精编高中数学北师大版必修四教学案：第一章 167;7 第1课时 正切函数的定义 正切函数的图像与性质 Word版含答案

精编北师大版数学资料 第 1 课时 正切函数的定义 正切函数的图像与性质 核心必知 1正切函数 (1)定义：如果角 满足：R R，2k(kZ Z)，那么，角的终边与单位圆交于点P(a，b)，唯一确定比值ba.根据函数的定义，比值ba是角的函数，我们把它叫作角的正切函数，记作ytan_，其中R R，2k，kZ Z. (2)与正弦、余弦函数的关系：sin xcos xtan_x (3)三角函数：正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，它们统称为三角函数 (4)正切值在各象限内的符号如图 2正切线 单位圆与x轴正半轴交于点A，过点A作x轴的垂线AT，与角的终边或其反向延长线交于点T.则称线段AT为角的正切线当角的终边在y轴上时，角的正切线不存在 3正切函数的图像和性质 函数 性质 ytan x 图像 续表 函数 性质 ytan x 定义域 x|xR R 且xk2，kZ Z 值域 R R 周期性 最小正周期为T 奇偶性 奇函数 单调性 在(k2，k2)(kZ Z)上是增加的 对称性 图像的对称中心(k2，0)kZ Z 问题思考 1你能描述正切曲线的特征吗？ 提示：正切曲线是被互相平行的直线xk2(kZ Z)所隔开的无穷多支曲线组成的，是间断的，它没有对称轴，只有对称中心 2正切曲线在整个定义域上都是增加的吗？ 提示：不是正切函数定义域是x|xk2，kZ Z，正切曲线在每一个开区间(k2，k2)(kZ Z)上是增加的，它是周期函数，但在整个定义域上不是增加的 3函数y|tan x|的周期是2吗？ 提示：不是y|tan x|的周期仍为. 讲一讲 1已知 tan 2，利用三角函数的定义求 sin 和 cos . 尝试解答 在的终边上取一点P(a，2a)且a0， 则有xa，y2a，ra24a2 5|a|. tan 20，在第一象限或第三象限 当在第一象限时，a0，则r 5a. sin yr2a5a2 55，cos xra5a55. 当在第三象限时，a0，则r 5a. sin yr2a 5a2 55， cos xra 5a55. 1若P(x，y)是角终边上任一点，则 sin yr，cos xr，tan yx(x0)，其中rx2y2. 2当角的终边上的点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况及解题的需要对参数进行分类讨论 练一练 1角的终边经过点P(b，4)且 cos 35，求 tan 的值 解：由已知可知点P在第二象限，b0. cos 35，bb21635，解得b3， tan 43. 讲一讲 2画出函数y|tan x|的图像，并根据图像写出使y1 的x的集合 尝试解答 y|tan x| tan x， kxk2，（kZ Z），tan x， k2xk，（kZ Z）， 画出其图像，如图所示实线部分 由图像可知x的集合为x|k4xk4，kZ Z 1三点两线画图法 “三点”是指4，1 ，(0，0)，4，1 ；“两线”是指x2和x2.在三点、两线确定的情况下，类似于五点法作图，可大致画出正切函数在2，2上的简图，然后向右、向左扩展即可得到正切曲线 2如果由yf(x)的图像得到yf(|x|)及y|f(x)|的图像，可利用图像中的对称变换法完成；即只需作出yf(x)(x0)的图像，令其关于y轴对称便可以得到yf(|x|)(x0)的图像；同理只要作出yf(x)的图像，令图像“上不动下翻上”便可得到y|f(x)|的图像 3利用函数的图像可直观地研究函数的性质，如判断奇偶性、周期性、解三角不等式等 练一练 2多维思考 根据讲 2 中函数y|tan x|的图像，讨论该函数的性质 解：(1)定义域：x|xR R，x2k，kZ Z (2)值域：0，) (3)周期性：是周期函数，最小正周期为. (4)奇偶性：图像关于y轴对称，函数是偶函数 (5)单调性： 在每一个区间(2k，k(kZ Z)上是减少的， 在每一个区间k，2k(kZ Z)上是增加的 (6)对称性：对称轴xk2，kZ Z. 讲一讲 3(1)求函数ytan12x4的单调区间 (2)比较 tan214与 tan175的大小 尝试解答 (1)ytan x，在2k，2k (kZ Z)上是增加的，2k12x42k，kZ Z. 2k2x2k32，kZ Z， 即函数ytan12x4的单调递增区间是2 2k， 322k (kZ Z) (2)tan214tan45 tan4， tan175tan325tan25. 又函数ytan x在(0，2)内单调递增，而 04252，tan4tan25，即 tan214tan175. 1正切函数在每一个单调区间内都是增加的，在整个定义域内不是增加的，另外正切函数不存在减区间 2对于函数yAtan(x)(A，是常数)的单调区间问题，可先由诱导公式把x的系数化为正值，再利用“整体代换”思想，求得x的范围即可 3 比较两个正切函数值的大小， 要先利用正切函数的周期性将正切值化为区间2，2内两角的正切值，再利用正切函数的单调性比较大小 练一练 3函数f(x)tan(2x3)的单调递增区间为_ 解析：由k22x3k2(kZ Z)， 得k212xk2512(kZ Z)， 所以函数的单调递增区间为(k212，k2512)(kZ Z) 答案：(k212，k2512)(kZ Z) 求函数y11tan x的定义域 错解 由 1tan x0 得 tan x1， 解得xk4，kZ Z， 函数的定义域为x|xk4，kZ Z 错因 求函数的定义域不仅考虑使函数式有意义， 还得考虑正切函数本身固有的xk2，kZ Z 这一条 件上面的解法只考虑了 1tan x0，而没有考虑xk2，kZ Z，因而是错误的 正解 由1tan x0，xk2，kZ Z， 得xk4且xk2，kZ Z. 函数的定义域为xxk4且xk2，kZ Z . 1函数ytan(x)是( ) A奇函数 B偶函数 C既是奇函数又是偶函数 D非奇非偶函数 解析：选 A ytan(x)tan x. 此函数是奇函数 2函数ytan(x4)的定义域是( ) A.xx4 B.xx4 C.xxk4，kZ Z D.xxk4，kZ Z 解析：选 D 由x4k2，kZ Z 得，xk4，kZ Z，函数的定义域为xxk4，kZ Z . 3已知角的终边上一点P(2，1)，则 tan ( ) A.12 B2 C2 D12 解析：选 D tan yx1212. 4函数ytan x，x0，4的值域是_ 解析：函数ytan x在0，4上为增加的， 0tan x1. 答案：0，1 5比较大小：tan 2_tan 9. 解析：tan 9tan(29)， 而2229，且ytan x在(2，)内是增加的 tan 2tan(29)， 即 tan 2tan 9. 答案： 6利用正切函数的图像作出ytan x|tan x|的图像，并判断此函数的周期性 解：当x(k2，k时，ytan x0， 当x(k，k2)时，ytan x0， ytan x|tan x|0，x（k2，k，kZ Z，2tan x，x（k，k2），Z Z. 图像如图所示 由ytan x|tan x|的图像可知，它是周期函数，周期为. 一、选择题 1已知是第二象限角，则( ) Atan20 Btan20 Ctan20 Dtan2的符号不确定 解析：选 A 是第二象限角， 2是第一或第三象限角， tan20. 2函数y2tan(2x4)的定义域是( ) A.xxR R且xk4，kZ Z B.xxR R且xk238，kZ Z C.xxR R且xk34，kZ Z D.xxR R且xk28，kZ Z 解析：选 B 由 2x4k2，kZ Z， 解得xk238，kZ Z. 3函数ytan(sin x)的值域是( ) A.4，4 B.22，22 Ctan 1，tan 1 D1，1 解析：选 C 1sin x1， 21sin x10tan x，cos x0 tan x，2x2，tan x，x2或20， 函数的增区间为(k，k2)(kZ Z) 答案：k，k2(kZ Z) 7函数ysin x与ytan x的图像在2，2上交点个数是_ 解析：在x0，2时，tan xsin x，x2，0 时，tan xsin x，所以ysin x与ytan x在2，2上只有一个交点(0，0) 答案：1 8已知函数y2tan 612x，则函数的对称中心是_ 解析：y2tan612x2tan 12x6. ytan x的对称中心为k2，0 ， 令12x6k2，得xk3，kZ Z. y2tan612x的对称中心为k3，0 ，kZ Z. 答案：k3，0 (kZ Z) 三、解答题 9已知f(x)asin xbtan x1，f(25)7， 求f(2 0125) 解：设g(x)asin xbtan x，因为 sin x与 tan x都是奇函数，所以g(x)g(x)，即g(x)g(x)0，故f(x)f(x)g(x)1g(x)12，又易得f2 0125f40225f25，f25f252，且f257， f2 0125f255. 10已知函数f(x)x22xtan 1，x1， 3 ，其中2，2. (1)当6时，求函数f(x)的最大值与最小值； (2)求的取值范围，使yf(x)在区间1， 3 上是单调函数 解：(1)当6时， f(x)x22 33x1x33243，x1， 3 当x33时，f(x)的最小值为43； 当x1 时，f(x)的最大值为2 33. (2)函数f(x)(xtan )21tan2的图像的对称轴为xtan . yf(x)在区间1， 3上是单调函数， tan 1 或tan 3， 即 tan 1 或 tan 3. 又2，2， 的取值范围是2，34，2 .