为()A.6B.7C.8D.9二、填空题(本大题共3小题,每小题6分,共18分)7.若函数f(x)=log2(x+1)-1的零点是抛物线x=ay2的焦点的横坐标,则a=. 8.设定义域为R的函数f(x)=则关于x的函数y=2f2(x)-3f(x)+1的零点的个数为. 9.已知y与x(x100)之间的部分对应关系如下表:x1112131415来源:来源:y则x和y可能满足的一个关系式是. 三、解答题(本大题共3小题,共46分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)10.(本小题满分15分)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c.(1)若f(-1)=0,试判断函数f(x)零点的个数;(2)若x1,x2R,且x1<x2,f(x1)f(x2),试证明x0(x1,x2),使f(x0)=f(x1)+f(x2)成立.来源:11.(本小题满分15分)某食品厂进行蘑菇的精加工,每千克蘑菇的成本为20元,并且每千克蘑菇的加工费为t元(t为常数,且2t5),设该食品厂每千克蘑菇的出厂价为x元(25x40),根据市场调查,销售量q与ex成反比,当每千克蘑菇的出厂价为30元时,日销售量为100千克.(1)求该工厂的每日利润y元与每千克蘑菇的出厂价x元的函数关系式;(2)若t=5,当每千克蘑菇的出厂价x为多少元时,该工厂每日的利润最大?并求最大值.12.(本小题满分16分)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下,大桥上的车流速度v(单位:千米/时)是车流密度x(单位:辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/时.研究表明:当20x200时,车流速度v是车流密度x的一次函数.(1)当0x200时,求函数v(x)的表达式;(2)当车流密度x为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/时)f(x)=x·v(x)可以达到最大,并求出最大值.(精确到1辆/时)#1.B解析:由已知得f(1)=0,即+a=0,解得a=-.故选B.来源:2.B解析:分别作出y=2x与y=lox的图象如图,当0<x0<a时,y=2x的图象在y=lox图象的下方,所以f(x0)<0.故选B.3.B解析:由f(0)=20-0-<0,f(1)=2-1-<0,f(2)=22-2->0,根据函数零点性质知函数的一个零点在区间(1,2)内,故选B.4.D解析:到达B地需要=2.5小时,所以当0t2.5时,x=60t;当2.5<t3.5时,x=150;当3.5<t6.5时,x=150-50(t-3.5).故选D.5.D解析:由y=|f(x)|+k=0得|f(x)|=-k0,所以k0,作出函数y=|f(x)|的图象,要使y=-k与函数y=|f(x)|有三个交点,则有-k2,即k-2,选D.6.B解析:当0x<2时,令f(x)=x3-x=0,得x=0或x=1.根据周期函数的性质,由f(x)的最小正周期为2,可知y=f(x)在0,6)上有6个零点,又f(6)=f(3×2)=f(0)=0,所以y=f(x)的图象在0,6上与x轴的交点个数为7.7.解析:令f(x)=log2(x+1)-1=0,得函数f(x)的零点为x=1,于是抛物线x=ay2的焦点的坐标是(1,0),因为x=ay2可化为y2=x,所以解得a=.8.7解析:由y=2f2(x)-3f(x)+1=0得f(x)=或f(x)=1,如图,画出f(x)的图象,由f(x)=知有4个根,由f(x)=1知有3个根,故共有7个零点.9.y(108-x)=2来源:10.(1)解:f(-1)=0,a-b+c=0,b=a+c.=b2-4ac=(a+c)2-4ac=(a-c)2,当a=c时=0,函数f(x)有一个零点;当ac时,>0,函数f(x)有两个零点.(2)证明:令g(x)=f(x)-f(x1)+f(x2),则g(x1)=f(x1)-f(x1)+f(x2)=,g(x2)=f(x2)-f(x1)+f(x2)=,g(x1)·g(x2)=-f(x1)-f(x2)2<0.(f(x1)f(x2)g(x)=0在(x1,x2)内必有一个实根,即x0(x1,x2),使f(x0)=f(x1)+f(x2)成立.11.解:(1)设日销量q=,则=100,k=100e30,日销量q=,y=(25x40).(2)当t=5时,y=,y'=,由y'>0,得x<26,由y'<0,得x>26,y在25,26)上单调递增,在(26,40上单调递减,当x=26时,ymax=100e4.当每千克蘑菇的出厂价为26元时,该工厂每日的利润最大,最大值为100e4元.12.解:(1)由题意:当0x20时,v(x)=60;当20<x200时,设v(x)=ax+b.再由已知得解得故函数v(x)的表达式为v(x)=(2)依题意并由(1)可得f(x)=当0x20时,f(x)为增函数,故当x=20时,其最大值为60×20=1 200;当20<x200时,f(x)=x(200-x),当且仅当x=200-x,即x=100时,等号成立.所以,当x=100时,f(x)在区间(20,200上取得最大值.综上,当x=100时,f(x)在区间0,200上取得最大值3 333,即当车流密度为100辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为3 333辆/时.
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