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考点20 空间向量 1.（2010广东高考理科0）若向量=（1,1,x）, =(1,2,1), =(1,1,1),满足条件=-2,则= .【命题立意】本题考查空间向量的坐标运算及向量的数量积运算.【思路点拨】 先算出，再由向量的数量积列出方程，从而求出【规范解答】，由，得，即，解得【答案】22.（2010浙江高考理科20）如图， 在矩形中，点分别在线段上，.沿直线将 翻折成，使平面. （）求二面角的余弦值.（）点分别在线段上，若沿直线将四边形向上翻折，使与重合，求线段的长. 【命题立意】本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，考查空间向量的应用，同时考查空间想象能力和运算求解能力. 【思路点拨】方法一利用垂直关系建立空间直角坐标系，利用空间向量解决问题；方法二利用几何法解决求二面角问题和翻折问题. 【规范解答】方法一：（）取线段EF的中点H，连结，因为=及H是EF的中点，所以,又因为平面平面.如图建立空间直角坐标系，则（2，2，），C（10，8，0），F（4，0，0），D（10，0，0）.故=（-2，2，2），=（6，0，0）.设=（x,y,z）为平面的一个法向量，所以取，得.又平面FDC的一个法向量，故.所以所求二面角的余弦值为.（）设，则， 因为翻折后，与重合，所以， 所以.方法二：（）取线段的中点,的中点,连结. 因为=及是的中点，所以.又因为平面平面，所以平面,又平面,故.又因为，是，的中点，易知，所以，又GHAH=H,于是平面，所以为二面角A-FD-C的平面角，在中，=，=2，=，所以.故二面角A-FD-C的余弦值为.（）设, 因为翻折后，与重合，所以， 而， +，得，经检验，此时点在线段上，所以.【方法技巧】(1)利用向量法解决立体几何问题关键是建系，一般要找到三个互相垂直的直线建系，这种方法思路相对简单，但计算量大.(2)翻折问题要找好在翻折的过程中变化的与不变化的量，注意点、线、面等元素间位置关系的变化.3.（2010陕西高考理科8）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，AP=AB=2， BC=，E，F分别是AD,PC的中点.（）证明：PC平面BEF.（）求平面BEF与平面BAP夹角的大小.【命题立意】本题考查了空间几何体的的线线、线面垂直以及二面角的求解问题，考查了考生的空间想象能力、空间思维能力以及利用空间向量解决立体几何问题的方法与技巧.【思路点拨】思路一：建立空间直角坐标系，利用空间向量求解；思路二：利用几何法求解.【规范解答】方法一：（）如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系.AP=AB=2， BC=，四边形ABCD是矩形.A，B，C，D的坐标为A(0,0,0),B(2,0,0),C(2, ,0)，D(0，0)，P(0,0,2)又E，F分别是AD，PC的中点，E(0，0),F(1，1).=（2，-2）,=（-1，1）,=（1,0,1），=-2+4-2=0，=2+0-2=0，PCBF,PCEF, ,PC平面BEF,（II）由（I）知平面BEF的一个法向量平面BAP 的一个法向量 设平面BEF与平面BAP的夹角为，则45， 平面BEF与平面BAP的夹角为45.方法二：（I）连接PE，EC，在中，PA=AB=CD, AE=DE, PE= CE, 即PEC 是等腰三角形，又F是PC 的中点，EFPC, （）因为PA平面ABCD，所以PABC，又底面ABCD是矩形，所以ABBC，平面BAP，又PB平面BAP，又由（1）知平面BEF，直线PC与BC的夹角即为平面BEF与平面BAP的夹角；在PBC中，PB=BC,90,45，所以平面BEF与平面BAP的夹角为45.4.（2010辽宁高考理科19）已知三棱锥PABC中，PA平面ABC，ABAC，PA=AC=AB，N为AB上一点，AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.（）证明：CMSN.（）求SN与平面CMN所成角的大小.【命题立意】本题考查了空间几何体的线面与面面垂直、线面角的求解以及几何体的计算问题，考查了考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.【规范解答】设PA1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系，如图.则P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，M(1,0, )，N(,0,0)，S(1,0).（I）【方法技巧】（1）空间中证明线线、线面垂直，经常用向量法. （2）求线面角往往转化成直线的方向向量与平面的法向量的夹角问题来解决. （3）线面角的范围是090，因此线面角是直线的方向向量与平面法向量的夹角的余弦的绝对值.AEFBCDHGAEFBCDH5.（2010安徽高考理科18）如图，在多面体中，四边形是正方形，为的中点. (1)求证：平面.(2)求证：平面.(3)求二面角的大小.【命题立意】本题主要考查了空间几何体的线面平行、线面垂直的证明、二面角的求解的问题，考查了考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力. 【思路点拨】可以采用综合法证明，亦可采用向量法证明. 【规范解答】综合法证明如下：向量法证明如下：AEFBCDHGXYZ 【方法技巧】（1）证明线面平行通常转化为证明直线与平面内的一条直线平行.（2）证明线面垂直通常转化为证明直线与平面内的两条相交直线垂直.（3）确定二面角的大小，可以先构造二面角的平面角，然后转化到一个合适的三角形中进行求解.（4）以上立体几何中的常见问题，也可以采用向量法建立空间直角坐标系，转化为向量问题进行求解.应用向量法解题，思路简单，易于操作，推荐使用.6.（2010山东高考理科19）如图，在五棱锥PABCDE中，PA平面ABCDE，ABCD，ACED，AEBC， ABC = 45，AB = 2，BC =2AE = 4，三角形PAB是等腰三角形（1）求证：平面PCD平面PAC（2）求直线PB与平面PCD所成角的大小（3）求四棱锥PACDE的体积【命题立意】本题考查了空间几何体的线面与面面垂直、线面角的求解以及几何体的计算问题，考查了考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.【思路点拨】(1)根据所给数据，通过计算证明.(2)方法一：先证明AB平面，于是点B 到平面PCD的距离等于点A到平面PCD的距离，据此可求线面角；方法二：利用空间向量求线面角；(3)先判断出四边形ACDE的形状，并求出其面积，再根据PA平面ABCDE，得四棱锥PACDE的高即为PA，从而可求体积.【规范解答】（1）因为ABC=45，AB=2，BC=4，所以在中，由余弦定理得：，解得，所以，即，又PA平面ABCDE，所以PA，又PA，所以，又ABCD，所以，又因为，所以平面PCD平面PAC，（2）方法一：由（1）知平面PCD平面PAC，所以在平面PAC内，过点A作于H，则，又ABCD，AB平面内，所以AB平面，所以点A到平面的距离等于点B到平面的距离.因为PAB是等腰三角形，所以PA = AB =2 ，因此PB = 4，在RtPAC中，PA =2，AC = 2，所以PC = 4，故PC边上的高，此即为点A到平面PCD的距离，设直线PB与平面PCD所成角为，则又，所以即直线PB与平面PCD所成角的大小为.方法二：由(1)知AB，AC，AP两两相互垂直，分别以AB，AC，AP为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，由于PAB是等腰三角形，所以PA = AB =2 ，又AC = 2，因此A(0,0，0)，B(2，0,0)，C(0，2，0)，P(0,0，2)，因为，又ACED，所以四边形ACDE是直角梯形，因为AE = 2，AEBC，所以BAE = 135，因此CAE = 45.故所以D(-，2，0).因此，设是平面PCD的一个法向量，则向量与平面PCD的法向量所成的角，则，所以因此直线PB与平面PCD所成角的大小为.（3）由（1）知，所以，又ACED，所以四边形ACDE是直角梯形，因为AE = 2，ABC = 45，AEBC，所以BAE = 135，因此CAE = 45.故所以四边形ACDE的面积为，又PA平面ABCDE，得四棱锥P ACDE的高为PA=，所以四棱锥P ACDE的体积为=.7.（2010天津高考理科9）如图，在长方体中，分别是棱,上的点，,.求异面直线与所成角的余弦值.证明：平面.求二面角的正弦值.【命题立意】本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.【思路点拨】建立空间直角坐标系或常规方法处理问题.【规范解答】方法一：以A为坐标原点，AB所在直线为X轴，AD所在直线为Y轴，AA1所在直线为z轴建立空间直角坐标系（如图所示），设,依题意得,易得,，于是，所以异面直线与所成角的余弦值为.已知,，于是=0，=0.因此，,又，所以平面.(3)设平面的法向量，则不妨令X=1,可得由（2）可知，为平面的一个法向量.于是，从而，所以二面角的正弦值为，方法二：（1）设AB=1，可得AD=2,AA1=4,CF=1.CE=，连接B1C,BC1，设B1C与BC1交于点M,易知A1DB1C，由,可知EFBC1.故是异面直线EF与A1D所成的角，易知BM=CM=,所以 ,所以异面直线EF与A1D所成角的余弦值为.（2）连接AC，设AC与DE交点N 因为，所以，从而，又由于,所以，故ACDE,又因为CC1DE且，所以DE平面ACF，从而AFDE.连接BF，同理可证B1C平面ABF,从而AFB1C,所以AFA1D，又因为，所以AF平面A1ED.(3)连接A1N,FN,由（2）可知DE平面ACF,又NF平面ACF, A1N平面ACF，所以DENF,DEA1N,故为二面角A1-ED-F的平面角,易知，所以，又,所以，8.（2010福建高考理科18）如图，圆柱OO1内有一个三棱柱ABC-A1B1C1,三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB是圆O的直径.（I）证明：平面A1ACC1平面B1BCC1.（II）设ABAA1,在圆柱OO1内随机选取一点，记该点取自三棱柱ABC-A1B1C1内的概率为P.（i）当点C在圆周上运动时，求P的最大值；（ii）记平面A1ACC1与平面B1OC所成的角为（）,当p取最大值时，求cos的值.【命题立意】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，以及几何体的体积、几何概型等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力；考查数形结合思想、化归与转化思想、必然与或然思想.【思路点拨】第一步先由线线垂直得到线面垂直，再由线面垂直得到面面垂直；第二步首先求出长方体的体积，并求解三棱柱的体积的最大值，利用体积比计算出几何概率.立体几何中我们可以利用向量处理角度问题，立体几何中涉及的角有：异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角等.关于角的计算，均可归结为两个向量的夹角.对于空间向量，有，利用这一结论，我们可以较方便地处理立体几何中有关角的问题.【规范解答】 （I）平面，平面，又是的直径，C，又，平面，而平面，所以平面平面；（II）（i）设圆柱的底面半径为，则，故圆柱的体积为，设三棱柱ABC-A1B1C1的体积为，所以，所以当取得最大值时取得最大值.又因为点在圆周上运动，所以当时，的面积最大，进而，三棱柱ABC-A1B1C1的体积最大，且其最大值为，故的最大值为；（ii）由（i）知，取最大值时，于是，以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图，则平面，是平面的一个法向量，设平面的法向量为，则，令z=1,得x=0,y=-2,故，.【方法技巧】立体几何中我们可以利用空间向量处理常见的问题，本题的（II）（i）也可以采用向量法进行证明：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设圆柱的底面半径为， ，则，故圆柱的体积为，设三棱柱ABC-A1B1C1的体积为，所以，所以当取得最大值时取得最大值.，所以当时的的面积最大，进而，三棱柱ABC-A1B1C1的体积最大，且其最大值为，故的最大值为；9.（2010安徽高考文科19）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB=2EF=2，EFAB,EFFB,BFC=90，BF=FC,H为BC的中点，（1）求证：FH平面EDB.（2）求证：AC平面EDB. （3）求四面体BDEF的体积.【命题立意】本题主要考查了空间几何体的线面平行、线面垂直的证明、体积的求解等问题，考查了考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力. 【思路点拨】可以采用综合法证明，亦可采用向量法证明.【规范解答】综合法证明如下：方法一：，方法二：，点到的距离，又，即.向量法证明如下：AEFBCDHGXYZ【方法技巧】(1)证明线面平行通常转化为证明直线与平面内的一条直线平行.(2)证明线面垂直通常转化为证明直线与平面内的两条相交直线垂直.(3)求四面体的体积时，关键是选择适当的底面和高进行求解.(4)以上立体几何中的常见问题，也可以采用向量法建立空间直角坐标系，转化为向量问题进行求解证明.应用向量法解题，思路简单，易于操作，推荐使用.
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